1、第 6 讲 离散型随机变量的分布列 一、选择题 1已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P 1 15 2 15 m 4 15 1 3 则m的值为( ) A. 1 15 B. 2 15 C. 1 5 D. 4 15 解析 利用概率之和等于 1，得 m 3 15 1 5. 答案 C 2已知随机变量 X 的分布列为 P(Xi) i 2a(i1,2,3)，则 P(X2)等于 ( ) A.1 9 B.1 6 C.1 3 D.1 4 解析 1 2a 2 2a 3 2a1，a3，P(X2) 2 23 1 3. 答案 C 3若随机变量 X 的概率分布列为 X x1 x2 P p1 p2 且
2、p11 2p2，则 p1 等于 ( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 解析 由 p1p21 且 p22p1可解得 p11 3. 答案 B 4 已知随机变量 X 的分布列为： P(Xk) 1 2k， k1,2， ， 则 P(2X4)等于( ) A. 3 16 B.1 4 C. 1 16 D. 5 16 解析 P(2X4)P(X3)P(X4) 1 23 1 24 3 16. 答案 A 5从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量表示所选 3 人中女生的人数，则P(1)等于( ) A.1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 解析 P(1)1P(2)
3、1C 1 4C 2 2 C 3 6 4 5. 答案 D 6一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后 放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12)等于 ( ) AC10 12 3 8 10 5 8 2 BC912 3 8 9 5 8 23 8 CC911 5 8 9 3 8 2 DC911 3 8 10 5 8 2 解析 “X12”表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球，2 次取到 白球，因此 P(X12)3 8C 9 11 3 8 9 5 8 2C9 11 3 8 10 5 8 2. 答案 D 二、填空题 7
4、设随机变量X的分布列为P(Xi) i 10，(i1,2,3,4)，则 P 1 2X 7 2 _. 解析 P 1 2X 7 2 P(X1)P(X2)P(X3)3 5. 答案 3 5 8 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回， 再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数 的分布列为_ 解析 的所有可能值为 0,1,2.P(0)C 1 2C12 C14C14 1 4，P(1) 2C12C12 C14C14 1 2，P( 2)C 1 2C12 C14C14 1 4. 答案 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 9. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同， 且在两
5、次罚球中至少命中一次的 概率为 16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为_ 解析 由 25 16 1 2 p得 5 3 p 答案 3 5 10甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题，比赛规定：对于每一个 题，没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得 1 分，抢到题但回答错 误的扣 1 分(即得1 分)若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)， 则 X 的所有可能取值是_ 解析 X1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X0，甲没 抢到题，或甲抢到 2 题，但答时一对一错；X1 时，甲抢到 1 题且答对或甲 抢到 3 题，且一错两对；X2 时，甲抢到 2 题均答
6、对；X3 时，甲抢到 3 题 均答对 答案 1,0,1,2,3 三、解答题 11在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元 的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某 顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列 解 (1)该顾客中奖， 说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张， 由于是等 可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 PC 1 4C16C24 C210 30 45 2 3. 或用间接法，即P1 C26 C2101 15 45 2
7、3 . (2)依题意可知，X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60(元)，且 P(X0)C 0 4C26 C210 1 3，P(X10) C13C16 C210 2 5， P(X20) C23 C210 1 15，P(X50) C11C16 C210 2 15， P(X60)C 1 1C13 C210 1 15. 所以 X 的分布列为： X 0 10 20 50 60 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 12. 设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相 交时，0 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面 时，1. (1)求
8、概率 P(0)； (2)求 的分布列，并求其数学期望 E() 解 (1)若两条棱相交， 则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个， 过任意 1 个顶点 恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱，因此 P(0)8C 2 3 C212 83 66 4 11. (2)若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对，故 P( 2) 6 C212 1 11， 于是 P(1)1P(0)P( 2)1 4 11 1 11 6 11， 所以随机变量 的分布列是 0 1 2 P 4 11 6 11 1 11 因此 E()1 6 11 2 1 11 6 2 11 . 13某高中共派出足球、
9、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军 的概率分别为1 2， 1 3， 2 3. (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列； (2)若球队获得冠军，则给其所在学校加 5 分，否则加 2 分，求该高中得分 的分布列 解 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P(X0) 11 2 11 3 12 3 1 9， P(X1)1 2 11 3 12 3 11 2 1 3 12 3 11 2 11 3 2 3 7 18， P(X2)1 2 1 3 12 3 11 2 1 3 2 3 1 2 11 3 2 3 7 18， P(X3)1 2 1 3 2 3 1 9. X 的分
10、布列为 X 0 1 2 3 P 1 9 7 18 7 18 1 9 (2)得分 5X2(3X)63X， X 的可能取值为 0,1,2,3. 的可能取值为 6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P(6)P(X0)1 9，P(9)P(X1) 7 18， P(12)P(X2) 7 18，P(15)P(X3) 1 9. 得分 的分布列为 6 9 12 15 P 1 9 7 18 7 18 1 9 14. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参 加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否 则就一直考到第 4 次为止 如果李明决定参加驾照考试，
11、 设他每次参加考试通 过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列， 并求李明在一年内领到驾照的概率 解 X 的取值分别为 1,2,3,4. X1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故 P(X1)0.6. X2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故 P(X2)(10.6)0.70.28. X3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故 P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096. X4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故 P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.024. 李明实际参加考试次数 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 李明在一年内领到驾照的概率为 1(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.997 6.
