1、第十二章 时间序列回归中的序列相关和异方差性本章讨论多元回归模型中误差项的序列相关问题，这主要出现在时间序列回归中。上章指出，当模型是动态完备时，其误差项不存在序列相关，因此检验序列相关可以用来侦查动态误设。静态模型和有限分布滞后模型，即使模型设定正确，也会出现误差项的序列相关。本章首先讨论在存在序列相关下OLS的性质，如何检验序列相关，然后介绍相应的补救措施，最后分析时间序列中的异方差形式。12.1 含序列相关误差时OLS性质无偏性和一致性：在序列相关下，第十章OLS的无偏性仍成立，第十一章OLS的一致性也成立。效率与推断：在出现序列相关时，OLS不再是BLUE，通常的OLS标准误和检验统计
2、量也不再生效。以简单回归为例说明：011;,1,1, 2,ttttttyxuuuetn12.1 含序列相关误差时OLS性质OLS估计量为：序列相关下方差为：由此可见，在序列相关下通常的方差估计量都是 的有偏估计。通常的t-统计量，F-统计量和LM-统计量不再可靠。拟合优度：总体的拟合优度定义为：1111nxtttS S Tx u1222111v a r/2/nntjxxttjtjS S TS S Txx 1v a r2221/uyR12.1 含序列相关误差时OLS性质在使用平稳且弱相关的时间序列时，误差和因变量的方差均不随时间而变化，通常计算的拟合优度指标仍是总体参数的一致估计量。但如果因变量
3、是I（1）过程，其方差随时间变化，此时的拟合优度没有什么意义了。出现滞后因变量时的序列相关：几乎所有的计量经济学教材都有如下说法：“在出现滞后因变量和序列相关的误差时，OLS是不一致的”。如何理解？12.1 含序列相关误差时OLS性质作为一般论断，不一定正确。如：满足同期外生，OLS估计是一致的。而可能是序列相关的。在如下情况，OLS估计是不一致的：由于内生性产生了。0111,0tttttyyuEuy1101212cov,cov(,)cov(,)tttttttuuuyyuy 0111,1ttttttyyuuue11111cov,cov(,)cov,0tttttttyuyueyu12.1 含序列
4、相关误差时OLS性质可将此模型变形为：实际上是一个二阶自回归模型AR（2）。这说明动态模型误差项的自相关，标志着没有完备地设定动态回归函数。0111012011121ttttttttyyyyeyye 12.2 序列相关的检验对时间序列的多元回归模型如何检验误差项是否序列相关：回归元为严外生时对AR（1）序列相关的t检验：（1）作 的OLS回归，得到OLS的残差（2）作 的回归，得到系数估计及其t统计量：（3）使用通常的方法，用 来检验此检验方法也可用于其它类型的序列相关011ttktktyxxu1,tttkyxx,1 , 2 ,tutn1ttuu,tt0:0H12.2 序列相关的检验经典假定条
5、件下德宾-沃森检验：与上一部分检验的关系：DW检验依赖于全部CLM假定，且其分布取决于自变量的值（还取决于样本容量、回归元的个数和回归是否包含截距）。DW值需与两个临界值比较： 当 ，拒绝原假设，当 ，不拒绝原假设，当 ，无明确结论。21221ntttnttuuDWu21D W,LUddLD WdUD WdLUdD Wd12.2 序列相关的检验DW检验与t检验相比有缺陷，因为可能得到很宽的不确定区域。回归元不是严格外生时AR（1）序列相关经验：（1）将 的OLS回归，得到OLS的残差（2）将 的回归，得到系数估计及其t统计量：（3）用 来检验AR（q）序列相关检验：1,tttkyxx ,1,
6、2 ,tutn11,ttt ktuxxu,tt0:0H12.3 回归元严格外生时序列相关的修正当检测出序列相关存在时，如果我们的目标是估计一个完备动态模型，则需要重新设定动态模型。如果只是获得参数的好的估计，可以找到比OLS更有效的估计方法GLS，但这需要回归元是严格外生的。AR（1）模型求最佳线性无偏估计量：假定高斯-马尔可夫假定TS.1-TS.4均成立，放宽假定TS.5为误差项服从AR（1）模型1,1, 2 ,tttuuet12.3 回归元严格外生时序列相关的修正误差项的方差为对原方程进行准差分变换quasi-difference对变换后的方程采用OLS估计，由此得出的估计量为BLUE，因
7、为变换后的方程是序列无关和同方差，这是GLS的一种形式。22v a r/1teu10111,11,10111/21/21/21/21/222222101 11111,2,3,1,2,3,1, 11111ttttktktkttttktktkkyyxxxxuutyxxe ttyxxu 12.3 回归元严格外生时序列相关的修正AR（1）模型的可行GLS估计：（1）作 的OLS回归，求出OLS残差（2）作 的回归，求出（3）用 对方程进行准差分变换，然后OLS估计。常见的标准误、t统计量和F-统计量均是渐近正确的。12,ttttkyxxx1 , 2 ,tutn1ttuu12.3 回归元严格外生时序列相
8、关的修正根据自相关系数的估计和处理第一次观测的方法的不同，AR（1）模型的FGLS估计有许多名称，Cochrane-Orcutt(CO) estimation省略了第一次观测，而Prais-Winsten estimation按照上面的方法使用了第一次观测。实践中两种方法可以使用迭代模式。OLS与FGLS的比较：在序列相关存在下，OLS与FGLS均是一致估计，但总认为FGLS比OLS更优越是不正确的。OLS的一致性只需要同期外生，而FGLS的一致性需要严格外生。如果严格外生不满足的话，FGLS可能给出误导性的结果。12.3 回归元严格外生时序列相关的修正当OLS与FGLS的估计值有实际差别时，
9、更困难的问题出现了：我们很难判断这种差别是否统计显著？（Hausman检验是可利用的一种工具）OLS和FGLS的一致性和渐近正态性严重依赖于时间序列的弱相关性，当用在某些单位根过程时会有一些奇怪的结果出现。更高阶序列相关的修正：原理是一样的，方法稍复杂，幸运的是许多计量软件能够很容易估计存在AR（q）的模型。12.4 差分和序列相关当时间序列是一阶单整I（1），即存在单位根时，OLS估计与推断可能有误导性。因为如果误差项服从随机游走过程，方程就没有意义，这时需要对方程进行差分变换，然后进行OLS估计才有意义。当误差项不服从随机游走，只有自相关系数为正且比较大，一阶差分也是很好的主意：它可以消除
10、大部分的序列相关。12.5 在OLS后的序列相关-稳健推断针对序列相关的比较现代的一种方法是，用OLS估计模型，然后针对相当任意的序列相关（及异方差）形式来修正标准误。尽管OLS非有效，有些原因促使我们采用此方法：（1）当解释变量不是严格外生时，FGLS连一致性都不满足。（2）FGLS的多数应用中，往往假定误差项服从AR（1）过程，而以上方法可对更一般形式的序列相关保持稳健的标准误。12.5 在OLS后的序列相关-稳健推断Newey和West（1987）提出了OLS估计的序列相关-稳健（SC-稳健）标准误方法。具体的技术细节不讨论，Eviews软件可自动计算出SC-稳健的标准误。从经验看，在序
11、列相关存在时，SC-稳健的标准误一般比通常的OLS标准误要大，因为大多数情况下误差项是正序列相关。SC-稳健标准误的使用要落后于异方差稳健标准误的使用的原因：（1）大型截面数据比大型时间序列数据更为普遍，当样本很小时SC-稳健标准误的表现可能比较糟糕。（2）SC-稳健标准误的计算上有些不是自动完成的。（3）使用SC-稳健标准误往往会使系数不显著，或至少不如通常的OLS标准误那么显著。12.5 在OLS后的序列相关-稳健推断如果我们坚信解释变量是严格外生的，可使用FGLS。如果对某些解释变量的严格外生性表示怀疑，FGLS也一致性都不满足，这时OLS估计后的SC-稳健标准误最为有用，特别是存在滞后
12、因变量的模型。12.6 时间序列回归中的异方差异方差也可能出现在时间序列模型中，只是受到的关注不多，因为序列相关问题往往更亟待解决。在没有序列相关的情形下，时间序列模型中的异方差可采用第八章的方法来处理。如异方差稳健统计量、异方差检验及加权最小二乘法（WLS）。ARCH模型：是一种动态形式的异方差，一阶形式为222121011,ttttttE uuuE uuu12.6 时间序列回归中的异方差尽管OLS在ARCH下仍有理想性质，人们比较关心ARCH形式的异方差，原因有二，一是对ARCH形式的认识可使我们获得比OLS估计更有效的估计方法，二是方差经常被用来度量波动，而波动在资产定价是非常关键的，ARCH模型在实证金融研究中越来越重要。当回归模型中同时存在异方差和序列相关时，有多种选择。如在准差分的FGLS中使用异方差-稳健标准误。
