1、 1 / 13 规律探索规律探索 一、选择题一、选择题 1.（5 分）（2014毕节地区，第 18 题 5 分）观察下列一组数： ， ， 它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 n 个数是 考点： 规律型：数字的变化类来源:163文库 专题： 规律型 分析： 观察已知一组数发现：分子为从 1 开始的连线奇数，分母为从 2 开始的连 线正整数的平方，写出第 n 个数即可 解答： 解：根据题意得：这一组数的第 n 个数是 故答案为： 点评： 此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键 2.（2014武汉，第 9 题 3 分）观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4
2、 个点， 第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点， 按此规律第 5 个图中共有点的个数是（ ） A 31 B 46 C 51 D 66 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 由图可知： 其中第 1 个图中共有 1+1 3=4 个点， 第 2 个图中共有 1+1 3+2 3=10 个点，第 3 个图中共有 1+1 3+2 3+3 3=19 个 点，由此规律得出第 n 个图有 1+13+23+33+3n 个点 2 / 13 解答： 解：第 1 个图中共有 1+1 3=4 个点， 第 2 个图中共有 1+1 3+2 3=10 个点， 第 3 个图中共有 1+1 3+2 3+3
3、 3=19 个点， 第 n 个图有 1+13+23+33+3n 个点 所以第 5 个图中共有点的个数是 1+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3=46 故选：B 点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用 规律解决问题 3. （2014株洲，第 8 题，3 分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋 子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位，第 2 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个单位， 第 4 步向右走 1 个单位依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单 位；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1
4、 个单位；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位，当走完第 100 步时，棋子所处位置的坐标是（ ） A来 源:Z#xx#k.Com （66，34） B （67，33） C （100，33） D （99，34） 考点： 坐标确定位置；规律型：点的坐标 分析： 根据走法，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单位，向上 1 个 单位，用 100 除以 3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即 可 解答： 解：由题意得，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单位，向上 1 个单位， 100 3=33 余 1，来源:Z。xx
5、。k.Com 走完第 100 步，为第 34 个循环组的第 1 步，来源:163文库 所处位置的横坐标为 33 3+1=100， 纵坐标为 33 1=33， 棋子所处位置的坐标是（100，33） 故选 C 3 / 13 点评： 本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每 3 步为一个 循环组依次循环是解题的关键 二二.填空题填空题 1. （2014湘潭，16 题，3 分）如图，按此规律，第 6 行最后一个数字是 16 ，第 672 行最后一个数是 2014 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 每一行的最后一个数字构成等差数列 1，4，7，10，易得第 n 行的最后一个数
6、字为 1+3 （n1） =3n2， 由此求得第 6 行最后一个数字， 建立方程求得最后一个数是 2014 在哪一行 解答： 解：每一行的最后一个数字构成等差数列 1，4，7，10， 第 n 行的最后一个数字为 1+3（n1）=3n2， 第 6 行最后一个数字是 3 62=16； 3n2=2014 解得 n=672 因此第 6 行最后一个数字是 16，第 672 行最后一个数是 2014 故答案为：16，672 点评： 此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题 2. （2014扬州，第 18 题，3 分）设 a1，a2，a2014是从 1，0，1 这三个数中取值的一 列数
7、，若 a1+a2+a2014=69， （a1+1）2+（a2+1）2+（a2014+1）2=4001，则 a1，a2， a2014中为 0 的个数是 165 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+（a2014+1）2得到 a12+a22+a20142+2152，然后设 4 / 13 有 x 个 1，y 个1，z 个 0，得到方程组，解方程组 即可确定正确的答案 解答： 解： （a1+1）2+（a2+1）2+（a2014+1）2=a12+a22+a20142+2（a1+a2+a2014）+2014 =a12+a22+a20142+2 69+2014 =a1
8、2+a22+a20142+2152， 设有 x 个 1，y 个1，z 个 0 ， 化简得 xy=69，x+y=1849 解得 x=959，y=890，z=165 有 959 个 1，890 个1，165 个 0， 故答案为：165 点评： 本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较 大 二二.填空题填空题 1. （ 2014珠海，第 10 题 4 分）如图，在等腰 RtOAA1中，OAA1=90 ，OA=1，以 OA1 为直角边作等腰 RtOA1A2，以 OA2为直角边作等腰 RtOA2A3，则 OA4的长度为 8 考点： 等腰直角三角形 专题： 规律型 分析：
9、 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案 解答： 解：OAA1为等腰直角三角形，OA=1， AA1=OA=1，OA1=OA=； OA1A2为等腰直角三角形， 5 / 13 A1A2=OA1=，OA2=OA1=2； OA2A3为等腰直角三角形， A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2； OA3A4为等腰直角三角形， A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8 故答案为：8 点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理， 熟练应用勾股定理得出是解题 关键 2(2014 年四川资阳，第 16 题 3 分)如图，以 O（0，0） 、A（2，0）为顶点作正OAP1，
10、以点 P1和线段 P1A 的中点 B 为顶点作正P1BP2，再以点 P2和线段 P2B 的中点 C 为顶点作 P2CP3，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点 P6的坐 标是 （，） 考点： 规律型：点的坐标；等边三角形的性质 分析： 根据 O （0， 0） A （2， 0） 为顶点作OAP1， 再以 P1和 P1A 的中 B 为顶点作P1BP2， 再 P2和 P2B 的中 C 为顶点作P2CP3，如此继续下去，结合图形求出点 P6的坐标 解答： 解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的 ，第六个正三 角形的边长是， 故顶点 P6的横坐标是，P5纵坐标
11、是=， P6的纵坐标为， 故答案为： （，） 点评： 本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键 6 / 13 3 （2014 年云南省，第 14 题 3 分）观察规律并填空 （1）= = ； （1） （1）= = （1） （1） （1）= = = ； （1） （1） （1） （1）= = = ； （1） （1） （1） （1）（1）= （用含 n 的代数式表示， n 是正整数，且 n2） 考点： 规律型：数字的变化类 分析： 由前面算式可以看出： 算式的左边利用平方差公式因式分解， 中间的数字互为倒数， 乘积为 1，只剩下两端的（1 ）和（1+ ）相乘得出结果 解答： 解： （1） （1）
12、（1） （1）（1） = = 故答案为： 点评： 此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题 4.（2014邵阳，第 18 题 3 分）如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对 A 点做如下 移动：第 1 次从原点向右移动 1 个单位长度至 B 点，第 2 次从 B 点向左移动 3 个单位长度 至 C 点，第 3 次从 C 点向右移动 6 个单位长度至 D 点，第 4 次从 D 点向左移动 9 个单位长 度至 E 点，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于 41 考点： 规律型：图形的变化类；数轴 专题： 规律型 分析： 根据数轴上点的坐标变化和平
13、移规律 （左减右加） ， 分别求出点所对应的数， 7 / 13 进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规 律（相邻两数都相差 3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于 41 建立不等式，就可解决问题 解答： 解：由题意可得： 移动 1 次后该点对应的数为 0+1=1，到原点的距离为 1； 移动 2 次后该点对应的数为 13=2，到原点的距离为 2； 移动 3 次后该点对应的数为2+6=4，到原点的距离为 4； 移动 4 次后该点对应的数为 49=5，到原点的距离为 5； 移动 5 次后该点对应的数为5+12=7，到原点的距离为 7； 移动 6 次后该点对应的数为
14、 715=8，到原点的距离为 8； 移动（2n1）次后该点到原点的距离为 3n2； 移动 2n 次后该点到原点的距离为 3n1 当 3n241 时， 解得：n n 是正整数， n 最小值为 15，此时移动了 29 次 当 3n141 时， 解得：n14 n 是正整数， n 最小值为 14，此时移动了 28 次 纵上所述：至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于 41 故答案为：28 点评： 本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量，考查了数轴上点的坐标变 化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究对这列数的奇数项、 偶数项分别进行探究是解决这道题的关键 8 / 13 5.（2014孝
15、感，第 18 题 3 分）正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图的方式放 置点 A1，A2，A3，和点 C1，C2，C3，分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则点 B6的坐标是 （63，32） 考点： 一次函数图象上点的坐标特征 专题： 规律型 分析： 首先利用直线的解析式，分别求得 A1，A2，A3，A4的坐标，由此得到一定的规律， 据此求出点 An的坐标，即可得出点 B6的坐标 解答： 解：直线 y=x+1，x=0 时，y=1， A1B1=1，点 B2的坐标为（3，2） ， A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=201， A2的纵坐标是：1+1=21，
16、A2的横坐标是：1=211，来源:学科网 A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=221， A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=231， 即点 A4的坐标为（7，8） 据此可以得到 An的纵坐标是：2n 1，横坐标是：2n11 即点 An的坐标为（2n 11，2n1） 点 A6的坐标为（251，25） 点 B6的坐标是： （261，25）即（63，32） 故答案为： （63，32） 点评： 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律， 正确得到点的坐标 的规律是解题的关键 6.（2014滨州，第 18 题 4 分）计算下列各式的
17、值： ；来源:Z|xx|k.Com 观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014 9 / 13 考点： 算术平方根；完全平方公式 专题： 规律型 分析： 先计算得到=10=101，=100=102， =1000=103，=1000=104， 计算的结果都 是 10 的整数次幂，且这个指 数的大小与被开方数中每个数中 9 的个数相同，所以 =102014 解答： 解：=10=101， =100=102， =1000=103， =1000=104， =102014 故答案为 102014 点评： 本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么
18、这个正数 x 叫做 a 的算术平方根记为 A 7 （2014德州，第 17 题 4 分）如图，抛物线 y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵 坐标都为整数的点）依次为 A1，A2，A3An，将抛物线 y=x2沿直线 L：y=x 向上平移， 得一系列抛物线，且满足下列条件： 抛物线的顶点 M1，M2，M3，Mn，都在直线 L：y=x 上； 抛物线依次经过点 A1，A2，A3An， 则顶点 M2014的坐标为（ 4027 ， 4027 ） 10 / 13 考点： 二次函数图象与几何变换 专题： 规律型 分析： 根据抛物线 y=x2与抛物线 yn=（xan）2+an相交于 An，可发现规律，根
19、据规律，可得 答案 解答： 解：M1（a1，a1）是抛物线 y1=（xa1）2+a1的顶点， 抛物线 y=x2与抛物线 y1=（xa1）2+a1相交于 A1，来源:163文库 ZXXK 得 x2=（xa1）2+a1， 即 2a1x=a12+a1， x= （a1+1） x 为整数点 a1=1， M1（1，1） ； M2（a2，a2）是抛物线 y2=（xa2）2+a2=x22a2x+a22+a2顶点， 抛物线 y=x2与 y2相交于 A2， x2=x22a2x+a22+a2，来源:学#科#网 2a2x=a22+a2， x= （a2+1） x 为整数点， a2=3， M2（3，3） ， M3（a3，
20、a3）是抛物线 y2=（xa3）2+a3=x22a3x+a32+a3顶点， 11 / 13 抛物线 y=x2与 y3相交于 A3， x2=x22a3x+a32+a3， 2a3x=a32+a3， x= （a3+1） x 为整数点 a3=5， M3（5，5） ， 所以 M2014，2014 21=4027 （4027，4027） ， 故答案为： （4027，4027） 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线 y=x 平移是解题关键 8.（2014菏泽，第 14 题 3 分）下面是一个某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第 n（n 是整数，且 n3）行从左到右数第 n2 个数是 （用
21、 含 n 的代数式表示） 考点： 算术平方根 专题： 规律型 分析： 观察不难发现，被开方数是从 1 开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从 2 开始的连续偶数，求出 n1 行的数据的个数，再加上 n2 得到所求数的被 开方数，然后写出算术平方根即可 解答： 解：前（n1）行的数据的个数为 2+4+6+2（n1）=n（n1） ， 所以，第 n（n 是整数，且 n3）行从左到右数第 n2 个数的被开方数是 n（n 1）+n2=n22， 所以，第 n（n 是整数，且 n3）行从左到右数第 n2 个数是 12 / 13 故答案为： 点评： 本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n1）行
22、的数据的个 数是解题的关键 9 （2014 年山东泰安，第 24 题 4 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 A 顺时 针旋转到AB1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、C1处，点 B1在 x 轴上，再将AB1C1 绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点 C2在 x 轴上，将A1B1C2绕点 C2顺时针旋转 到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去若点 A（ ，0） ，B（0，4） ，则 点 B2014的横坐标为 分析： 首先利用勾股定理得出 AB 的长，进而得出三角形的周长，进而求出 B2，B4 的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案 解：由题意可得：
23、AO= ，BO=4，AB=，OA+AB1+B1C2= +4=6+4=10， B2的横坐标为： 10， B4的横坐标为： 2 10=20， 点B2014的横坐标为： 10=10070 故 答案为：10070 点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出 B 点横坐标变化规律是 解题关键 三三.解答题解答题 1. （ 2014安徽省,第 16 题 8 分）观察下列关于自然数的等式： 324 12=5 524 22=9 724 32=13 来源:学+科+网 Z+X+X+K 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：924 4 2= 17 ； 13 / 13 （2）写出你猜想的第
24、n 个等式（用含 n 的式子表示） ，并验证其正确性 考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式 分析： 由三个等式可得， 被减数是从 3 开始连续奇数的平方， 减数是从 1 开始连续 自然数的平方的 4 倍，计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1，由此规律得出答案即可 解答： 解： （1）324 12=5 524 22=9 724 32=13 所以第四个等式：924 42=17； （2）第 n 个等式为： （2n+1）24n2=2（2n+1）1， 左边=（2n+1）24n2=4n2+4n+14n2=4n+1， 右边=2（2n+1）1=4n+21=4n+1 左边=右边 （2n+1）24n2=2（2n+1）1 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题
