1、 第 1 页 共 4 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 第第 4 课时课时 一次函数与实际问题一次函数与实际问题 1根据问题及条件找出能反映出实际 问题的函数；(重点) 2能利用一次函数图象解决简单的实 际问题， 能够将实际问题转化为一次函数的 问题(重点) 一、情境导入 联通公司手机话费收费有 A 套餐(月租 费 15 元， 通话费每分钟 0.1 元)和 B 套餐(月 租费 0 元，通话费每分钟 0.15 元)两种设 A 套餐每月话费为 y1(元)，B 套餐每月话费 为 y2(元)，月通话时间为 x(分钟) (1)分别表示出 y1与 x，y2与 x 的函数关 系式； (2)月通话时间为多长时
2、，A、B 两种套 餐收费一样？ (3)什么情况下 A 套餐更省钱？ 二、合作探究 探究点：一次函数与实际问题 【类型一】 利用一次函数解决最值问 题 广安某水果店计划购进甲、乙两 种新出产的水果共 140 千克， 这两种水果的 进价、售价如表所示： 进价(元/千克) 售价(元/千克) 甲种 5 8 乙种 9 13 (1)若该水果店预计进货款为 1000 元， 则这两种水果各购进多少千克？ (2)若该水果店决定乙种水果的进货量 不超过甲种水果的进货量的 3 倍， 应怎样安 排进货才能使水果店在销售完这批水果时 获利最多？此时利润为多少元？ 解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出 产的水果共 14
3、0 千克， 进而利用该水果店预 计进货款为 1000 元，列出等式求出即可； (2)利用两种水果每千克的利润表示出总利 润，再利用一次函数增减性得出最大值即 可 解：(1)设购进甲种水果 x 千克，则购进 乙种水果(140x)千克，根据题意可得 5x 9(140x)1000，解得 x65，140x 75(千克) 答：购进甲种水果 65 千克，乙种水果 75 千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为 3 元，乙种水果每千克利润为 4 元设总利 润为 W， 由题意可得 W3x4(140x) x560.该水果店决定乙种水果的进货量 不超过甲种水果的进货量的 3 倍，140 x3x，解得 x35.
4、10，W 随 x 的增 大而减小，则 x 越小 W 越大当 x35 时，W最大35560525(元)，14035 105(千克) 答：当购进甲种水果 35 千克，购进乙 种水果105千克时， 此时利润最大为525元 方法总结： 利用一次函数增减性得出函 数最值是解题关键 【类型二】 利用一次函数解决有关路 程问题 为倡导低碳生活，绿色出行，某 自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行” 活动自行车队从甲地出发，途经乙地短暂 休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地， 自行车队出发 1h 后，恰有一辆邮政车从甲 地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在 丙地完成 2h 装卸工作后按原路返回甲地， 第 2 页
5、 共 4 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 自行车队与邮政车行驶速度均保持不变， 并 且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 2.5 倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地 的路程 y(km)与自行车队离开甲地的时间 x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信 息解答下列各题： (1) 自 行 车 队 行 驶 的 速 度 是 _km/h； (2)邮政车出发多久与自行车队首次相 遇？ (3)邮政车在返程途中与自行车队再次 相遇时的地点距离甲地多远？ 解析：(1)由“速度路程时间” 就可 以求出结论； (2)由自行车的速度就可以求出 邮政车的速度， 再由追及问题设邮政车出发 ah 与自行车队首次相遇建立
6、方程求出其解 即可；(3)由邮政车的速度可以求出 B 的坐 标和 C 的坐标， 由自行车的速度就可以求出 D 的坐标，由待定系数法求出 BC，ED 的解 析式就可以求出结论 解： (1)由题意得自行车队行驶的速度为 72 324(km/h) (2)由题意得邮政车的速度为 242.5 60(km/h) 设邮政车出发 ah 与自行车队首次 相遇，由题意得 24(a1)60a，解得 a2 3. 答：邮政车出发2 3h 与自行车队首次相 遇； (3)由题意得邮政车到达丙地的时间为 135 609 4(h)，邮政车从丙地出发返回甲 地前共用时为9 421 21 4 (h)，B(21 4 ， 135)，C
7、(7.5，0)自行车队到达丙地的时间 为 135 240.545 8 0.549 8 (h)，D(49 8 ， 135) 设直线 BC 的解析式为 y1k1b1， 由 题意得 13521 4 k1b1， 07.5k1b1， 解得 k160， b1450. y160x450.设ED的解析式为y2k2x b2， 由 题 意 得 723.5k2b2， 13549 8 k2b2， 解 得 k224， b212，y 224x12.当 y1y2时， 60x45024x12，解得 x5.5.y1 605.5450120. 答： 邮政车在返程途中与自行车队再次 相遇时的地点距离甲地 120km. 方法总结：
8、本题考查了行程问题的数量 关系的运用， 待定系数法求一次函数的解析 式的运用，一次函数与一元一次方程的运 用，解答时求出函数的解析式是关键 【类型三】 利用一次函数解决图形面 积问题 如图，底面积为 30cm2的空圆 柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组 成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注 满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm)与 注水时间 t(s)之间的关系如图所示 请根据图中提供的信息，解答下列问 题： (1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水 的水流速度(单位：cm3/s)为多少？ (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积 为 15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底 面积 解析：(1)
9、根据图象，分三个部分：注满 “几何体”下方圆柱需 18s；注满“几何 第 3 页 共 4 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 体”上方圆柱需 24186(s)，注满“几何 体”上面的空圆柱形容器需 4224 18(s)再设匀速注水的水流速度为 xcm3/s， 根据圆柱的体积公式列方程， 再解方程；(2) 由图知几何体下方圆柱的高为 acm，根据 圆柱的体积公式得 a (3015)185， 解得 a6， 于是得到“几何体”上方圆柱的高为 5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为 Scm2，根据圆柱的体积公式得 5(30S) 5(2418)，再解方程即可 解： (1)根据函数图象得到圆柱形容器的 高为
10、 14cm，两个实心圆柱组成的“几何 体”的高度为 11cm，水从刚满过由两个实 心圆柱组成的“几何体”到注满用了 42 2418(s)，这段高度为 14113(cm)设 匀速注水的水流速度为 xcm3/s，则 18 x 303，解得 x5，即匀速注水的水流速度 为 5cm3/s； (2)由图知“几何体”下方圆柱的高 为 acm，则 a (3015)185，解得 a6， 所以“几何体”上方圆柱的高为 116 5(cm)设“几何体”上方圆柱的底面积为 Scm2，根据题意得 5(30S)5(24 18)，解得 S24，即“几何体”上方圆柱的 底面积为 24cm2. 方法总结：本题考查了一次函数的应
11、 用： 把分段函数图象中自变量与对应的函数 值转化为实际问题中的数量关系， 然后运用 方程的思想解决实际问题 【类型四】 利用一次函数解决销售问 题 某社区活动中心准备购买10副某 种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x(x2)个 羽毛球，供社区居民免费借用该社区附近 A、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和 羽毛球出售， 且每副球拍的标价均为 30 元， 每个羽毛球的标价为 3 元， 目前两家超市同 时在做促销活动： A 超市：所有商品均打九折(按标价的 90%)销售； B 超市： 买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球 设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的 费用为 yA(元)，在 B 超市购买羽毛球拍和
12、羽 毛球的费用为 yB(元)请解答下列问题： (1)分别写出 yA、yB与 x 之间的关系式； (2)若该活动中心只在一家超市购买， 你 认为在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配 15 个羽毛球，请你帮 助该活动中心设计出最省钱的购买方案 解析： (1)根据购买费用单价数量建 立关系就可以表示出 yA、yB的解析式；(2) 分三种情况进行讨论，当 yAyB时，当 yA yB时，当 yAyB时，分别求出购买划算的 方案； (3)分两种情况进行讨论计算求出需要 的费用，再进行比较就可以求出结论 解 ： (1) 由 题 意 得 yA (1030 310x)0.927x270；yB1030 3(
13、10x20)30x240； (2)当 yAyB时，27x27030x240， 得 x10；当 yAyB时，27x27030x 240，得 x10.x2，2x10；当 yA yB时，27x27030x240，得 x10； 当 2x10 时，到 B 超市购买划算，当 x10 时，两家超市一样划算，当 x10 时， 在 A 超市购买划算； (3)由题意知 x15，1510，只在一 家超市购买时， 选择A超市划算， yA2715 270675(元)在两家超市购买时，先选 择 B 超市购买 10 副羽毛球拍， 送 20 个羽毛 球，然后在 A 超市购买剩下的羽毛球： (101520)30.9351(元)
14、，共需要费 用 1030351651(元)651 元675 元，最佳方案是先选择 B 超市购买 10 副 羽毛球拍， 然后在A超市购买130个羽毛球 方法总结： 本题考查了一次函数的解析 式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方 案设计的运用， 解答时求出函数的解析式是 关键 【类型五】 利用图表信息解决实际问 题 某工厂生产甲、乙两种不同的产 品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产 品所需原材料的数量和生产过程中投入的 生产成本的关系如表所示： 产 品 甲 乙 第 4 页 共 4 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 原材料数量(吨) 1 2 生产成本(万元) 4 2 若该工厂生产甲种产品 m 吨
15、， 乙种产品 n 吨，共用原材料 160 吨，销售甲、乙两种 产品的利润 y(万元)与销售量 x(吨)之间的函 数关系如图所示， 全部销售后获得的总利润 为 200 万元 (1)求 m、n 的值； (2)该工厂投入的生产成本是多少万 元？ 解析：(1)求出甲、乙两种产品每吨的利 润， 然后根据两种原材料的吨数和全部销售 后的总利润，列出关于 m、n 的二元一次方 程组，求解即可；(2)根据“生产成本甲的 成本乙的成本”，列式计算即可得解 解：(1)由图可知，销售甲、乙两种产品 每吨分别获利 6 23(万元)、6 32(万 元)根据题意可得 m2n160， 3m2n200， 解得 m20， n7
16、0； (2)由(1)知，甲、乙两种产品分别生产 20 吨、 70 吨， 所以投入的生产成本为 204 702220(万元) 答： 该工厂投入的生产成本为220万元 方法总结：本题考查了一次函数的应 用， 主要利用了列二元一次方程组解决实际 问题，根据表格求出两种产品每吨的利润， 然后列出方程组是解题的关键 三、板书设计 1利用一次函数解决最值问题 2利用一次函数解决有关路程问题 3利用一次函数解决图形面积问题 4利用一次函数解决销售问题 5利用图表信息解决实际问题 本节课的设计， 力求体现新课程改革的 理念，结合学生自主探究的时间，为学生营 造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、 更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学 生的探索能力和创新能力， 激发学生学习的 积极性 在学生选择解决问题的诸多方法的 过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通 过引导学生自己去探究来选择合适的办法 解决问题
