1、 1.5.3 1.5.3 函数的间断点及其类型函数的间断点及其类型p172022-5-131 a-b=0a-b=0 a-b0a-b0说明说明a a与与b b相等的相等的说明说明a a与与b b接近（几乎）相等接近（几乎）相等（a a与与b b是紧紧挨着的）是紧紧挨着的）极限概念当中的极限概念当中的“无穷小无穷小”是可以描述是可以描述“紧紧紧紧”跟跟随随复习复习oxy112oxy112“紧紧紧紧”跟随跟随四个字概括连续函数图像的特点四个字概括连续函数图像的特点是：是：00m(i)l0 xyf xx 函函数数在在点点处处连连续续00lim( )()xxf xf x aa bb2022-5-1323
2、0( );f xx 在在点点 处处有有定定义义0lim( )= ();xxf xA存存在在00lim( )()xxf xAf x00,()(),()().fxxxfx如如果果上上述述三三个个条条件件中中则则称称函函数数在在点点处处不不只只要要有有一一连连续续 或或间间断断并并称称点点为为的的不不连连续续点点 或或个个不不间间断断点点满满足足1. 1. 间断点的定义间断点的定义0lim( )xxf x 0()f x0( ):f xx函函数数在在点点处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个条条件件0( )f xx函函数数在在点点处处连连续续在某点没定义在某点没定义极限不存在极限不存在极限与函数值不
3、相等极限与函数值不相等2022-5-134oyx0 xoyx0 xoxy112oyx0 x2 2、间断点图形举例：、间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .oxy2022-5-1345oyx0 x间断点图形举例：间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .不见了不见了在某点没定义在某点没定义极限不存在极限不存在极限与函数值不相等极限与函数值不相等 2022-5-136间断点图形举例：间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .在某点没定义在某点没定义极限不存在极限不
4、存在极限与函数值不相等极限与函数值不相等 oxy112掉队了掉队了f(1)=11(x)2limxf1(x)2(1)1limxff2022-5-1367间断点图形举例：间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .在某点没定义在某点没定义极限不存在极限不存在极限与函数值不相等极限与函数值不相等 f(x0)有定义吗？00 x(x )limxf有吗？oyx0 x另立山头另立山头2022-5-1378间断点图形举例：间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .在某点没定义在某点没定义极限不存在极限不存在极限与函数值不相等
5、极限与函数值不相等 f(x0)有吗？00 x(x )limxf有吗？oyx0 x井水不犯河水井水不犯河水 2022-5-1389间断点图形举例：间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .在某点没定义在某点没定义极限不存在极限不存在极限与函数值不相等极限与函数值不相等 f(x0)有吗？ 各自为政各自为政oxy-00 x(x )limxf有+00 x(x )=limxf不存在2022-5-13910oyx0 xoyx0 xoxy112oyx0 x间断点图形举例：间断点图形举例：函数在一点函数在一点间断间断，其图形在该点，其图形在该点断开断开. .不见了不
6、见了掉队了掉队了井水不犯河水井水不犯河水另立山头另立山头oxy各自为政各自为政2022-5-13102022-5-131112跳跃跳跃间断点与间断点与可去可去间断点统称为间断点统称为第一类第一类间断点间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x第一类间断点第一类间断点000( )(),().f xxf xf x如果在点处间断，且都存在000()(),( ).f xf xxf x如果则称点为函数的可去间断点.)(),()(000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点如果如果xfxxfxf 2022-5-1313oyx0 xoyx0 xoxy112o
7、yx0 x第一类间断点的特点：左右极限都存在第一类间断点的特点：左右极限都存在oxy可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点00()()f xf x00()()f xf x00()()f xf x2022-5-1313第二类间断点第二类间断点.)(,)(),()(0000的第二类间断点的第二类间断点函数函数为为则称点则称点在在至少有一个不存至少有一个不存处的左、右极限处的左、右极限在点在点如果如果xfxxfxfxxf oyx0 xoxy左、右极限都不存在左、右极限都不存在左极限存在，右极限左极限存在，右极限不存在不存在2022-5-131415例例1 1,0,( )01,0
8、,xxf xxxx判断函数 间断点的类型解：解：, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff0.x第一类跳函数的跃间断点为oxy(0)0,f第一类第一类跳跃间断点跳跃间断点2022-5-1316例例2 201,2,( )11,1,1,xxf xxxx讨论函数oxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1( f, 2)1( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x第一类可函数的去间断点为会不会连续呢？会不会连续呢？还是间断点还是间断点=1x在处的连续性，如果不连续说出它到类型2022-5-1317例例3 31,0,( )0.,0,xf xxxxx讨论函数在处的连续性解解ox
9、y, 0)0( f,)0( f0.x函数在处不连续，它第二类为函数的间断点是(0)0,f2022-5-1318总结总结两类两类间断点间断点: :第一类间断点第一类间断点: :跳跃型跳跃型, ,第二类间断点第二类间断点可去型可去型思考：极限与连续之间的关系思考：极限与连续之间的关系: : f f( (x x) )在在 x x0 0 点连续点连续 f f( (x x) )在在x x0 0点存在极限点存在极限2022-5-1319o1x2x3xyx xfy 练习：判断下列间断点类型练习：判断下列间断点类型: :2022-5-13201 1 、函数间断点的定义、函数间断点的定义. .第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在2、)(xf0 x在点在点间断的类型间断的类型:2022-5-13再见再见2022-5-13212022-5-1322
