1、 1对数的概念 一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN； logaM NlogaMlogaN； logaMnnlogaM (nR) (2)对数的性质 logaN a N ；logaaN N (a0，且 a1) (3)对数的换底公式 logablogcb logca(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 3对数函数的图象与性质 ylogax a1 00； (5)当 x1
2、 时，y0 且 a1，b0 且 b1，m，nR. 2对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故 00 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (5)函数 yln1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) (6)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)， 1 a，1 ，函数图象只在第 一、四象限( ) 1(教材改编)(log29) (log34)等于( ) A.1 4 B. 1 2 C2 D4 答案 D 解析 (log29) (log34)2log23 2log324. 2函数 f(x)
3、lg(|x|1)的大致图象是( ) 答案 B 解析 由函数 f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为 R.又当 x1 时，函 数单调递增，所以只有选项 B 正确 3已知 324 log 0.3log 3.4log 3.6 1 55( ) 5 abc， ， ，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcab 答案 C 解析 3 3 10 log log 0.3 3 1 ( )5, 5 c log310 3 log331 且10 3 log43.6. 由于 y5x为增函数， 3 24 10 log log 3.4log 3.6 3 555. 即 324 log 0.3log 3.
4、4log 3.6 1 5( )5, 5 故 acb. 4(2016 成都模拟)函数 y log0.54x3的定义域为 答案 (3 4，1 解析 由 log0.5(4x3)0 且 4x30，得3 40，a1)的图象如图，则下列结论成立 的是( ) Aa1，c1 Ba1,00 且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ( ) (2)(2016 新疆乌鲁木齐一诊)设 f(x)|ln(x1)|，已知 f(a)f(b)(a0 Bab1 C2ab0 D2ab1 答案 (1)B (2)A 解析 (1)由题意 ylogax(a0 且 a1)的图象过(3,1)点， 可解得 a3.选项 A 中， y3 x
5、(1 3) x， 显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项 C 中，y(x)3x3， 显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称，显然 不符，故选 B. (2)作出函数 f(x)|ln(x1)|的图象如图所示， 由 f(a)f(b)，得ln(a1)ln(b1)，即 abab0.0abab0，显然10，ab0，故选 A. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1 比较对数值的大小 例 3 (2015 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|x m|1(m 为实数)为偶函数， 记 af(log 0.53)， bf(
6、log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 答案 C 解析 由 f(x)2|x m|1 是偶函数可知 m0， 所以 f(x)2|x|1. 所以 0.5 2 log3log 3 0.5 log321212af ， 2 2 log 5log 5 2 log 521214bf ， cf(0)2|0|10，所以 c1 时，函数 ylogax 在定义域内为增函数，所以 loga2 31x10x1，10，则不等式 f(x)1 可转化为 1 3 log x1x0，得11， 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是( ) A1,2 B0,2 C1，)
7、 D0，) (2)若 f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则 a 的取值范围为( ) A1,2) B1,2 C1，) D2，) 答案 (1)D (2)A 解析 (1)当 x1 时，21 x2，解得 x0， 所以 0x1；当 x1 时，1log2x2， 解得 x1 2，所以 x1.综上可知 x0. (2)令函数 g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(，1 上递减，则有 g10， a1， 即 2a0， a1， 解得 1ab0,0ca Bbac Cabc Dcab (3)若实数 a，b，c 满足 loga20，所以 lg alg b， 但不能确定 lg
8、a、lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以 A 错； 对 B：logcalg a lg c，logcb lg b lg c， 而 lg alg b，两边同乘以一个负数 1 lg c改变不等号方向，所以 B 正确； 对 C：由 yxc在第一象限内是增函数， 即可得到 acbc，所以 C 错； 对 D：由 ycx在 R 上为减函数， 得 ca201,0log1c，故选 C. (3)由 loga21 且 x1. 2设 alog37，b21.1，c0.83.1，则( ) Ab0，则 f(x)的单调递增区 间为( ) A(0，) B(2，) C(1，) D(1 2，) 答案 A 解析 令 Mx
9、23 2x， 当 x( 1 2， )时， M(1， )， f(x)0， 所以 a1， 所以函数 ylogaM 为增函数， 又 M(x3 4) 29 16，因此 M 的单调递增区间为( 3 4，) 又 x23 2x0，所以 x0 或 x0，则实数 a 的取值范围是 答案 (1 3，1) 解析 当 00，即 1a1， 解得 a0 时，f(x)lg x21 |x| lg x21 x lg(x1 x)，令 t(x)x 1 x，x0，则 t(x)1 1 x2，可知 当 x(0,1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即在 x 1 处取得最小值为 2.由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函数的单调性可知错误
10、，正 确，正确，故答案为. 11已知函数 f(x)ln x 1x，若 f(a)f(b)0，且 00，a1)，a2. 由 1x0， 3x0， 得 x(1,3)， 函数 f(x)的定义域为(1,3) (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x) log2(x1)24， 当 x(1,1时，f(x)是增函数； 当 x(1,3)时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在0，3 2上的最大值是 f(1)log242. *13.(2017 厦门月考)已知函数 f(x)ln x1 x1. (1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数 f(x)的奇偶性； (2)对于 x2,6，f(x)
11、ln x1 x1ln m x17x恒成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)由x1 x10，解得 x1， 函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)， 当 x(，1)(1，)时， f(x)ln x1 x1ln x1 x1ln( x1 x1) 1 ln x1 x1f(x)， f(x)ln x1 x1是奇函数 (2)由于 x2,6时，f(x)ln x1 x1ln m x17x恒成立， x1 x1 m x17x0， x2,6，0m(x1)(7x)在 x2,6上恒成立 令 g(x)(x1)(7x) (x3)216，x2,6， 由二次函数的性质可知，x2,3时函数 g(x)单调递增， x3,6时函数 g(x)单调递减， 即 x2,6时，g(x)ming(6)7， 0m7.
