1、复合函数的求导法则复合函数的求导法则1复习:1.基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则2新 课1.复合函数现象1)x y=sin(3e2y=u , u=2x+12 y(21)xln , 2yu ux
2、ln(2)yx sin ,31,xyu uvve象这样的函数就是复合函数.32.复合函数的定义 对于两(多)个函数y= 和 如果通过变量 , 可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y= 和 的复合函数，: ( ).yf g x记作yu)(uf)(xgu )(uf)(xgu 4(3) 2lnxyx练习：指出下列函数中的复合函数(2) 21xy (1) 2xy 2(4) (2 )3 2 .xxy 5练习：将复合函数分解成最简单函数1(1) 2xy(2) sin(ln1)yx (1) 2 ,1.uyux解(2) sin ,1,ln .yu uvvx6 .xuxyyu(1) ( )( ),g( ).
3、 yf g xyf u ux那么3.复合函数的求导法则(2) ( ),g( ),( ). yf u uv vh x那么 .xuvxyyuv即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, , 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. . ( 链式法则链式法则 )7例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数2(1) (23)yx22(1)(23)23yxyuux 解： 函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有2() (23)xuxyyuux224812.uux80.051(2) xye0.051(2) 0.051xuyeyeu
4、x 解 函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有() ( 0.051)uxuxyyuex0.0510.050.05uxee 9)(sin()3(均为常数，其中xy(1)sin()sinyxyuux 解： 函数可以看作函数和的复合函数。 根据复合函数求导法则有(sin ) ()xuxyyuuxcoscos()ux10解解 y = etan x 可以看成是由可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，复合而成，所以所以xuuxuxxuyy)(tan)e ( 2tan2esecesecuxxx 例例 2设设 y = etan x，求，求 y .复合函数求导数熟练后，中间变量
5、可以不必写出复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.11例3 设22cos3 ,yx 求 y 解 因 22cos3yx是由 y=2cosu,23x 复合而成的 所以22sin() 2 4 sin(3)yxxxx 12 解 1lntan2tan2tan2yxxx 21142tan2 cos 2sin4xxxx例4 设 求 ylntan2yx13若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以初等函数求导时，就可以“一步到位一步到位”.练习练习1.设设 f (x) = sinx2 ，求，求 f (x).解解22( )cos()xfx
6、xx22 cosxx 练习练习2. ) 1(2xx计算解解xxxxxx21211) 1(222.11222xx14练习练习3.,exxy 设设求求 y .解解xxxxxxy )e()e(2121 xxxxxx )e ()()e(2121 xxxxx )(e1)e(2121).e1()e(2121xxx 15解解先用除法的导数公式，遇到复合时，再先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则用复合函数求导法则.2222)1()1(1)(xxxxxy 222112211xxxxx .)1(1)1(1)1(2322222xxxxx 练习练习4.,求求 y .21xxy 设设16练习练习5. 设
7、设 y = sin(xln x)， 求求 y .解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式， 再用乘法公式再用乘法公式y = cos(xln x) (xln x) = cos(xln x) (x (ln x) + + x ln x )= (1 + + ln x)cos(x ln x) .17练习练习6. )sin(sinnxxn计算解解nxxn)sin(sin nnxxnxxxnnncossinsincossin1)cossinsin(cossin1nxxnxxxnn.) 1sin(sin1xnxnn18 （1）运用复合函数求导法则的关键）运用复合函数求导法则的关键在于在于把复合函数分解成基本初等函数或把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。基本初等函数的四则运算。 （2）求导后必须把引进的中间变量）求导后必须把引进的中间变量代换成原来自变量的式子，熟练后可不代换成原来自变量的式子，熟练后可不必写出中间变量，直接：必写出中间变量，直接：“由外向内、由外向内、逐层求导逐层求导”。小结：小结：19作业：求下列函数的导数作业：求下列函数的导数（1）（2）5) 35 (xy4)35(25xy)32sin(xy)32cos(2xy（3）322xey（4）) 12(log3xy3ln) 12(2xy3224xxey20
