1、高等院校非数学类本科数学课程第二节 求导法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则二、复合函数的导数二、复合函数的导数三、反函数的导数三、反函数的导数四、基本导数公式四、基本导数公式五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、取对数求导法六、取对数求导法七、参数方程求导法则七、参数方程求导法则五、隐函数的求导法则F ( x, f (x) ) 0对上式两边关于 x 求导：0),(ddyxFx然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.方法：则将 y = f (x) 代入方程中, 得到如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导,求由方程0),(yxee
2、xyyxF( x 0 )所确定的隐函数的导数 y, 并求 .0 xy 方程两边关于 x 求导：0yeeyxyyx故xeyeyyx由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0从而00 xy解解例例1 1 1 00 xyxxxeyey故求椭圆. ),( 1002222处的切线方程在点yxbyax对方程两边关于 x 求导得：02222byyaxyaxby22故所求切线的方程为：)(002020 xxyaxbyy解解整理后, 切线方程为：12020byyaxx例例2 2然后, 对方程两边关于 x 求导：) )(lnxfyy方法方法: 在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两
3、边同时取对数：)(lnlnxfy | )(|ln|ln xfy 或) )(ln xfyy注意：y 是 x 的函数.六、取对数求导法或) | )(|(lnxfyy) | )(|(ln xfyy 取对数求导法常用来求一些取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数等的导数. . sin的导数求xxy 运用取对数求导法xxxyxlnsinlnlnsin两边关于 x 求导：xxxxyysinlncos故)sinlncos(sinxxxxxyx解解例例3 3. ,cossin11 23232yxxxxxy求设运用取对数求导法两边关于 x 求导：xxxxxyco
4、sln2sinln3)1ln()1ln(ln32ln2解解xyy132x11212xxxxsincos3xxcossin2例例4 4xxxxxy23232cossin11 tan2cot3121132 2xxxxxx整理得对这类型的题用取对数求导法很方便哦！. , )1)(81)(51 ()1)(21)(1 ( 342yxxxxxxy求设运用取对数求导法)1ln()21ln()1ln( 31ln2xxxy43214818515122121131xxxxxxxxyy解解 )1ln()81ln()51ln(4xxx例例5 5 y342)1)(81)(51 ()1)(21)(1 (31xxxxxx4
5、32148185151221211xxxxxxxx故选择一个适当的参数 t 后,)()(tyytxxIt的形式, 此式称为函数 y = f (x) 的参数方程.y = f (x) 可表示为1. 参数方程的概念七、参数方程求导法则参数方程求导法则：设)()(tyytxxIt txtyxy)(dd则且存在若 , 0)( , )(dtd ),(dtd txtxxtyytxtydddd由微分形式不变性更是一目了然. 2 ,sincos 时的切线方程在求椭圆ttbytax椭圆上任意一点x处的切线的斜率为tabtatbtatbxykcotsincos)cos()sin(dd02cot2abkt故, 02c
6、os0axbby2sin0从而, 所求切线方程为： y = b . 解解例例6 6又的星形线 323232ayx sincos33taytax.ddxy求Oxytaa参数方程为 星形线是一种圆内摆线例例7 7)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan),2(Znnt解解基本初等函数的导数导数的四则运算法则复合函数求导法反函数的导数隐函数的求导法取对数求导法参数方程求导法 求导方法小结按定义求导 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(
7、lim)(limxax)(a正确解法:)(af 求处连续,练习练习. .设, )(arctansin1sinxxxfeey其中)(xf可微 ,.y求解解:)(arctan)cossin(cosdd111sin2xxxxxxfeeexexyy练习练习 设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: :方程组两边对 t 求导,得txddt 2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0) 1(2ttyddtxdd 求双曲线 上一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积。axy 设1lim)() 1() 1
8、(2xnxnnebaxexxf试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a, 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?判别判别:)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)()(xf0 x)1)()(xxfxF0)0(f)(xF0 x 设在处可导，则是在处可导的( )(A) 必要条件但非充分条件(B) 既非充分条件又非必要条件(C) 充分必要条件(D) 充分条件但非必要条件作业 P114 8,9,10 奇数小题
