1、2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*招生专业与代码：网络空间安全083900考试科目名称及代码：抽象代数 845 （B 卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）。1. 设，则的最大公约数为_。2. 在4次对称群中, (134)(124) 。3. 11阶循环群的生成元有 个。4. 设是15阶循环群，则的非平凡子群的个数是_。5. 在多项式环中，=_。2、 判断题（在题后的括号内正确的画“”，错误的画“”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。1. ( ) 4阶群在同构意义下只有一个。 2
2、. ( ) 整数加法群的子群一定是某个。 3. ( ) 每一个环中都存在唯一的单位元。 4. ( ) 整数环的自同构只有恒等自同构。 5. ( ) 任何一个有限域所含元素的个数必为素数或素数的方幂。 3、 解答题（共3小题，其中第1小题10分，第2、3小题各15分，共40分）。1 (10分) 分别写出群、环和域的定义，试说明它们的区别和联系。2(15分) 设是15阶循环群， (1) 求中各个元素的阶；(5分)(2) 求的所有生成元；(5分)(3) 求的所有非平凡子群。(5分)3(15分) 设为3次对称群，其中。(1) 说明在通常的乘法运算下是一个群；(5分) (2) 确定的全部正规子群；(5分
3、)(3) 说明与的一个子群同构。(5分)四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。1 (15分) 设是群的两个元素，满足。的阶为，的阶为，且。 证明的阶为。2 (15分) 设是两个正整数，和分别是它们的最大公约数和最小公倍数。(1) 证明和都是整数环的理想，并且，；(10分)(2) 是整数环的理想吗？请说明理由。(5分)五、解答证明题（共2小题，第1小题15分，第2小题25分，共40分）。1. (15分) 设是有理数域上不可约多项式的一个实根。 (1) 证明是在上的一组基；(5分) (2) 将表示成的-线性组合。(10分)2 (25分) 设为正整数，为整数模剩余类环。(1) (10分) 证明当且仅当。(2) (5分) 设两两互素，证明 。(3) (10分) 韩信点兵：有兵一队，若成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人，问兵多少人？用现在的数学语言就是解如下同余方程组：求该同余方程组的最小正整数解。 考试科目： 抽象代数 共 2 页，第 2 页
