1、惠州育智文化传播有限公司 1 第五节第五节 指数与指数函数指数与指数函数 【最新考纲】【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意了解实数指数幂的意 义义，掌握幂的运算掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景了解指数函数模型的实际背景3.理解指数函数理解指数函数 的概念及其单调性的概念及其单调性， 掌握指数函数图象通过的特殊点掌握指数函数图象通过的特殊点， 会画底数为会画底数为 2， 3，10，1 2， ，1 3的指数函数的图象 的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模体会指数函数是一类重要的函数模 型型 1根式的性质根式的性质 (1)(na)
2、na (2)当当 n 为奇数时为奇数时，nana (3)当当 n 为偶数时为偶数时，nan|a| a （a0） a （a0） . (4)负数的偶次方根负数的偶次方根无意义无意义 (5)零的任何次方根零的任何次方根都等于零都等于零 2有理指数幂有理指数幂 (1)分数指数幂分数指数幂 正分数指数幂：正分数指数幂：a m n nam(a0，m，nN*，且且 n1)； 负分数指数幂：负分数指数幂：am n 1 a m n 1 n am (a0，m，nN*，且且 n 1)； 惠州育智文化传播有限公司 2 0 的正分数指数的正分数指数幂等于幂等于 0，0 的负分数指幂的负分数指幂没有意义没有意义 (2)有
3、理数指数幂的运算性质：有理数指数幂的运算性质： arasar s(a 0，r、sQ)； (ar)sars(a0，r、sQ)； (ab)rarbr(a0，b0，rQ) 3指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 图象图象 a1 0a1 定义域定义域 R 值域值域 (0，) 性质性质 过定点过定点(0，1) 当当 x0 时时，y1； 当当 x0 时时，0y1 当当 x0 时时，0y1； 当当 x0 时时，y1 在在 R 上是上是增函数增函数 在在 R 上是上是减函数减函数 惠州育智文化传播有限公司 3 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误
4、的 打打“”“”) (1) 4 （4）44.( ) (2)(1) 2 4 (1) 1 2 1.( ) (3)函数函数 y2x 1 是指数函数是指数函数( ) (4)函数函数 yax21(a1)的值域是的值域是(0，)( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2化简化简(2)6 1 2 (1)0结果为结果为( ) A9 B7 C10 D9 解析：解析：(2)6 1 2 (1)0(26) 1 2 1817. 答案：答案：B 3已知函数已知函数 f(x)4ax 1 的图象恒过定点的图象恒过定点 P，则点则点 P 的坐标是的坐标是 ( ) A. (1，5) B(1，4) C(0，4) D(4
5、，0) 解析：解析：由由 a01 知知，当当 x10，即即 x1 时时，f(1)5，即图象必即图象必 过定点过定点(1，5) 答案：答案：A 4(2017 唐山一模唐山一模)函数函数 f(x) 2 x 2的定义域是的定义域是_ 解析：解析：由题意可得：由题意可得：2 x 20，2 x 2，x1，x 1，即函数的定义域为即函数的定义域为(，1 惠州育智文化传播有限公司 4 答案：答案：(，1 5指数函数指数函数 y(2a)x在定域内是减函数在定域内是减函数，则则 a 的取值范围是的取值范围是 _ 解析：解析：由题意知由题意知 02a1，解得解得 1a2. 答案：答案：(1，2) 两种方法两种方法
6、 1根式与分数指数幂的实质是相同的根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以分数指数幂与根式可以 互化互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 2判断指数函数图象上判断指数函数图象上底数大小的问题底数大小的问题，可以先通过令可以先通过令 x1 得到底数的值得到底数的值再进行比较再进行比较 三点注意三点注意 1指数函数的单调性取决于底数指数函数的单调性取决于底数 a 的大小的大小，因此解题时通常分因此解题时通常分 0a1 和和 a1 进行分类讨论进行分类讨论 2对和复合函数有关的问题对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等要弄清复合函数
7、由哪些基本初等 函数复合而成并且一定要注意函数的定义域函数复合而成并且一定要注意函数的定义域 3 对可化为对可化为 a2xb axc0 或或 a2xb axc0(0)形式的方程形式的方程 式不等式式不等式，常借助换元法解决常借助换元法解决，但应注意换元后但应注意换元后“新元新元”的范围的范围 一、选择题一、选择题 1若若 xlog43，则则(2x2 x)2 ( ) A.9 4 B.5 4 惠州育智文化传播有限公司 5 C.10 3 D.4 3 解析：解析：由由 xlog43，得得 4x3，即即 2x 3，2 x 3 3 ， 所以所以(2x2 x)2 2 3 3 2 4 3. 答案：答案：D 2
8、函数函数 f(x)2|x 1|的图 的图象是象是( ) 解析：解析：f(x) 2 x1， ，x1， 1 2 x1， ，x1，. 由图象特点可知选由图象特点可知选 B. 答案：答案：B 3函数函数 f(x)ax 1(a 0，a1)的图象恒过点的图象恒过点 A，下列函数中图，下列函数中图 象不经过点象不经过点 A 的是的是( ) Ay 1x By|x2| Cy2x1 Dylog2(2x) 解析：解析：f(x)ax 1(a 0，a1)的图象恒过点的图象恒过点(1，1)，又由又由 11 0 知知(1，1)不不在函数在函数 y 1x的图象上的图象上 答案：答案：A 4若函数若函数 f(x)a|2x 4|
9、(a 0，a1)，满足满足 f(1)1 9， ，则则 f(x)的单的单 调递减区间是调递减区间是( ) 惠州育智文化传播有限公司 6 A(，2 B2，) C2，) D(，2 解析：解析：由由 f(1)1 9， ， 得得 a21 9， ，a1 3(a 1 3舍去 舍去)，即即 f(x) 1 3 |2x4|. 由于由于 y|2x4|在在(，2上递减上递减，在在2，)上递增上递增，所以所以 f(x)在在(，2上递增上递增，在在2，)上递减上递减 答案：答案：B (2015 天津卷天津卷)已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)2|x m| 1(m为实数为实数) 为偶函数为偶函数，记记 af(l
10、og0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则则 a，b，c 的大的大 小关系为小关系为( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 解析：解析：由由 f(x)2|x m| 1 是偶函数可知是偶函数可知 m0，所以所以 f(x)2|x|1. 所以所以 af(log0.53)2|log0.53|12log2312， bf(log25)2|log25|12log2514， cf(0)2|0|10，所以所以 cab. 答案：答案：C 惠州育智文化传播有限公司 7 二、填空题二、填空题 7(2015 江苏卷江苏卷)不等式不等式 2x2x4 的解集为的解集为_ 解析：解析：2x2x4，2x2x2
11、2， x2x2，即即 x2x20，1x2. 答案：答案：x|1x2(或或(1，2) 8(2015 山东卷山东卷)已知函数已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和的定义域和 值域都是值域都是1，0，则则 ab_ 解析：解析：当当 a1 时时，函数函数 f(x)axb 在在1，0上为增函数上为增函数，由由 题意得题意得 a 1 b1， a0b0 无解 当无解 当 0a1 时时， 函数函数 f(x)axb 在在1， 0上为减函数上为减函数，由题意得由题意得 a 1 b0， a0b1，解得 解得 a 1 2， ， b2， 所以所以 ab 惠州育智文化传播有限公司 8 3 2. 答案：答案：3
12、2 三、解答题三、解答题 10设设 a0 且且 a1，函数函数 ya2x2ax1 在在1，1上的最大上的最大 值是值是 14，求求 a 的值的值 解：解：令令 tax(a0 且且 a1)， 则原函数化为则原函数化为 y(t1)22(t0) 当当 0a1 时时，x1，1，tax a，1 a ， 此时此时 f(t)在在 a，1 a 上为增函数上为增函数 所以所以 f(t)maxf 1 a 1 a 1 2 214. 则则 1 a 1 2 16，所以所以 a1 5或 或 a1 3. 惠州育智文化传播有限公司 9 又因为又因为 a0，所以所以 a1 3. 当当 a1 时时，x1，1，tax 1 a， ，
13、a ， 此时此时 f(t)在在 1 a， ，a 上是增函数上是增函数 所以所以 f(t)maxf(a)(a1)2214， 解得解得 a3(a5 舍去舍去)， 综上得综上得 a1 3或 或 3. 11已知已知 f(x) 1 ax1 1 2 x3(a0，且且 a1) (1)讨论讨论 f(x)的奇偶性；的奇偶性； (2)求求 a 的取值范围的取值范围，使使 f(x)0 在定义域上恒成立在定义域上恒成立 解：解：(1)由于由于 ax10，则则 ax1，得得 x0， 所以函数所以函数 f(x)的定的定义域为义域为x|x0 对于定义域内任意对于定义域内任意 x，有有 f(x) 1 a x 1 1 2 (x)3 ax 1ax 1 2 (x)3 1 1 ax1 1 2 (x)3 1 ax1 1 2 x3f(x) f(x)是偶函数是偶函数 (2)由由(1)知知 f(x)为偶函数为偶函数，只需讨论只需讨论 x0 时的情况时的情况 当当 x0 时时，要使要使 f(x)0，即即 1 ax1 1 2 x30， 惠州育智文化传播有限公司 10 即即 ax1 2（ax1） 0，即即 ax10，ax1. 又又x0，a1. 因此因此 a1 时时 f(x)0.
