1、第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1某班有1 4的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出 5 名同学，那么其中数 学成绩优秀的学生数XB 5，1 4 ，则E(2X1)等于( ) A.5 4 B. 5 2 C3 D.7 2 解析 因为 XB 5，1 4 ，所以 E(X)5 4，所以 E(2X1)2E(X)12 5 41 7 2. 答案 D 2某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种 子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A100 B200 C300 D400 解析 种子发芽率为 0.9，不发芽率为 0.1，
2、每粒种子发芽与否相互独立，故 设没有发芽的种子数为，则B(1 000,0.1)，E()1 0000.1 100，故需补种的期望为E(X)2E()200. 答案 B 3若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1 2 P 1 2p p 1 2 则 E()的最大值为 ( ) A1 B.3 2 C.2 3 D2 解析 由 p0，1 2p0，则 0p 1 2，E()p1 3 2. 答案 B 4已知随机变量 X8，若 XB(10，0.6)，则 E()，D()分别是 ( ) A6 和 2.4 B2 和 2.4 C2 和 5.6 D6 和 5.6 解析 由已知随机变量 X8，所以有 8X.因此，求得 E
3、()8E(X) 8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4. 答案 B 5一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概 率为 c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为 2，则2 a 1 3b的最小值 为 ( ) A.32 3 B.28 3 C.14 3 D.16 3 解析 由已知得，3a2b0c2， 即 3a2b2，其中 0a2 3，0b1. 又2 a 1 3b 3a2b 2 2 a 1 3b 31 3 2b a a 2b 10 3 2 2b a a 2b 16 3 ， 当且仅当2b a a 2b， 即 a2b 时取“等号”，
4、又 3a2b2， 即当 a 1 2， b 1 4时， 2 a 1 3b的最小值为 16 3 ，故选 D. 答案 D 6设 10x1x2x3D(2) BD(1)D(2) CD(1)D(2) DD(1)与 D(2)的大小关系与 x1、x2、x3、x4的取值有关 解析 利用期望与方差公式直接计算 E(1)0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x5 0.2(x1x2x3x4x5) E(2)0.2x 1x2 2 0.2x 2x3 2 0.2x 5x1 2 0.2(x1x2x3x4x5) E(1)E(2)，记作 x ， D(1)0.2(x1 x )2(x2 x )2(x5 x )2 0.2x21x
5、22x255 x 22(x1x2x5) x 0.2(x21x22x255 x 2) 同理 D(2)0.2 x1x2 2 2 x2x3 2 2 x5x1 2 25 x2. x1x2 2 2x 2 1x22 2 ， x5x1 2 2x 2 5x21 2 ， x1x2 2 2 x2x3 2 2 x5x1 2 2D(2) 答案 A 二、填空题 7某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的期望 E()8.9，则 y 的值为_ 解析 x0.10.3y1，即 xy0.6. 又 7x0.82.710y8.9，化简得 7x10y5.4. 由联立解得 x0.2，y0
6、.4. 答案 0.4 8马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表： 1 2 3 P ？ ！ ？ 请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？” 处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确 答案E()_. 解析 令“？”为a，“！”为b，则 2ab1.又E()a2b3a2(2a b)2. 答案 2 9袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回， 现连续取球 8 次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)_. 解析 每次取球时， 红球被取出的概率为1 2， 8 次取球看做 8 次独立重复试验， 红球出现的次数 XB 1 2，8
7、 ，故 D(X)8 1 2 1 22. 答案 2 10罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4 次，设为取得红球的次数，则的期望E()_. 解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均 为3 5， 连续摸 4 次(做 4 次试验)， 为取得红球(成功)的次数， 则B 4，3 5 ， 从而有E()np43 5 12 5 . 答案 12 5 三、解答题 11袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n 1,2,3,4)现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号 (1)求 X 的分布列、期望和
8、方差； (2)若 aXb，E()1，D()11，试求 a，b 的值 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E(X)01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5. D(X)(01.5)21 2(11.5) 2 1 20(21.5) 2 1 10(31.5) 2 3 20(4 1.5)21 52.75. (2)由 D()a2D(X)，得 a22.7511，即 a 2. 又 E()aE(X)b， 所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2. 当 a2 时，由 121.5b，得 b4. a2， b2 或 a2， b4， 即
9、为所求 12甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1 2，a，a(0a1)，三人各 射击一次，击中目标的次数记为 . (1)求 的分布列及数学期望； (2)在概率 P(i)(i0,1,2,3)中，若 P(1)的值最大，求实数 a 的取值范围 解 (1)P()是“ 个人命中，3 个人未命中”的概率其中 的可能取值为 0,1,2,3. P(0) 11 2 (1a)21 2(1a) 2， P(1)1 2(1a) 2 11 2 a(1a) 11 2 (1a)a1 2(1a 2)， P(2) 11 2 a21 2(1a)a 1 2a(1a) 1 2(2aa 2)， P(3)a 2 2 . 所以 的
10、分布列为 0 1 2 3 P 1 2(1a) 2 1 2(1a 2) 1 2(2aa 2) a2 2 的数学期望为 E()01 2(1a) 211 2(1a) 221 2(2aa 2)3a 2 2 4a1 2 . (2)P(1)P(0)1 2(1a 2)(1a)2a(1a)， P(1)P(2)1 2(1a 2)(2aa2)12a 2 ， P(1)P(3)1 2(1a 2)a212a 2 2 . 由 a1a0， 12a 2 0， 12a2 2 0 及 0a1，得 0a1 2， 即 a 的取值范围是 0，1 2 . 13如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时 间互不
11、影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站， 甲和乙应如何选择各自 的路径？ (2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的 选择方案，求X的分布列和数学期望 解 (1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40 分钟内赶到火车站”，Bi表示事 件“乙选择路径Li时，50 分钟内赶到火车站”，i1,2
12、. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5， P(A1)P(A2)，甲应选择L1； P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9， P(B2)P(B1)，乙应选择L2. (2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车 站， 由(1)知P(A)0.6，P(B)0.9，又由题意知，A，B独立， P(X0)P(AB)P(A)P(B)0.40.10.04， P(X1)P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B) 0.40.90.60.10.42， P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.6
13、0.90.54. X的分布列为 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 E(X)00.0410.4220.541.5. 14某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位游客游览这 3 个景点的概率分别是 0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该 城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值 (1)求X的分布列及期望； (2)记“f(x)2Xx4 在3，1上存在x0，使f(x0)0”为事件A，求事 件A的概率 解 (1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，已知A1、A2、 A3 相互独立，且P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6.游客游览的景点数可能 取值为 0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3、2、1、0， 所以X的可能取值为 1、3.则P(X3)P(A1A2A3)P(A1 A2 A3) P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3) 20.40.50.60.24. P(X1)10.240.76. 所以分布列为： X 1 3 P 0.76 0.24 E(X)10.7630.241.48. (2)f(x)2Xx4 在3，1上存在x0，使得f(x0)0， f(3)f(1)0，即(6X4)(2X4)0， 解得：2 3X2. P(A)P 2 3X2 P(X1)0.76.
