1、微点突破 三角函数、解三角形中的实际应用问题 【例 】 (2013 江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山 至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C， 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游 客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B， 在 B 处停留 1 min 后， 再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行 的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A12 13，cos C 3 5. (1)求索道 AB 的长
2、； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 什么范围内？ 解 (1)在ABC 中，因为 cos A12 13，cos C 3 5， 所以 sin A 5 13，sin C 4 5. 从而 sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65. 由正弦定理 AB sin C AC sin B，得 AB AC sin B sin C 1 260 63 65 4 51 040(m). 所以索道 AB 的长为 1 040 m.
3、(2)设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙 距离 A 处 130t m， 所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22 130t (10050t) 12 13 200(37t270t50)， 因 0t1 040 130 ，即 0t8， 故当 t35 37(min)时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理 BC sin A AC sin B， 得 BC AC sin B sin A 1 260 63 65 5 13500(m). 乙从 B 出发时，甲已走了 50 (281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行
4、的速度为 v m/min， 由题意得3500 v 710 50 3，解得1 250 43 v625 14 ， 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制 在 1 250 43 ，625 14 (单位：m/min)范围内. 探究提高 与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括 后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； 二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时 需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三 角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解. 【训练
5、1】 如图，现有一个以AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形 湖面 AOB.现欲在AB 上取不同于 A，B 的点 C，用渔网沿着AC (AC 在扇形 AOB 的 AB 上)、半径 OC 和线段 CD(其中 CDOA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域 养殖区域和养殖区域.若 OA1 km，AOB 3，AOC. (1)用 表示 CD 的长度； (2)求所需渔网长度(即图中AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围. 解 (1)由 CDOA，AOB 3，AOC， 得OCD，ODC2 3 ，COD 3. 在OCD 中，由正弦定理， 得 CD2 3 3 sin 3 ， 0， 3
6、. (2)设渔网的长度为 f (). 由(1)可知，f ()12 3 3 sin 3 ， 所以 f ()12 3 3 cos 3 ， 因为 0， 3 ，所以 3 0， 3 . 令 f ()0，得 cos 3 3 2 ， 所以 3 6，即 6. 列表如下： 0， 6 6 6， 3 f () 0 f () 极大值 且 f (0)2，f 6 62 3 6 ，f 3 31， 所以 f () 2，62 3 6 . 故所需渔网长度的取值范围是 2，62 3 6 (单位：km). 【训练 2】 (2017 徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地 ABCD，其中 ABCBAD90 ，ADDC2 km，BC
7、1 km.现过边界 CD 上的点 E 处铺 设一条直的灌溉水管 EF，将绿地分成面积相等的两部分. (1)如图 1，若 E 为 CD 的中点，F 在边界 AB 上，求灌溉水管 EF 的长度； (2)如图 2，若 F 在边界 AD 上，求灌溉水管 EF 的最短长度. 解 (1)因为 ADDC2，BC1，ABCBAD90 ， 所以 AB 3. 如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG，则 EG3 2， 则四边形 BCEF 的面积为 1 2S 梯形ABCDS梯形BCEGSEFG， 即1 2 1 2 3 (12) 1 2 3 2 13 2 1 2 GF 3 2，解得 GF 3 6 ， 所以 EF E
8、G2GF2 3 2 2 3 6 2 21 3 (km). 答：灌溉水管 EF 的长度为 21 3 km. (2)如图 2，连接 AC，设 DEa，DFb， 图 2 在ABC 中，CA12（ 3）22，所以在ADC 中， ADDCCA2， 所以ADC60 ， 所以DEF 的面积为 SDEF 1 2absin 60 3 4 ab， 又 S梯形ABCD1 2 3 (12) 3 3 2 ， 所以 SDEF1 2S 梯形ABCD，即 3 4 ab3 3 4 ，即 ab3. 在DEF 中，由余弦定理， 得 EF a2b2ab ab 3， 当且仅当 ab 3时，取等号. 故灌溉水管 EF 的最短长度为 3 km. 答：灌溉水管 EF 的最短长度为 3 km.
