1、第 7 讲 立体几何中的向量方法（一） 一、选择题 1直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) As s1(1,1,2)，s s2(2，1,0) Bs s1(0,1，1)，s s2(2,0,0) Cs s1(1,1,1)，s s2(2,2，2) Ds s1(1，1,1)，s s2(2,2，2) 解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项 B 中的两个向量垂直 答案 B 2已知a a 1，3 2， 5 2 ，b b 3，15 2 满足abab，则等于( ) A.2 3 B. 9 2 C 9 2 D 2 3 解析 由 1 3 3 2 5 2 15 2 ，可知9 2.
2、答案 B 3平面 经过三点 A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面 的法向量不垂直的是 ( ) A. 1 2，1，1 B(6，2，2) C(4,2,2) D(1,1,4) 解析 设平面 的法向量为 n，则 nAB ，nAC ，nBC ，所有与AB (或AC 、 BC )平行的向量或可用AB 与AC 线性表示的向量都与 n 垂直，故选 D. 答案 D 4已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12 2，E 为 CC1的中点， 则直线 AC1与平面 BED 的距离为 ( ) A2 B. 3 C. 2 D1 解析 连接 AC，交 BD 于点 O，连接
3、EO，过点 O 作 OHAC1于点 H， 因为 AB2， 所以 AC2 2， 又 CC1 2 2，所以 OH 2sin 45 1. 答案 D 5已知a a(2，1,3)，b b(1,4，2)，c c(7,5， )，若a a，b b，c c三向量共面，则实数等于( ) A.62 7 B.63 7 C.60 7 D.65 7 解析 由题意得c cta ab b (2t，t4，3t2)， 72t 5t4， 3t2 t33 7 17 7 65 7 . 答案 D 6正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且AM 1 2MC1 ，N 为 B1B 的中点，则|MN |为 ( ) A
4、. 21 6 a B. 6 6 a C. 15 6 a D. 15 3 a 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz，则 A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N a，a，a 2 . 设 M(x，y，z)， 点 M 在 AC1上且AM 1 2MC1 ， (xa，y，z)1 2(x，ay，az) x2 3a，y a 3，z a 3. 得 M 2a 3 ，a 3， a 3 ， |MN | a2 3a 2 aa 3 2 a 2 a 3 2 21 6 a. 答案 A 二、填空题 7 若向量 a(1， ， 2)， b(2， 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为8 9， 则 _.
5、 解析 由已知得8 9 a b |a|b| 24 52 9， 8 523(6)，解得 2 或 2 55. 答案 2 或 2 55 8在四面体 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，设 PAPBPCa，则点 P 到 平面 ABC 的距离为_ 解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz，则 P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0， a)过点 P 作 PH平面 ABC，交平面 ABC 于点 H， 则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离 PAPBPC， H 为ABC 的外心 又ABC 为正三角形， H 为ABC 的重心，可得 H 点的坐标为 a 3
6、， a 3， a 3 . PH 0a 3 2 0a 3 2 0a 3 2 3 3 a. 点 P 到平面 ABC 的距离为 3 3 a. 答案 3 3 a 9平面 的一个法向量 n(0,1，1)，如果直线 l平面 ，则直线 l 的单 位方向向量是 s_. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量， 故直线 l 的单位方向向量 是 s 0， 2 2 ， 2 2 . 答案 0， 2 2 ， 2 2 10 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点，O 为底面正方形 ABCD 的中心，M， N 分别为 AB， BC 的中点， 点 Q 为平面 ABCD 内
7、一点， 线段 D1Q 与 OP 互相平分， 则满足MQ MN 的实数 的有_个 解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为 2， 则 P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP 的中点坐标为 x1 2 ，y1 2 ，1 ，又知 D1(0,0,2)，Q(x1，y 1,0)，而 Q 在 MN 上，xQyQ3， xy1，即点 P 坐标满足 xy1.有 2 个符 合题意的点 P，即对应有 2 个 . 答案 2 三、解答题 11已知：a a(x,4,1)，b b(2，y，1)，c c(3，2，z)，abab，bcbc，求： a a，b b，c c. 解 因为abab，所以 x 2 4 y 1 1， 解得x2
8、，y4， 这时a a(2,4,1)，b b(2，4，1) 又因为bcbc， 所以bcbc0，即68z0， 解得z2，于是c c(3，2,2) 12如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2， AF1，M 是线段 EF 的中点 求证：(1)AM平面 BDE； (2)AM平面 BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ACBDN，连接 NE. 则 N 2 2 ， 2 2 ，0 ，E(0,0,1)， A( 2， 2，0)，M 2 2 ， 2 2 ，1 NE 2 2 ， 2 2 ，1 . AM 2 2 ， 2 2 ，1 . NE AM 且 NE 与
9、AM 不共线NEAM. 又NE平面 BDE，AM平面 BDE， AM平面 BDE. (2)由(1)知AM 2 2 ， 2 2 ，1 ， D( 2，0,0)，F( 2， 2，1)， DF (0， 2，1) AM DF 0，AMDF. 同理 AMBF. 又 DFBFF，AM平面 BDF. 13在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC， E、F 分别是 AB、PB 的中点 (1)求证：EFCD； (2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论 (1)证明 如图，以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐
10、标系，设 ADa，则 D(0,0,0)、 A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 C(0， a,0)、 E a，a 2，0 、 P(0,0，a)、F a 2， a 2， a 2 . EF a 2，0， a 2 ，DC (0，a,0) EF DC 0，EF DC ，即 EFCD. (2)解 设 G(x,0，z)，则FG xa 2， a 2，z a 2 ， 若使 GF平面 PCB，则由 FG CB xa 2， a 2，z a 2 (a,0,0)a xa 2 0，得 xa 2； 由FG CP xa 2， a 2，z a 2 (0，a，a) a 2 2a za 2 0， 得 z0. G 点坐标为 a
11、 2，0，0 ，即 G 点为 AD 的中点 14如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB 4，BC3，AD5，DABABC90 ，E 是 CD 的中点 (1)证明：CD平面 PAE； (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四 棱锥 PABCD 的体积 解 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐 标系设 PAh，则相关各点的坐标为： A(0,0,0)， B(4,0,0)， C(4， 3,0)， D(0,5,0)， E(2,4,0)， P(0,0，h) (1)易知CD
12、(4,2,0)，AE (2,4,0)，AP (0,0，h) 因为CD AE 8800，CD AP 0，所以 CDAE，CDAP.而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE. (2)由题设和(1)知，CD PA 分别是平面 PAE，平面 ABCD 的法向量而 PB 与 平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以|cosCD ，PB | |cosPA ，PB|， 即 CD PB |CD | |PB | PA PB |PA | |PB| . 由(1)知，CD (4,2,0)，PA (0,0，h)， 又PB (4,0，h)， 故 1600 2 5 16h2 00h2 h 16h2 . 解得 h8 5 5 . 又梯形 ABCD 的面积为 S1 2(53)416， 所以四棱锥 PABCD 的体积为 V1 3SPA 1 316 8 5 5 128 5 15 .
