1、硕士研究生入学考试大纲考试科目名称: 泛函分析一、援引教材 泛函分析第二版 高等教育出版社 江泽坚 孙善利编二、考试要求要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能灵活运用，具备较强的分析问题与解决问题的能力。三、考试内容（一）距离线性空间1 距离线性空间的定义，常见的距离线性空间的距离定义及其性质。2 距离空间中的拓扑涵义，可分空间。3 Cauchy序列的性质，距离空间的完备性。4 列紧集，完全有界集的定义及它们之间的关系。5 赋范线性空间定义；范数与距离的关系；有限维赋范线性空间的结构。6 赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。7 常见空间以及等空间中
2、距离与范数之间的定义及关系。掌握这些空间的可分性，完备性及拓扑性质。8 压缩映射定义，掌握压缩映象原理，并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理在理论上的典型应用。（二）Hilbert空间1 内积空间的定义，性质；内积与范数、距离之间的关系。2 赋范线性空间成为内积空间的条件，常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。3 掌握内积空间的定义及其性质。4 Hilbert空间的定义；Hilbert空间上的正规正交基，正规正交分解；5 掌握并熟练运用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。6 掌握可分Hilbert空间的结构。7 掌握射影定理，理解其涵义，并能加以应用；掌握
3、表现定理，Hilbert空间上的线性泛函的表示。8 Hilbert共轭算子的定义、性质及其表示；可分Hilbert空间上有界线性算子的矩阵表达式。（三）Banach空间及Banach空间上的有界线性算子1. Banach空间上的有界线性算子定义；算子范数的计算；范数的比较。2. 有界线性算子空间的性质。3. 算子的逆，逆算子存在、连续的条件；利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。4. Hahn-Banach定理；扩张定理的几种表现形式，如Banach扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。5. Hahn-Banach定理的一些推论，体现的不同侧面的Hahn-Banach定
4、理的具体表现形式；Hahn-Banach定理的几何形式。Hahn-Banach定理在理论及实际上的应用。6. 分离定理，及其与Hahn-Banach定理之间的关系。7. Baire纲定理；第一纲集、第二纲集的定义与分类。8. 一致有界原理（共鸣定理）；开映射定理；Banach逆算子定理；闭图形定理以及它们的应用。9. 对偶空间的定义，几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式，如等。10. 二次对偶、典型映射、自反空间的定义；有限维赋范线性空间、Hilbert空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。11. Banach共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。12. 算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。（四）有界线性算子谱论1. 有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。2. 掌握谱半径公式，应用公式解决问题。3. 射影算子的定义；有界线性算子的不变子空间与约化子空间；F.Riesz空间分解定理。4. 紧算子的定义及其性质；紧算子的实例；紧算子与理想的关系。5. Riesz-Schauder理论：F.Riesz定理；两择一定理；Fredholm交替定理等定理内容与应用。6. 有界自伴算子的基本性质；紧自伴算子的定义与性质；酉算子的定义与性质。7. 有界自伴算子的谱测度，谱分解定理与函数演算。
