1、第第 5 节节 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线与 此平面垂直 la lb abO a b l 性质 定理 两直线垂直于同一个平面，那
2、 么这两条直线平行 a b ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所 成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或 在平面内，则它们所成的角是 0的角. (2)范围： 0， 2 . 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角
3、是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个平面的一 条垂线， 则这两个平面互相垂直 l l 性质 定理 如果两个平面互相垂直， 则在一 个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面 a la l l 常用结论与微点提醒 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线 线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直 于平面内的无数条直线，就垂直于这个
4、平面”. 3.线线、线面、面面垂直间的转化 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 解析 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l或 l 与 斜交或 l 或 l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与 另一平面平
5、行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故(4)错误. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P73A 组 T1 改编)下列命题中不正确的是( ) A.如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l 解析 根据面面垂直的性质，A 不正确，直线 l平面 或 l或直线 l 与 相 交. 答案 A 3.(2018 湖南六校联考)已
6、知 m 和 n 是两条不同的直线，和 是两个不重合的平 面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( ) A.且 m B.mn 且 n C.mn 且 n D.mn 且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确. 答案 C 4.(2017 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 解析 如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1且 BC1平面 BCC1B1，从而 A1B1BC1. 又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD， 又 A1E平面
7、 A1B1CD，所以 A1EBC1. 答案 C 5.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长为 _. 解析 如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，则AOC 是二面角 ABDC 的平面角， 即AOC90. 又 AOCO 2 2 a， AC a2 2 a 2 2 a，即折叠后 AC 的长(AC)为 a. 答案 a 考点一 线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AB AD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中 点.证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明 (1)在四
8、棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD， 又ACCD，且 PAACA， CD平面 PAC.又 AE平面 PAC， CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD.又 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，又 PD平面 PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面 ABE. 规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性
9、(ab，ab)；(3)面面平行的性质 (a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll ). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直， 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练 1】 如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点， 且 AD1 3DB， 点 C 为圆 O 上一点， 且 BC 3AC， PD平面 ABC，PDDB. 求证：PACD. 证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 ACCB. 在 RtABC 中，由 3ACBC 得，ABC30. 设 AD1，由 3ADDB 得，DB3，BC2 3.
10、 由余弦定理得 CD2DB2BC22DB BCcos 303， 所以 CD2DB2BC2，即 CDAB. 因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC， 所以 PDCD，由 PDABD 得，CD平面 PAB， 又 PA平面 PAB，所以 PACD. 考点二 面面垂直的判定与性质 【例 2】 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD， CD2AB， 平面 PAD底面 ABCD， PAAD， E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA底面 ABCD； (2)BE平面 PAD； (3)平面 BEF平面 PCD. 证明 (1)平面 PAD底面 ABCD， 且 PA 垂直于这两
11、个平面的交线 AD，PA平面 PAD， PA底面 ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点， ABDE，且 ABDE. 四边形 ABED 为平行四边形. BEAD. 又BE平面 PAD，AD平面 PAD， BE平面 PAD. (3)ABAD，而且 ABED 为平行四边形. BECD，ADCD， 由(1)知 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD，且 PAADA，PA，AD平面 PAD， CD平面 PAD，又 PD平面 PAD， CDPD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， PDEF. CDEF，又 BECD 且 EFBEE， CD平面 BEF，又 C
12、D平面 PCD， 平面 BEF平面 PCD. 规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法： (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判 定定理. 2.已知两平面垂直时， 一般要用性质定理进行转化， 在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练 2】 (2017 北京卷)如图，在三棱锥 PABC 中，PA AB，PABC，ABBC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中 点，E 为线段 PC 上一点. (1)求证：PABD； (2)求证：平面 BDE平面 PAC； (3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积. (1)证明 PAAB，PABC， AB平
13、面 ABC，BC平面 ABC，且 ABBCB， PA平面 ABC，又 BD平面 ABC，PABD. (2)证明 ABBC，D 是 AC 的中点， BDAC. 由(1)知 PA平面 ABC，PA平面 PAC， 平面 PAC平面 ABC. 平面 PAC平面 ABCAC，BD平面 ABC，BDAC， BD平面 PAC. BD平面 BDE，平面 BDE平面 PAC， (3)解 PA平面 BDE， 又平面 BDE平面 PACDE，PA平面 PAC， PADE. 由(1)知 PA平面 ABC，DE平面 ABC. D 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点， DE1 2PA1. D 是 AC 的中点， SB
14、CD1 2SABC 1 2 1 2221， VEBCD1 3SBCDDE 1 311 1 3. 考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 31】 (2017 山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边 形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCDA
15、1B1C1D1是四棱柱， 所以 A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形， 所以 A1OO1C， 又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1， 所以 A1O平面 B1CD1. (2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EMBD， 又 A1E平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 A1EBD， 因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1， 又 A1E，EM平面 A1EM，A1EEME， 所以 B1D1平面 A1EM， 又 B1D1平面 B1CD1， 所以平面 A1EM平面 B1CD1. 规律方法 1.三种垂直的综合问题
16、，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂 直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度 2 平行垂直中探索性问题 【例 32】 如图所示， 平面 ABCD平面 BCE， 四边形 ABCD 为矩形，BCCE，点 F 为 CE 的中点. (1)证明：AE平面 BDF. (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. (1)证明 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如图. 四边形 ABCD 是矩形，O 为 AC 的中点， 又 F 为 EC 的中
17、点， OF 为ACE 的中位线， OFAE， 又 OF平面 BDF，AE平面 BDF，AE平面 BDF. (2)解 当 P 为 AE 中点时，有 PMBE， 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH，CH. P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点， PHAB， 又 ABCD，PHCD，P，H，C，D 四点共面. 平面 ABCD平面 BCE， 平面 ABCD平面 BCEBC， CD 平面 ABCD，CDBC. CD平面 BCE， 又 BE平面 BCE，CDBE， BCCE，H 为 BE 的中点，CHBE， 又 CDCHC，BE平面 DPHC， 又 PM平面 DPHC， BEPM，即 P
18、MBE. 规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出 条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充 分性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明， 探索点 存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 命题角度 3 空间位置关系与几何体的度量计算 【例 33】 (2017 天津卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，AD BC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2. (1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD平面 PBC； (3)求直线 AB
19、 与平面 PBC 所成角的正弦值. (1)解 如图，由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直 线 AP 与 BC 所成的角. 因为 AD平面 PDC，PD平面 PDC， 所以 ADPD. 在 RtPDA 中，由已知，得 AP AD2PD2 5， 故 cosDAPAD AP 5 5 . 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . (2)证明 由(1)知 ADPD， 又因为 BCAD，所以 PDBC. 又 PDPB，BCPBB， 所以 PD平面 PBC. (3)解 过点 D 作 DFAB，交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的 角等于 AB 与平面
20、 PBC 所成的角. 因 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 ADBC，DFAB，故 BFAD1. 由已知，得 CFBCBF2. 又 ADDC，故 BCDC. 在 RtDCF 中，可得 DF CD2CF22 5. 在 RtDPF 中，可得 sinDFPPD DF 5 5 . 所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . 规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由 ADBC，ADPD， 得 PDBC，进而利用线面垂直的判定定理证明 PD平面 PBC. 2.利用综合法求空间线线角、线面
21、角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是 完整统一过程，缺一不可. (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线 面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：定义法；垂 面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 【训练 3】 如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所 在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点 E 是 CD 边的 中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF2FB，CG 2GB. (1)证明：PEFG. (2)求二面角 PADC 的正切值. (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角
22、的余弦值. (1)证明 因为 PDPC 且点 E 为 CD 的中点， 所以 PEDC. 又平面 PDC平面 ABCD，且平面 PDC平面 ABCDCD，PE平面 PDC，所 以 PE平面 ABCD， 又 FG平面 ABCD，所以 PEFG. (2)解 由(1)知 PE平面 ABCD，PEAD， 又 ADCD，PECDE， AD平面 PDC，ADPD， PDC 为二面角 PADC 的平面角， 在 RtPDE 中，PD4，DE3， PE 169 7，tanPDCPE DE 7 3 . 故二面角 PADC 的正切值为 7 3 . (3)解 如图，连接 AC，AF2FB，CG2GB，ACFG. 直线
23、PA 与 FG 所成角即直线 PA 与 AC 所成角PAC. 在 RtPDA 中，PA2AD2PD225，PA5. 又 PC4. AC2CD2AD236945，AC3 5. 又 cosPACPA 2AC2PC2 2PAAC 254516 253 5 9 25 5. 所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为9 5 25 . 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2016 浙江卷)已知互相垂直的平面 ，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m， n，则( ) A.ml B.mn C.nl D.mn 解析 因为 l，所以 l，又 n，所以 nl. 答案 C 2.(2018 福
24、州质检)若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是 “l”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 m，若 l，则必有 lm，即 llm. 但 lm/l，lm 时，l 可能在 内. 故“lm”是“l”的必要而不充分条件. 答案 B 3.(2018 衡水中学质检)如图， 在四面体ABCD中， 已知ABAC， BDAC，那么点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.ABC 内部 解析 因 ABAC，BDAC，ABBDB，所以 AC平面 ABD. 又
25、 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD. 所以 D 在平面 ABC 内的射影必在交线 AB 上. 答案 A 4.(2018 广州一模)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列 命题中正确的是( ) A.若 ，m，n，则 mn B.若 m，mn，n，则 C.若 mn，m，n，则 D.若 ，m，n，则 mn 解析 若 ，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； m，mn，n， 又n，故 B 正确； 若 mn，m，n，则 与 的位置关系不确定，故 C 错误； 若，m，n，则 mn 或 m，n 异面， 故 D 错误. 答案 B 5.如图，在三棱锥 DABC 中，若
26、 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列正确的是( ) A.平面 ABC平面 ABD B.平面 ABD平面 BDC C.平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDE D.平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE 解析 因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，又 BEDEE， 于是AC平面BDE.因为AC平面ABC， 所以平面ABC平面BDE. 又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE. 答案 C 二、填空题 6.如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_. 解析 PA平面 ABC，AB，AC，B
27、C平面 ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形. 由 BCAC，且 ACPAA， BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC 也是直角三角形. 答案 4 7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面 各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时， 平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可). 解析 由定理可知，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，有 PC平面 MBD. 又 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 答案 DMPC(或 BMPC 等) 8.如图，在长方体 ABCDA1B1C1
28、D1中，ABBC2，AA11， 则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为_. 解析 连接 A1C1，则AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1所成的 角. 因为 ABBC2，所以 A1C1AC2 2， 又 AA11，所以 AC13， 所以 sinAC1A1AA1 AC1 1 3. 答案 1 3 三、解答题 9.(2016 北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点， 在棱 PB 上是否存在点 F， 使得 PA平面 CEF？说明理 由. (
29、1)证明 因为 PC平面 ABCD，DC平面 ABCD， 所以 PCDC. 又因为 ACDC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC. (2)证明 因为 ABCD，DCAC，所以 ABAC. 因为 PC平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PCAB. 又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF， 所以 PA平面 CEF. 10.
30、(2018 武汉调研)如图，在长方形 ABCD 中，AB2，BC1，E 为 CD 的中点， F 为 AE 的中点，现在沿 AE 将三角形 ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列 问题： (1)在线段 AB 上是否存在一点 K， 使 BC平面 DFK？若存在， 请证明你的结论； 若不存在，请说明理由； (2)若平面 ADE平面 ABCE，求证：平面 BDE平面 ADE. (1)解 如图，线段 AB 上存在一点 K，且当 AK1 4AB 时，BC 平面 DFK. 证明如下： 设 H 为 AB 的中点，连接 EH，则 BCEH. AK1 4AB，F 为 AE 的中点， KFEH，KFBC， KF平
31、面 DFK，BC平面 DFK， BC平面 DFK. (2)证明 在折起前的图形中 E 为 CD 的中点，AB2，BC1， 在折起后的图形中，AEBE 2， 从而 AE2BE24AB2，AEBE. 平面 ADE平面 ABCE， 平面 ADE平面 ABCEAE，BE平面 ABCE， BE平面 ADE， BE平面 BDE， 平面 BDE平面 ADE. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2018 唐山一模)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点， 现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C， D 三点重合，重合后
32、的点记为 H，那么在这个空间图形中必有( ) A.AG平面 EFH B.AH平面 EFH C.HF平面 AEF D.HG平面 AEF 解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，又 HEHFH，AH平面 EFH，B 正确. 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确. AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面 HAG，又 EF平面 AEF， 平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内， C 不正确. 由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确. 答案 B 12.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ， BAD90 ，
33、将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD， 构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的命题序号是 _. 平面 ABD平面 ABC；平面 ADC平面 BDC； 平面 ABC平面 BDC；平面 ADC平面 ABC. 解析 因为在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB， BCD45 ，BAD90 ，所以 BDCD， 又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 BCD， 所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，则 CDAB， 又 ADAB，ADCDD， 所以 AB平面 ADC，又 AB平面 ABC， 所以平面 ABC平面 ADC. 答案
34、 13.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD， ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE平面 PCD； (3)求二面角 APDC 的正弦值. (1)解 在四棱锥 PABCD 中， 因为 PA底面 ABCD，AB平面 ABCD， 故 PAAB. 又 ABAD，PAADA，从而 AB平面 PAD， 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA， 从而APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 RtPAB 中，ABPA，故APB45. 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45.
35、 (2)证明 在四棱锥 PABCD 中， 因为 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， 故 CDPA. 由条件 CDAC，PAACA， CD平面 PAC. 又 AE平面 PAC，AECD. 由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 又 PCCDC，综上得 AE平面 PCD. (3)解 过点 E 作 EMPD，垂足为 M，连接 AM，如图所示. 由(2)知，AE平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM， 则可证得 AMPD. 因此AME 是二面角 APDC 的平面角. 由已知，可得CAD30. 设 ACa，得 PAa， AD2 3 3 a，PD 21 3 a，AE 2 2 a. 在 RtADP 中，AMPD，AMPDPA AD， 则 AMPA AD PD a2 3 3 a 21 3 a 2 7 7 a. 在 RtAEM 中，sinAME AE AM 14 4 . 所以二面角 APDC 的正弦值为 14 4 .
