1、庆祝神州飞船返航专项练习一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()A. 10秒钟B. 13秒钟C. 15秒钟D. 20秒钟【答案】C【解析】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式解决实际问题，是一道灵活应用题设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于240列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值解：设每一秒钟通过
2、的路程依次为a1，a2，a3，an，则数列an是首项a1=2，公差d=2的等差数列，由求和公式有na1+n(n1)d2=240，即2n+n(n1)=240，解得n=15，2. 搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量m(除燃料外，单位：kg)的函数关系是v=2000ln1+Mm.当火箭的最大速度为11.5km/s时，Mm约等于(参考数据：e5.75314)()A. 313B. 314C. 312D. 311【答案】A【解析
3、】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题将代入中，即可求出Mm【解答】解：由题意将代入，可得11.51000=2000ln(1+Mm)，1+Mm=e5.75314Mm3133. 北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：和燃料的质量M(单位：、火箭的质量(除燃料外)m(单位：的函数关系是当火箭的最大速度达到时，则燃料
4、质量与火箭质量之比约为( )(参考数据：A. 314B. 313C. 312D. 311【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数模型的应用，涉及指数函数与对数运算，属于基础题将代入中，即可求出Mm【解答】解：由题意将代入，可得11.51000=2000ln1+Mm，1+Mm=e5.75=314，Mm=3134. “神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心，F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面mkm，远地点B距离地面nkm，地球的半径为kkm，关于椭圆有以下三种说法：焦距长为nm；短轴长为(m+k)(n+k)；离心率e=nmm+n+2k以上正确的说法有()A. B. C. D. 【答案】A【解
5、析】【分析】本题主要考查椭圆的性质及几何意义，属于简单题由题意知n+k=a+c，m+k=ac，由椭圆的基本性质判断命题是否正确即可【解答】解：由题意画出图形，如图所示：记椭圆的长半轴长a，短半轴长b，半焦距为c，n+k=a+c，m+k=ac，可得nm=2c，正确;由n+k=a+c，m+k=ac，得a=m+n+2k2，c=nm2;b=a2c2=(m+k)(n+k)，则短轴长为2(m+k)(n+k)，错误;由知，离心率e=ca=nmm+n+2k，正确;综上，正确的命题是故选：A5. 2020年12月13日9时51分，嫦娥五号轨道器和返回器成功进入月地转移轨道，携带月球样本(月壤)的嫦娥五号正式踏上
6、返回地球的旅程。嫦娥五号带回来的月球样本可以让我们更好地了解月球，使得我国成为世界上第三个从月球带回样本的国家。嫦娥五号轨道器在某个阶段的运行轨道是以月心为一个焦点的椭圆。设月球半径为R，若其近月点、远月点离月面的距离大约分别是19R，319R，则此阶段嫦娥五号轨道器运行轨道的离心率是()A. B. 15C. 35D. 45【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的实际应用，椭圆离心率的求解，属于基础题由题意分别求得a，c的值，然后结合离心率的定即可求解【解答】解：如下图，F为月球的球心，月球半径为R，依题意，AF=R+19R=109R，BF=R+319R=409R2a=AF+BF=509R
7、，即a=259R，a+c=BF=409R，则c=159R椭圆的离心率为：e=ca=35，故选C6. 2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭成功发射，顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅。如图所示，假设“嫦娥五号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2；a1c1=a2c2；c1a1a1c2其中正确式子的序号是()A.
8、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的相关知识，属于中档题可知a1a2，c1c2，进而根据不等式的性质可知a1+c1a2+c2，c1a1c2a2，进而判断不正确正确；根据a1c1=|PF|，a2c2=|PF|，可知a1c1=a2c2，正确【解答】解：设椭圆轨道和的短轴长分别为2b1，2b2，由图可知a1a2，c1c2，a1+c1a2+c2；不正确，a1c1=|PF|，a2c2=|PF|，a1c1=a2c2；正确a1+c2=a2+c1可得(a1+c2)2=(a2+c1)2，a12c12+2a1c2=a22c22+2a2c1，即b12+2a1c2=b22+2a2c1，b
9、1b2所以c1a2a1c2可得c1a1b0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得d1+R=ac,d2+R=a+c,则2a=d1+d2+2R，故传送神秘信号的最短距离为PF1+PF22R=2a2R=d1+d2故选D9. 我国发射的“天宫一号”宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A. (m+r)(n+r)B. 2(m+r)(n+r)C. mnD. 2mn【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，属于较容易题先利用acr=m，a+cr=n，解出a，c然后求
10、出b【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：acr=m，a+cr=n，可得a=m+n2+r，c=nm2则b2=a2c2=(m+n2+r)2(nm2)2=(m+r)(n+r)则b=(m+r)(n+r)所以短轴长为故选B10. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以
11、下，则至少需要过滤的次数为()(参考数据lg2=0.3010)A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】C【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于中档题由题意列出不等式，然后利用指数对数的运算进行求解可得【解答】解：设过滤的次数为n，原来水中杂质为1，则120%n5%，即0.8n120，所以lg0.8nlg120，所以nlg0.8lg20lg0.8=lg2013lg2=1+lg213lg213.4，因为nN，所以n的最小值为14，则至少要过滤14次故选项为：C二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）11. 如图，“神州十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)为一个焦
12、点的椭圆，其轨道的离心率为e.设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为_【答案】RR+2re1+e【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力，属于基础题由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定该卫星近地点离地面的距离【解答】解：椭圆的离心率e=ca，(c为半焦距；a为长半轴)，只要求出椭圆的c和a，即可确定卫星近地点离地面的距离，由题意，结合图形可知，a+c=r+R，近地点离地面的距离为acr离心率e=ca，即c=ea所以a+ea=R+r，所以a=R
13、+r1+e所以近地点离地面的距离为：acr=R+r1+eeR+r1+er=RR+2re1+e即该卫星近地点离地面的距离为RR+2re1+e12. 如图是2021年9月17日13:34神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上在A测得点B的仰角DAB=30，且BC的视角BAC满足sinBAC=732247，则此时返回舱底端离地面距离CD=(=3.14,sinACB=93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m)【答案】20m【解析】【分
14、析】本题考查球的表面积，解三角形的实际应用，考查数学运算，直观想象，逻辑推理等数学核心素养，属于中档题设半球半径为r，由球的表面积公式求得r，则可得BC，从而利用正弦定理求解即可【解答】解：设半球面半径为r，则2r2=1200，r14m，BC=5r=70m，在ABC中，由正弦定理得AB=BCsinACBsinBAC=7093247224773=180m，在中，DAB=30，所以BD=12AB=90m，则CD=BDBC=20m即返回舱底端离地面距离为20m三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）13. 飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援
15、中心(记为A，B，C)，B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s(1)求A、C两个救援中心的距离；(2)求在A处发现P的方向角；【答案】解：(1)以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(3,0),B(3,0),C(5,23)则|AC|=(5+3)2+(23)2=219km，即A、C两个救援中心的距离为219km(2)|PC|=|PB|，P在BC线段的垂直平分线上，又|PB|PA|=4，P在以A
16、、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6，双曲线方程为x24y25=1(x0)，BC的垂直平分线的方程为x+3y7=0，联立两方程解得：x=8，P(8,53),kPA=tanPAB=3，PAB=120，P点在A点的北偏西30处【解析】本题考查双曲线方程的应用，考查学生对知识的应用能力，属于中档题(1)首先以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求出A，B，C的坐标，然后求出AC的距离即可；(2)根据|PC|=|PB|得出P在BC线段的垂直平分线上，建立双曲线方程，并求出PAB14. “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到
17、达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P为航天员着陆点某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角【答案】解：因为PC=PB，所以P在线段BC的垂直平分线上又因为PBPA=42)，BC的垂直平分线方程为x3y+7=0联立两方程解得x=8(舍负)，y=53，所以P(8,53)，kPA=tanPAx=3，所以PAx=60，所以P点在A点的北偏东30方向【解析】【分析】本题考查双曲线方程的应用，考查学生对知识的应
18、用能力，属于中档题以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易判断P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，从而可确定双曲线的方程，再与BC的垂直平分线的方程联立，可求P的坐标，从而问题得解15. 飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A，B，C)，B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东300，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s (1)求A、C两个救援中心的距离；(2)求在A处发现
19、P的方向角；(3)若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论【答案】解：(1)以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，C5,23，则AC=5+32+232=219km，即A、C两个救援中心的距离为219km(2)|PC|=|PB|，P在BC线段的垂直平分线上，又|PB|PA|=4，P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6，双曲线方程为x24y25=1(x0)，BC的垂直平分线的方程为x+3y7=0，联立两方程解得：x=8，P8,53，kPA=tanPAB=3，PAB=120，P点在A点的北偏西
20、30处(3)如图，设|PQ|=，|PB|=x，|PA|=y，QBQA=x2+2y2+2=x2y2x2+2+y2+2=xyx+yx2+2+y2+2，又x+yx2+2+y2+21，|QB|QA|PB|PA|，QB1QA1PB1PA1，即A、B收到信号的时间差变小【解析】(1)首先以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求出A，B，C的坐标，然后求出AC的距离即可(2)根据|PC|=|PB|得出P在BC线段的垂直平分线上，建立双曲线方程，并求出PAB(3)设|PQ|=，|PB|=x，|PA|=y，建立不等式，并求解，得到A、B收到信号的时间差变小16. 2021年6月17日，神舟
21、十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆I1，I2，I3，I4与圆柱OO1底面相切于A，B，C，D四点，且圆I1与I2，I2与I3，I3与I4，I4与I1分别外切，线段A1A为圆柱OO1的母线.点M为线段A1O1中点，点N在线段CO1上，且CN=2NO1.已知圆柱OO1底面半径为2，AA1=4()求证：AM/平面BDN；()线段AA1上是否存在一点E，使得OE平面BDN？若存在，请求出AE的长，若
22、不存在，请说明理由；()求二面角I2A1I1I4的余弦值；()如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱O2O3，它与飞船推进舱共轴，即O，O1，O2，O3共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即Q1O2=4，且O2O3=RS=2，PS=7.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值【答案】()证明：如图1，M，N分别是
23、点M，N在线段AC上的投影，则M为AO的中点，N为OC的三等分点，所以tanMAM=MMAM=41=4，tanNON=NNON=23OO113OC=4，所以MAM=NON，则AM/ON，如图2，又因为AM平面BDN，ON平面BDN，所以AM/平面BDN；()解：以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,2,0)，N(23,0,83)，设E(2,0,t)(0t4)，所以DB=(0,4,0),DN=(23,2,83),OE=(2,0,t)，若OE平面BDN，则OEDB=0OEDN=0，即43+83t=0，则t=12，所以AE=12时，OE平面BDN；()
24、解：设内切圆半径为r，由题意可知，I1OI4是等腰直角三角形，所以2r=2(2r)，解得r=2(21)，因为I1(r,0,0)，I2(0,r,0)，I4(0,r,0)，A1(2,0,4)，所以I1A1=(2r,0,4),I1I2=(r,r,0)，I1I4=(r,r,0)，设平面I2I1A1的法向量为n=(x,y,z)，则(2r)x+4z=0rx+ry=0，令x=1，则n=(1,1,r24)，同理可得平面I4I1A1的法向量m=(1,1,r24)，所以|cos|=|nm|n|m|=|(r2)2|32+(r2)2=138241，故二面角I2A1I1I4的余弦值为138241；()解：将矩形PQRS
25、作为参照物，不妨设A1顺时针选择(0)，则A1(2cos(),2sin(),4)，即A1(2cos,2sin,4)，P(10,0,8)，所以A1P=(102cos,2sin,4)，因为y轴平面PQRS，则平面PQRS的一个法向量为u=(0,1,0)，设A1P与平面PQRS所成的角为，则sin=|cos|=|2sin|(102cos)2+4sin2+16=1101cos23cos，若cos=1，则sin=0；若1cos1，令t=3cos(2,4)，则sin=110(t+8t)+611042+6=1055，当且仅当t=22，即cos=322时，sin取得最大值1055【解析】()先证明AM/ON，再利用线面平行的判定定理证明即可；()建立合适的空间直角坐标系，设出AE的长度，利用线面垂直求出长度即可；()建立合适的空间直角坐标系，求出内切圆的半径，得出各点的坐标，用法向量夹角公式求解即可；()将矩形PQRS视作静止，则A1作顺时针旋转，写出坐标，用空间向量线面角公式求解即可本题考查了线面平行的判定定理的应用，线面垂直的判定定理和性质定理的应用，二面角的求解以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题第17页，共17页
