1、1 第五节第五节 椭椭 圆圆 1椭圆的定义椭圆的定义 平面内到两定点平面内到两定点 F1，F2的距离的和的距离的和等于常数等于常数(大于大于|F1F2|)的点的的点的 轨迹叫椭圆两定点轨迹叫椭圆两定点 F1，F2叫椭圆的叫椭圆的焦点焦点 集合集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中其中 a0，c0，且且 a，c 为常数为常数 (1)当当 2a|F1F2|时时，P 点的轨迹是椭圆；点的轨迹是椭圆； (2)当当 2a|F1F2|时时，P 点的轨迹是线段；点的轨迹是线段； (3)当当 2a0)的左焦点为的左焦点为 F1(4， 0)，则则 m( ) 3 A2 B3 C4 D9 解析：解
2、析：由左焦点为由左焦点为 F1(4，0)知知 c4.又又 a5，25m216， 解得解得 m3 或或3.又又 m0，故故 m3. 答案：答案：B 3 已知中心在原点的椭圆已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为的右焦点为 F(1， 0)， 离心率等于离心率等于1 2， ， 则则 C 的方程是的方程是( ) A.x 2 3 y 2 4 1 B.x 2 4 y2 3 1 C.x 2 4 y 2 2 1 D.x 2 4 y 2 3 1 解析：解析：椭圆的焦点在椭圆的焦点在 x 轴上；轴上；c1. 又离心率为又离心率为c a 1 2， ，故故 a2，b2a2c2413， 故椭圆的方程为故椭圆的方程为x 2
3、 4 y 2 3 1. 答案：答案：D 4(2014 大纲全国卷大纲全国卷)已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右的左、右 焦点为焦点为 F1、F2，离心率为离心率为 3 3 ，过过 F2的直线的直线 l 交交 C 于于 A、B 两点若两点若 AF1B 的周长为的周长为 4 3，则则 C 的方程为的方程为( ) A.x 2 3 y 2 2 1 B.x 2 3 y21 C.x 2 12 y 2 8 1 D.x 2 12 y 2 4 1 解析：解析：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率为的离心率为 3 3 ，c a 3 3 . 4 又又过过 F2的直线的
4、直线 l 交椭圆于交椭圆于 A， B 两点两点， AF1B 的周长为的周长为 4 3， 4a4 3，a 3.b 2， 椭圆方程为椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1. 答案：答案：A 5 (2016 课标全国课标全国卷卷)直线直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 若椭圆中心到若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的的距离为其短轴长的1 4， ，则该椭圆的离心率为则该椭圆的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【解析】【解析】 利用椭圆利用椭圆的几何性质列方程求离心率的几何性质列方程求离心率 不妨设直线不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点
5、经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点和一个焦点 F(c，0)， 则直线则直线 l 的方程为的方程为x c y b 1， 即即 bxcybc0.由题意知由题意知 |bc| b2c2 1 4 2b，解得解得c a 1 2， ，即即 e1 2.故选 故选 B. 【答案】【答案】 B 5 一条规律一条规律 椭圆焦点位置与椭圆焦点位置与 x2，y2系数之间的关系系数之间的关系: 给出椭圆方程给出椭圆方程x 2 m y 2 n 1 时时，椭圆的焦点在椭圆的焦点在 x 轴上轴上mn0；椭；椭 圆的焦点在圆的焦点在 y 轴上轴上05，椭圆的焦点在椭圆的焦点在 x 轴上轴上， |F1F2|8，c4， a2
6、25c241，则则 a 41. 由椭圆定义由椭圆定义，|AF1|AF2|BF2|BF1|2a， ABF2的周长为的周长为 4a4 41. 答案：答案：4 41 7已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的两焦点的两焦点 F1(4，0)，F2(4， 0)，点点 P 在椭圆在椭圆 C 上若上若PF1 PF2 0，PF1F2的面积为的面积为 9，则则 b _ 解析：解析：设设|PF1|m，|PF2|n， 由由PF1 PF2 0 知知 PF1PF2， m2n2|F1F2|264. 又又 SPF1F21 2mn 9，则则 mn18. 由由，得得(mn)2100，2amn10，所以所
7、以 a5. 又又 c4，得得 b3. 答案：答案：3 8过椭圆过椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左顶点的左顶点 A 且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 交椭圆交椭圆 C 于另一个点于另一个点 B，且点且点 B 在在 x 轴上的射影恰好为右焦点轴上的射影恰好为右焦点 F2， 若若1 30)，点点 O 为坐标原点为坐标原点，点点 A 的坐标为的坐标为(a，0)，点点 B 的坐标为的坐标为(0，b)，点点 M 在在 线段线段 AB 上上，满足满足|BM|2|MA|，直线直线 OM 的斜率为的斜率为 5 10. (1)求求 E 的离心率的离心率 e； (2)设点设点 C 的坐标为的
8、坐标为(0，b)，N 为线段为线段 AC 的中点的中点，证明：证明： MNAB. 解：解：(1)由题设条件知由题设条件知，点点 M 的坐标为的坐标为 2 3a， ，1 3b ， ， 又又 kOM 5 10， ，从从而而 b 2a 5 10. 进而进而 a 5b，c a2b22b，故故 ec a 2 5 5 . (2)证明：证明： 由由 N 是是 AC 的中点知的中点知， 点点 N 的坐标为的坐标为 a 2， ，b 2 ， 可得可得NM a 6， ，5b 6 . 又又AB (a，b)， 从而有从而有AB NM 1 6a 2 5 6b 2 1 6(5b 2 a2) 由由(1)的计算结果可知的计算结
9、果可知 a25b2， 所以所以AB NM 0，故故 MNAB. B 级级 能力提升能力提升 1设设 F1，F2分别是椭圆分别是椭圆 E：x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点的左、右焦点，过过 F1的的 直线直线 l 与与 E 相交于相交于 A，B 两点，且两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列成等差数列，则则 |AB|( ) 13 A.10 3 B3 C.8 3 D 2 解析：解析：依题意得依题意得|AF1|AF2|BF1|BF2|(|AF1|BF1|) (|AF2|BF2|)|AB|(|AF2|BF2|)3|AB|42，|AB|8 3， ，故选故选 C. 答案：答案：C 3(
10、2015 陕西卷陕西卷)如图如图，椭椭圆圆 E：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)经过点经过点 A(0， 1)，且离心率为且离心率为 2 2 . 14 (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)经过点经过点(1， 1)， 且斜率为且斜率为 k 的直线与椭圆的直线与椭圆 E 交于不同的两点交于不同的两点 P， Q(均异于点均异于点 A)，证明：直线证明：直线 AP 与与 AQ 的斜率之和为的斜率之和为 2. (1)解：解：由题设知由题设知c a 2 2 ，b1， 结合结合 a2b2c2，解得解得 a 2. 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x 2 2 y21. (2)证明证明：由由题设知题设知，直线直线 PQ 的方程为的方程为 yk(x1)1(k2)， 代入代入x 2 2 y21，得得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0. 由已知由已知 0， 设设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20， 则则 x1x24k（ （k1） 12k2 ，x1x22k（ （k2） 12k2 . 从而直线从而直线 AP，AQ 的斜率之和的斜率之和 kAPkAQy 1 1 x1 y 2 1 x2 kx 1 2k x1 kx 2 2k x2 2k(2k) 1 x1 1 x2 2k(2k)x 1 x2 x1x2 2k(2k)4k（ （k1） 2k（k2） 2k2(k1)2.
