1、四川理工学院四川理工学院 2019 年研究生入学考试业务课样卷年研究生入学考试业务课样卷 （满分：（满分：150 分，所有答案一律写在答题纸上）分，所有答案一律写在答题纸上） 招生专业：招生专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：考试科目：高等代数高等代数 考试时间：考试时间： 3 小时小时 一、一、 填空填空题（每题题（每题 5 分，共分，共 30 分）分） 1、已知n阶矩阵的特征值12,n 均不为 0，则1A= 。 2、欧氏空间4中，内积按通常定义，则，当k 时，向量(2,0,1,3)T与向量(1,2,1, )Tk正交。 3
2、、已知A是三阶矩阵，且3A，则1*431AA 。 4、设为线性空间V的线性变换，请举出一个的不变子空间的例子 。 5、设矩阵100010321A，A为A的伴随矩阵，则1)(A 。 6、已知实二次型),(321xxxf= 2221231 21 34322xxxx xx x是正定二次型， 则参数的取值范围为 。 二二、计算计算题（题（13 题题每题每题 10 分，分，4、5 题每题题每题 15 分，分，共共 60 分）分） 1、已知三元非齐次组系数矩阵的秩为 1，且三个解向量满足12123 ，23012 ，31101，求该非齐次组的通解，并找出一个满足条件的方程组。 2、设是R上线性空间3R的线性
3、变换，3( ,)x y zR，( ) ( , , )(2,23 ,3 ) x y zyzxzxy，求的特征根与特征向量。 3、设矩阵010100001A，a是实数，且3BaAE是正定矩阵，求实数a的范围。 4、 试求 7 次多项式( )f x， 使得( )+1f x能被4(1)x整除， 而( ) 1f x能被4( +1)x整除。 5、计算 211122222111111111nnnnnnxxxxxxxxx。 三、证明题（每题三、证明题（每题 15 分，共分，共 60 分）分） 1、设B是m n的实矩阵，12( ,)TnXx xx是实向量，证明：齐次线性方程组0BX只有零解的充要条件是TB B为正定矩阵。 2、证明：对任意n阶方阵,A B，等式nABBAE都不成立。 3、设是欧氏空间 V 的一个非零向量，12, nV满足条件 );,.,2 , 1,(0),(, 0),(jinjijii 证明12,n 线性无关。 4、已知, ,abVa b cFca，1101A （1）证明：V是22F的子空间； （2）定义：VV，TTXA XX A，证明：( )L V； （3）求V的一组基，并求在该组基下的矩阵。
