1、1第一章第一章 基础知识基础知识 第一节第一节 风险与收益的数学度量风险与收益的数学度量u证券投资收益率的数学公式 11tttttPPDRPtP1tPtD为证券第为证券第t期末的价格；期末的价格；为证券第为证券第t期初的价格；期初的价格；为证券在第为证券在第t期的股息、红利等现金收入；期的股息、红利等现金收入；2u单个证券收益和风险的度量 对于单个证券而言，若收益率服从离散型分布对于单个证券而言，若收益率服从离散型分布()iip Rrh投资机会的盈利性（收益）和风险可表示为：投资机会的盈利性（收益）和风险可表示为： iiiuERrh 22( )()iiiRruh实际应用中，常常用样本均值与方差
2、，来做近似替代：实际应用中，常常用样本均值与方差，来做近似替代：11NiiuERrrN2211 ( )()1NiiRrrN2211(2)1NiiirrrrN221NrrN第一章第一章 基础知识基础知识 3 有时也用有时也用R的下侧方差（的下侧方差（lower partial variance,简记为简记为LPV）来描述风险。）来描述风险。 若收益率服从分布函数为若收益率服从分布函数为F(r)的连续型分布，则其下侧方差为：的连续型分布，则其下侧方差为：2( )()( )rLPV rxr dF x 若收益率服从分布律为若收益率服从分布律为P(R=ri)=hi的离散型分布，则其下侧方差为：的离散型分
3、布，则其下侧方差为： 2( )()iiir rLPV rrr h 还有用概率来刻画风险的，如还有用概率来刻画风险的，如Domar认为：如果某一投资机会的最小认为：如果某一投资机会的最小容许量用容许量用r0表示，就可以用表示，就可以用p(R r0)的大小来描述风险。的大小来描述风险。 实际上，我们可以采用一个一般的数学度量实际上，我们可以采用一个一般的数学度量范数来描述风险，以上对风范数来描述风险，以上对风险的描述方法只不过是其中的特例罢了。险的描述方法只不过是其中的特例罢了。第一章第一章 基础知识基础知识 4u证券组合收益和风险的度量(1,2,)iR im 若某个投资者面临的是一组由若某个投资
4、者面临的是一组由m个证券组成的投资机会，令第个证券组成的投资机会，令第i个证券个证券的投资收益率为的投资收益率为 ,投资组合的收益率为随机变量投资组合的收益率为随机变量 投资机会（组合）的收益可表示为投资机会（组合）的收益可表示为 1212(,)( ,)mmERER ERERu uu投资机会的风险可以用投资机会的风险可以用 的协方差矩阵来表示：的协方差矩阵来表示： 12(,)mRR RR2112122122212()() mmmmmE RER RER显然，协方差矩阵是对称矩阵。显然，协方差矩阵是对称矩阵。 第一章第一章 基础知识基础知识 其中其中22()iiiE RER为证券为证券i收益率的方
5、差；收益率的方差； ij为证券为证券i和证券和证券j的收益率的收益率之间的协方差，即之间的协方差，即cov(,)ijijR R12(,)mRR RR5协方差矩阵通常有如下性质：协方差矩阵通常有如下性质：第一章第一章 基础知识基础知识 证明证明 2()()(-)(-)E YE YYE C R ER R ER C(-)(-) C E R ER R ERCCC02()0E YCC证毕证毕. . 6第一章第一章 基础知识基础知识 证明证明 22221222()1mCCCC immmCCC PPPP C12(,)mC PdiagP C 12(,)mYdiagY 2iiiyminY Y2miniiymin
6、C PP C2minminmin.iiC CCm证毕证毕. . 7AR(,)AABBiP RrRrh 具体到由收益率为具体到由收益率为 和和 两种证券组成的投资组合而言，假定收益率两种证券组成的投资组合而言，假定收益率均为离散型随机变量，并且联合分布律为均为离散型随机变量，并且联合分布律为BR投资机会的风险可以用两种证券收益率的协方差来表示投资机会的风险可以用两种证券收益率的协方差来表示：cov(,)()()iiABABAABBiRRrE rrE rhcov(,)ABABABr r （无量纲！）（无量纲！） 实际应用中，由于无法得到证券整体的指标，一般用样本指标来近似替代。实际应用中，由于无法
7、得到证券整体的指标，一般用样本指标来近似替代。11cov(,)()()1iiNABABAABBtRRrrrrN()1ABABNrrrrNABABAB 第一章第一章 基础知识基础知识 8解解 第一章第一章 基础知识基础知识 9第二节第二节 效用函数效用函数第一章第一章 基础知识基础知识 引例引例1按照期望收益率最大准则按照期望收益率最大准则,()1 10%=10%iAE r ()(20% )1/10+06/10+50%3/10=13%iBE r 应该选择投资机会应该选择投资机会B。 然而，对于投资机会然而，对于投资机会A而言，虽然期望收益率低于投资机会而言，虽然期望收益率低于投资机会B，但是它的
8、收益是，但是它的收益是确定的，而投资机会确定的，而投资机会B却有却有7/10的可能得到的为负或者是零收入的可能得到的为负或者是零收入,对于一个谨慎的投资对于一个谨慎的投资者而言，宁愿选择投资机会者而言，宁愿选择投资机会A，而不选择，而不选择B。10第一章第一章 基础知识基础知识 引例引例2按照期望收益最大准则，不难得到参赌人所获得收入的期望值为：按照期望收益最大准则，不难得到参赌人所获得收入的期望值为：21111122222nn 也就是说参赌人只要拿出有限的钱来参加这种赌博得到的收益都是无限也就是说参赌人只要拿出有限的钱来参加这种赌博得到的收益都是无限大的。这显然不符合事实！大的。这显然不符合
9、事实！单独运用期望收益来进行投资决策不合理！单独运用期望收益来进行投资决策不合理！ 11第一章第一章 基础知识基础知识 u效用函数概述l 效用（效用（utility） 效用的本意是一种主观感受效用的本意是一种主观感受, ,是一种主观意愿的满足程度是一种主观意愿的满足程度. .本课程考察的是在投资活动中对投资结果的满意本课程考察的是在投资活动中对投资结果的满意程度程度, ,即为即为投资的效用投资的效用. l 效用函数（效用函数（utility function） 效用函数是对满意效用函数是对满意程度的量化程度的量化. .效用函数效用函数可分为可分为:这种效用函数只反映一种满意程度的顺序关系这种效
10、用函数只反映一种满意程度的顺序关系.序数效用函数序数效用函数（ordinal utility function）:基数效用函数（基数效用函数（cardinal utility function） 这种效用函数能够度量效用的具体这种效用函数能够度量效用的具体数值数值. .因此因此它不仅能反映投资它不仅能反映投资效用的顺序效用的顺序,也度量出了它们之间的大小数量关系也度量出了它们之间的大小数量关系. 12第一章第一章 基础知识基础知识 效用函数的具体应用分为确定性状态效用函数的具体应用分为确定性状态和不确定性状态不确定性状态两种.确定性状态下的效用函数确定性状态下的效用函数: :（如商品配置问题）
11、（如商品配置问题）不确定性状态下的效用函数（期望效用函数）不确定性状态下的效用函数（期望效用函数） 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望钱的函数的数学期望”. 可以证明可以证明, ,在确定状态下的序数效用函数存在，在不确定性状态下基数在确定状态下的序数效用函数存在，在不确定性状态下基数效用函数存在效用函
12、数存在. . 13第一章第一章 基础知识基础知识 u效用函数的应用风险态度 l 风险厌恶型风险厌恶型( )0( )0U xUx 至少在某一点不等号成立至少在某一点不等号成立. . 实际上实际上, ,绝大多数的投资者都具有该类效用函数绝大多数的投资者都具有该类效用函数, ,即属于风险厌恶型投资者即属于风险厌恶型投资者. .如假定如假定, ,效用函数的二阶导数小于零效用函数的二阶导数小于零, ,即人们通常所说的边际效用递减规律即人们通常所说的边际效用递减规律. .这类投资者的效用函数这类投资者的效用函数满足：满足：14第一章第一章 基础知识基础知识 风险厌恶型效应函数为凹函数风险厌恶型效应函数为凹
13、函数, ,即期望的效用大于效用的期望即期望的效用大于效用的期望, ,这就是重这就是重要的不等式要的不等式JensenJensen不等式不等式. .证明证明 ( )( )()yU uU uxu( )( )()( )yU uU uxuU x不等式两边同时求期望不等式两边同时求期望, ,可得可得( )( )()( )E U uU u ExuE U x( )( )E U uE U x ( )( )U E xE U x亦即亦即 ， 即即 证毕证毕. . 15第一章第一章 基础知识基础知识 l 风险爱好型风险爱好型这类投资者（现实生活中很少）的效用函数这类投资者（现实生活中很少）的效用函数满足：满足：(
14、)0( )0U xUx至少在某一点不等号成立至少在某一点不等号成立. . 显然显然, ,该函数是增函数该函数是增函数, ,而且是凸函数而且是凸函数, ,其曲线如图所示其曲线如图所示 同理同理, ,可以证明风险爱好型投资者的期望的效用小于效用的期望可以证明风险爱好型投资者的期望的效用小于效用的期望, ,即即 ( )( )U E xE U x16第一章第一章 基础知识基础知识 第一章第一章 基础知识基础知识 l 风险中性型风险中性型这类投资者的效用函数这类投资者的效用函数满足满足: :显然显然, ,该函数是斜率为正的直线该函数是斜率为正的直线, ,如图所示如图所示: :同理同理, ,可以证明风险中
15、性型投资者的期望的效用等于效用的期望可以证明风险中性型投资者的期望的效用等于效用的期望, ,即即( ) 0( ) 0U xU x ( ) ( )U E xE U x17第一章第一章 基础知识基础知识 u常见的风险厌恶型效用( )( )( )AUxRxU x ( )( )( )( )RAxUxRxx RxU x 绝对风险厌恶递减型投资者绝对风险厌恶递减型投资者:该类型的投资者的偏好表现为该类型的投资者的偏好表现为: :当当R R 的数值相当的数值相当大时大时, ,他们对风险的厌恶程度就会降低他们对风险的厌恶程度就会降低, ,往往还会多进行一些风险性投资往往还会多进行一些风险性投资. .即即: :
16、( )0( )0( )0U xUxUx至少在某一点不等号成立至少在某一点不等号成立. . ( )0AdRxdx相对风险厌恶函数相对风险厌恶函数将绝对风险厌恶函数代入上式展开将绝对风险厌恶函数代入上式展开, ,得到得到22( )( )( )0( )U x UxUxU x即：绝对风险厌恶型投资者的效用函数须同时满足：即：绝对风险厌恶型投资者的效用函数须同时满足： 绝对风险厌恶函数绝对风险厌恶函数18第一章第一章 基础知识基础知识 几种常用的风险厌恶型效用函数：几种常用的风险厌恶型效用函数：1、指数效用函数、指数效用函数( )1(0,0)xU xex 2( )0( )0 xxU xeUxe ( )(
17、 )0( )( )0( )ARAUxRxRxx RxxU x 显然显然 2、幂效用函数、幂效用函数1( )(0,01)xU xx123( )0( )(1)0( )(1)(2)0U xxUxxUxx1( )1( )(1)0( )( )10( )ARAUxRxxRxx RxxU xx 显然显然 幂效用函数的投资者是绝对风险厌恶递减型幂效用函数的投资者是绝对风险厌恶递减型。3、对数效用函数、对数效用函数(Bernoulli函数函数)( )ln(0,01)xU xbxa显然显然 21( )0( )0abbU xbUxx axx ( )1( )( )( )1( )ARAUxRxRxx RxU xx 19
18、第一章第一章 基础知识基础知识 如果假设参赌者具有对数效用函数如果假设参赌者具有对数效用函数,就能解决圣彼得堡悖论，于是又称对数效就能解决圣彼得堡悖论，于是又称对数效用函数为用函数为Bernoulli函数。函数。假设参加赌博者都是风险厌恶型，他们都具有相同的效用函数假设参加赌博者都是风险厌恶型，他们都具有相同的效用函数 ( )ln(0,01)xU xbxa2( )ln ln2ln nU xbb naa111( ) ln2ln 2nnE U xb na1111ln2ln22nnnnnabb而而 11111122 222nnnnnnnnn2 ( ) ln2ln ln(2)( ( )E U xb n
19、abUU E xa 于是于是 这说明，如果参赌者的偏好真正由效用函数确定这说明，如果参赌者的偏好真正由效用函数确定,那么他们至多只会花那么他们至多只会花2元来参加赌博元来参加赌博.20第一章第一章 基础知识基础知识 u单期Merton比率 资产分配优化中的一个重要的比率资产分配优化中的一个重要的比率Merton比率，是比率，是1997年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖获得主获得主Merton于于1969年在他的一篇重要论文中推导出来的。年在他的一篇重要论文中推导出来的。 21第一章第一章 基础知识基础知识 另外，一个周期末，风险性资产的期望收益率为另外，一个周期末，风险性资产的期望收益率为(1)
20、udmpip i()uddp iii22第一章第一章 基础知识基础知识 00(1)(1)(1)ufWaWia Wi0 ()1uffW a iii 00(1)(1)(1)dfWaWia Wi01()ffdWia ii于是，该投资者的期望效用为于是，该投资者的期望效用为00 () 11() ()(1)uffffdW a iiiWia iiE U Wpp 由期望效用最大原则，对期望效用函数关于由期望效用最大原则，对期望效用函数关于a求导，并令其为零，可得求导，并令其为零，可得(1)(1)()fuffdiaiiiia即为单期即为单期Merton比率比率. . 23第一章第一章 基础知识基础知识 第三节
21、第三节 随机占优随机占优 Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更一般的比较不同资产风险的分析框架提出了更一般的比较不同资产风险的分析框架在效应理论的架构下，采用随机占优（在效应理论的架构下，采用随机占优（Stochastic Dominance）方法来判断两）方法来判断两个投资机会的优劣。个投资机会的优劣。 期望效用最大化投资决策的前提是先确定效用函数，然而效用函数期望效用最大化投资决策的前提是先确定效用函数，然而效用函数“只只可意会，不可言传可意会，不可言传”，很难对效用进行精确的量化。，很难对效用进行精确的量化。 由于投资机会的收益率由于投资机会的收益率R是一
22、个随机变量，因此可以采用数学上专门研究各是一个随机变量，因此可以采用数学上专门研究各种条件下随机变量优劣比较的方法种条件下随机变量优劣比较的方法随机序来讨论投资决策问题，并根据效用随机序来讨论投资决策问题，并根据效用函数的性质采取渐进式的决策方法。函数的性质采取渐进式的决策方法。投资决策随机优势准则投资决策随机优势准则FSDSSD TSD( )0Ux( )0U x( )0Ux， ( )0U x( )0Ux( )0Ux, 随随机机序序24第一章第一章 基础知识基础知识 u一阶随机占优（First-order Stochastic Dominance） l FSD准则准则 l FSD准则的准则的证
23、明证明 充分性充分性 那么那么 ( )( )0,( )( )1F aG aF bG b于是于是 ( ) ( )FGE U rE U r ( )( )( )( )bbaaU r dF rU r dG r( ) ( )( )baU r d F rG r( ) ( )( ) ( )( )( )babU r F rG rF rG r dU ra ( )( )( )baG rF r U r dr25第一章第一章 基础知识基础知识 因此因此 ( ) ( )FGE U rE U r ( )( )( )0baG rF r U r dr必要性必要性(反证法反证法) ( )( )( ) ( )( )( )0cba
24、cG rF r U r drG rF r U r dr即即 ( )( )( ) ( )( )( )cbacG rF r U r drG rF r U r dr ( )( )( )0baG rF r U r dr 因此因此 ( )( )( )0baG rF r U r dr矛盾矛盾. . 证毕证毕. . 26第一章第一章 基础知识基础知识 l FSD准则的准则的解释解释 即即( )( )F kG k而而1( )1( )F kG k 即即()()FGpRkpRk亦即亦即27第一章第一章 基础知识基础知识 l FSD准则的准则的图形表示图形表示 图中的三条曲线分别代表三个投资机会图中的三条曲线分别代
25、表三个投资机会A，B，C的收益率分布函数，的收益率分布函数，根据根据FSD准则，不难判断投资机会准则，不难判断投资机会B和投资机会和投资机会C均优于投资机会均优于投资机会A，但，但是投资机会是投资机会B与投资机会与投资机会C的优劣无法判断。的优劣无法判断。28第一章第一章 基础知识基础知识 u二阶随机占优（Second-order Stochastic Dominance） l SSD准则准则 l SSD准则的准则的证明证明 先证充分性先证充分性 ( ) ( )FGE U rE U r ( )( )( )baG rF r U r dr( ) ( )( )braaU r dG tF t dt(
26、) ( )( )( ) ( )( )rbraaabU rG tF t dtUrG tF t dtdra29( ) ( )( )( ) ( )( ) bbraaaU bG tF t dtUrG tF t dt dr( ) ( )( ) 0braaUrG tF t dt dr于是有 ( ) ( )FGE U rE U r ( ) ( )( )0baU bG tF t dt( ) ( )( )( ) ( )( ) 0bbraaaU bG tF t dtUrG tF t dt dr 下证必要性，同样用反证法。下证必要性，同样用反证法。( ) ( )( )( ) ( )( )rbraaabU rG tF
27、 t dtUrG tF t dtdra 30于是，于是， ( ) ( )FGE U rE U r ( ) ( )( )( ) ( )( ) bbraaaU bG tF t dtUrG tF t dt dr( ) ( )( )baU bG tF t dt ( ) ( )( ) brcaUrG tF t dt dr( ) ( )( ) craaUrG tF t dt dr由题设可知，由题设可知， ( ) ( )( )0baU bG tF t dt并且并且 ( ) ( )( ) 0brcaUrG tF t dt dr要使要使 ( ) ( )0FGE U rE U r ( ) ( )( ) craaU
28、rG tF t dt dr恒大于零，即恒大于零，即 ( )( )0raG tF t dt与假设矛盾与假设矛盾. . ( ) ( )( )( ) ( )( ) bbraaaU bG tF t dtUrG tF t dt dr 证毕证毕. . 31第一章第一章 基础知识基础知识 l SSD准则的准则的图形表示图形表示当两个投资机会收益率的分布函数曲线相交时，当两个投资机会收益率的分布函数曲线相交时，FSD准则失效。准则失效。 如图（区域内有如图（区域内有“+”号的，表示号的，表示FB(r)超过超过FA(r)的积分面积，区域内有的积分面积，区域内有“”号号的，表示的，表示FA(r)超过超过FB(r)
29、的积分面积，且前者区域（带的积分面积，且前者区域（带“+”号）的面积大于后者号）的面积大于后者区域（带区域（带“”号）的面积）所示，投资机会号）的面积）所示，投资机会A与投资机会与投资机会B收益率的分布函数虽收益率的分布函数虽然有相交的现象，但是依然可以判断然有相交的现象，但是依然可以判断A优于优于B。32第一章第一章 基础知识基础知识 而又不难得到 ( )( )bBAaF rF r dr0 即 ( )( )0rBAaF rF r dr 从而投资机会A优于投资机会B。 ( )( )( )( )cbBAABacF rF r drF rF r dr 33第一章第一章 基础知识基础知识 u三阶随机占
30、优（Third-order Stochastic Dominance） l TSD准则准则 先证充分性先证充分性 ( ) ( )FGE U rE U r ( )( )( )baG rF r U r dr( ) ( )( )braaU r dG tF t dt( ) ( )( )( ) ( )( )rbraaabU rG tF t dtUrG tF t dtdral TSD准则的准则的证明证明 ( ) ( )( )( ) ( )( ) bbryaaaaU bG tF t dtUr dG tF t dt dy dr 34( ) ( )( )( ) ( )( ) bbryaaaaU bG tF t
31、dtUr dG tF t dt dy dr ( )()FGU b uu而而( ) ( )( )baU bG tF t dt( (留作练习留作练习!)!)( ) ( )( ) bryaaaUr dG tF t dt dy dr ( ) ( )( ) ( )( )( )rybryaaaaabUrG tF t dt dyG tF t Ur dtdydra ( ) ( )( ) ( )( )( )bybryaaaaaUbG tF t dtdyG tF t Ur dtdydr 于是于是 ( ) ( )FGE U rE U r ( )()( ) ( )( ) ( )( )( )bybryFGaaaaaU
32、b uuUbG tF t dtdyG tF t Ur dtdydr 由题设由题设 ( )0,( )0,( )0,( )( )ryryFGU xUxUxuuF t dtdyG t dtdy 显然有显然有 ( ) ( )0FGE U rE U r 35 下证必要性，同样用反证法。下证必要性，同样用反证法。( )()( ) ( )( ) ( )( )( )bybryFGaaaaaU b uuUbG tF t dtdyG tF t Ur dtdydr 分两种情况考虑分两种情况考虑( )()( ) ( )( ) ( )( )( )bybryFGaaaaaU b uuUbG tF t dtdyG tF t
33、 Ur dtdydr 第一章第一章 基础知识基础知识 36第一章第一章 基础知识基础知识 ( )()( ) ( )( ) ( )( )( )bybryFGaaaaaU b uuUbG tF t dtdyG tF t Ur dtdydr ( )( )( )bryaaaG rF r Ur dtdydr ( )( )( ) ( )( )( )crybryaaacaaG rF r Ur dtdydrG rF r Ur dtdydr 37第一章第一章 基础知识基础知识 随机优势准则的一般决策过程为：随机优势准则的一般决策过程为：（1）在诸多的可行的投资机会中，用）在诸多的可行的投资机会中，用FSD准则进
34、行选择，除去劣类投资机会；准则进行选择，除去劣类投资机会；（2）在通过）在通过FSD准则的投资机会中，继续用准则的投资机会中，继续用SSD准则进行选择，除去劣类投资机会；准则进行选择，除去劣类投资机会；（3）对通过）对通过SSD准则的投资机会，进一步用准则的投资机会，进一步用TSD准则进行选择，通过的即为准则进行选择，通过的即为SD最优的最优的投资机会。投资机会。38第一章第一章 基础知识基础知识 【本章要点】【本章要点】n效用函数效用函数n期望效用最大准则期望效用最大准则n基于效用函数的风险态度分类基于效用函数的风险态度分类n一阶、二阶随机占优准则的证明以及图形表示一阶、二阶随机占优准则的证
35、明以及图形表示n三阶随机占优准则三阶随机占优准则n运用基础理论处理简单的投资决策问题运用基础理论处理简单的投资决策问题39第一章第一章 基础知识基础知识 【本章练习】【本章练习】一、一、名词解释名词解释 效用函数效用函数 风险厌恶风险厌恶 相对风险厌恶系数相对风险厌恶系数 绝对风险厌恶系数绝对风险厌恶系数 绝对风险厌恶递减型投资者绝对风险厌恶递减型投资者 FSD准则准则 SSD准则准则 TSD准则准则 二、证明：对于风险爱好型投资者而言，期望的效用小于效用的期望，即二、证明：对于风险爱好型投资者而言，期望的效用小于效用的期望，即 ( ( )( )U E xE U x三三四、试用期望效用函数理论解释圣彼得堡悖论四、试用期望效用函数理论解释圣彼得堡悖论 .
