1、 1.复数的有关概念 (1)虚数单位 i；(2)复数的代数形式 zabi(a，bR)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚 数. 2.复数集 3.复数的四则运算 若两个复数 z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R) (1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (3)乘法：z1 z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i； (4)除法：z1 z2 a1a2b1b2a2b1a1b2i a22b22 a1a2b1b2 a22b22 a2b1a1b2 a22b22 i(z20)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适
2、合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n 为正整数)的周期性运算；(1 i)2 2i；若 1 2 3 2 i，则 31,1 20. 4.共轭复数与复数的模 (1)若 zabi，则 z abi，z z 为实数，z z 为纯虚数(b0). (2)复数 zabi 的模|z| a2b2，且 zz |z|2a2b2. 5.复数的几何形式 (1)用点 Z(a，b)表示复数 zabi(a，bR)，用向量OZ 表示复数 zabi(a，bR)，Z 称 为 z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数 0). (2) 任何一个复数 zabi 一一对应着复平面内一个点 Z(a，b)，
3、也一一对应着一个从原点出发 的向量OZ . 6.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z1、z2对应的向量OZ1 、OZ2 不共线，则复数 z1z2是以OZ1 、OZ2 为两邻边的平行四 边形的对角线OZ 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z1z2是连接向量OZ1 、OZ2 的终点，并指向 Z1的向量所对应的复数. 题型一 复数的基本概念 例 1 满足 z5 z是实数，且 z3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存在？若存在，求出 虚数 z；若不存在，请说明理由. 解 存在，理由如下： 设虚数 zxyi(x，yR，且 y0)， 则 z5 zxyi 5 xyi
4、x 5x x2y2 y 5y x2y2 i，z3(x3)yi. 由题意得 y 5y x2y20， x3y， y0， x2y25， xy3， 解得 x1， y2 或 x2， y1. 存在虚数 z12i 或 z2i 满足条件. 反思与感悟 复数 zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充 要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径， 在两个复数相等的充要条件中， 注 意当 a，b，c，dR 时，由 abicdi 才能推出 ac 且 bd，否则不成立. 跟踪训练 1 设 zC，满足 z1 zR，z 1 4是纯虚数，求 z. 解 设 zxyi(x，yR)， 则 z1 z(
5、xyi) 1 xyi x x x2y2 y y x2y2 i. z1 zR，y y x2y20， 解得 y0 或 x2y21. 又z1 4 x1 4 yi 是纯虚数， x1 40 且 y0. x1 4，y 15 4 ， 因此复数 z1 4 15 4 i. 题型二 复数的四则运算 例 2 计算2 3i 12 3i 2 1i 2 00448i 248i2 11 7i . 解 原式i12 3i 12 3i 2 1i 2 1 002 48i8i448i48i 11 7i i(i)1 00201i. 反思与感悟 复数四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法 运算需把分母实数化.复
6、数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注 意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用. 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实， 充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化. 在运算的过程中常用的公式有： (1)i 的乘方：i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i(nN*). (2)(1 i)2 2i. (3) 1 2 3 2 i 31. 在解答与复数的模有关的问题时，重视应用下列公式： (1)zz |z|2| z |2. (2)|z1z2zn|z1|z2|zn|，|zn|z|n. (3) z1 z2 |z1| |z2|. 跟踪训练
7、 2 已知复数 z(12i)(2i)3i 1i. (1)计算复数 z； (2)若 z2(2a1)z(1i)b160，求实数 a，b 的值. 解 (1)z(12i)(2i)3i1i 1i1i43i 42i 2 43i(2i)62i. (2)(62i)2(2a1)(62i)(1i)b160， 3224i6(2a1)2(2a1)ibbi160， 2212ab(264ab)i0， 2212ab0， 264ab0. 解得 a3，b14. 题型三 复数与其他知识的综合应用 例 3 已知关于 t 的一元二次方程 t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR). (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹； (
8、2)求方程实根的取值范围. 解 (1)设实根为 t， 则 t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)， 即(t22t2xy)(txy)i0. 根据复数相等的充要条件， 得 t22t2xy0， txy0， 由得 tyx， 代入得(yx)22(yx)2xy0， 即(x1)2(y1)22. 所以所求的点的轨迹方程是(x1)2(y1)22， 轨迹是以点(1，1)为圆心， 2为半径的圆. (2)由得圆心为(1，1)，半径 r 2， 直线 tyx 与圆有公共点， 从而应有|11t| 2 2， 即|t2|2， 4t0， 故方程的实根的取值范围是4,0. 反思与感悟 复数具有代数形式，且复数 zabi(a，
9、bR)与复平面内的点 Z(a，b)之间建 立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何 等知识的交汇. 跟踪训练 3 复数 z 满足|z3 3i| 3，求|z|的最大值和最小值. 解 方法一 |z3 3i|z|3 3i|， 又|z3 3i| 3， |3 3i| 122 3， |z|2 3| 3， 即 3|z|3 3， |z|的最大值为 3 3，最小值为 3. 方法二 |z3 3i| 3表示以3 3i 对应的点 P 为圆心， 以 3为半径的圆， 如图所示， 则|OP|3 3i| 122 3， 显然|z|max|OA|OP| 33 3， |z|min|OB|OP
10、| 3 3. 共轭复数的妙用 巧用共轭复数的性质对复数问题进行等价变形、化简，可将复杂的问题变得简单，从而达到 事半功倍的效果.共轭复数有以下常见性质： (1)若 zabi(a，bR)，则 z z 2a，z z 2bi； (2) zz； (3)若 zabi(a，bR)，则| z | a2b2|z|，zz a2b2|z|2| z |2； (4)zRz z ；非零复数 z 是纯虚数z z 0； (5) z1 z2 z1z2， z1 z2 z1z2， 1 2 z z z1 z2 (z20)； (6) zn( z )n(nZ，当 n0 时，要求 z0). 例 4 已知AOB 的三个顶点 A，B，O(O
11、 为原点)对应的复数分别为 z1，z2, 0，若|z1|3，|z2| 5，|z1z2|7，则z1 z2等于( ) A. 3 10 3 3 10 i B. 3 10 3 3 10 i C. 3 10 3 3 10 i D. 3 10 3 3 10 i 解析 |z1|3，|z2|5，|z1z2|7， z1z19，z2z225，(z1z2)( z1 z2)49， z1z1z2z2z1z2 z1 z249， 即 z1z1z2z2z2z2 z1 z2 z1 z2 z1z1z2z2z2z2 z1 z2 9 25 z2 z1 49， 92525 z1 z29 z2 z149， 即 25 z1 z2 215
12、z1 z2 90，z1 z2 3 10 3 3 10 i.故选 A. 答案 A 例 5 设|z|1，求|z2z1|的最大值和最小值. 解 zz |z|21， |z2z1|z2zzz |z|z1 z |z1 z |. 设 zabi(a，bR)，则|z1 z |2a1|. |z|1， z 在复平面内对应的点在以原点为圆心， 1 为半径的圆上， 1a1， 0|2a 1|3. |z2z1|的最大值为 3，最小值为 0. 1.已知 A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，则 a 的值为( ) A.1 B.1 C.0 D.2 答案 B 解析 由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，
13、 a23a13， a25a60， 即 a4或a1， a6或a1， a1. 2.定义新运算 a b c d adbc，则满足 zi z 1 1 42i 的复数 z 是( ) A.13i B.13i C.3i D.3i 答案 D 解析 zi z 1 1 ziz42i， z42i 1i 42i1i 1i1i 3i. 3.计算(2i15) 1i 2 22 . 答案 2 解析 (2i15) 1i 2 22(2i) 1i 2 2 112ii112i(i)2. 4.已知复数 z134i，z2ti，且 z1z2是实数，则实数 t . 答案 3 4 解析 已知复数 z134i，z2ti，则 z1z2(3t4)(
14、4t3)i，z1z2是实数，4t 30，即 t3 4. 5.已知 z1i 231i 2i . (1)求|z|； (2)若 z2azb1i，求实数 a，b 的值. 解 (1)z1i 231i 2i 2i33i 2i 3i 2i 3i2i 2i2i 55i 5 1i，|z| 112 2.(2)由(1)可得 z22i，z2azb2ia(1i)b2iaaib(ab)(a 2)i， (ab)(a2)i1i， ab1， a21， 解得 a3， b4. 如果设 zabi(a，bR)，直接代入计算，过程将会很复杂，考虑到 zz |z|2，将|z2z 1|中的 1 换成 zz ，那么问题变得简单易求. 一、选择
15、题 1.已知 f(x)x31，设 i 是虚数单位，则复数fi i 的虚部是( ) A.1 B.1 C.i D.0 答案 B 解析 f(i)i31i1，fi i i1 i i 2i 1 1i 11i，虚部是 1. 2.若复数a3i 12i(aR，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.6 答案 D 解析 a3i 12i a3i12i 12i12i a632ai 5 a6 5 32a 5 i.若复数是纯虚数， 则a6 5 0， 所以 a6.故选 D. 3.已知 z 是复数 z 的共轭复数，z z zz 0，则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是 ( ) A.
16、圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 A 解析 设 zxyi(x，yR)，则 z z 2x，zz x2y2，所以由 z z zz 0，得 x2 y22x0，即(x1)2y21，故选 A. 4.复数2 017 1i 的虚部是( ) A.2 017 2 B.2 017 2 C.1 2i D.1 答案 A 解析 2 017 1i 2 0171i 1i1i 2 017 2 2 017 2 i，其虚部是2 017 2 .故选 A. 5.已知方程 x2(4i)x4ai0(aR)有实根 b，且 zabi，则复数 z 等于( ) A.22i B.22i C.22i D.22i 答案 D 解析 x2(4i
17、)x4ai0(aR)有实根 b， b2(4i)b4ai0， 即 b24b4(a b)i0.根据复数相等的充要条件，得 b24b40 且 ab0，解得 a2，b2. 6.已知 z1，z2，z3C，给出下列三个命题：若 z1z20，则 z1z20；若 z1z2z3， 则 z1z2z30；若两个虚数互为共轭复数，则它们的和为实数.其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 若 z1z20，则 z1z2，此时 z1与 z2不一定均为 0，所以错误；z1z2z3， z1z2与 z3均为实数，z1z2z30，正确；两个虚数互为共轭复数，不妨设 z1a bi，z2abi(a，bR
18、)，z1z2(abi)(abi)2aR，正确.故选 C. 二、填空题 7.若 i 为虚数单位，则 12i 1i2 . 答案 11 2i 解析 12i 1i2 12i 12ii2 12i 2i 12ii 2 i2 2 11 2i. 8.设复数 z 满足 i(z4)32i(i 是虚数单位)，则 z 的虚部为 . 答案 63i 解析 由 i(z4)32i 得 z32i i 432ii i2 43i2 1 423i463i. 9. 2i43i1i 3i 3i12i . 答案 5 2 解析 2i43i1i 3i 3i12i | 2i| |43i| |1i| | 3i| | 3i| |12i| 25 2
19、22 5 5 2 . 10.下列说法中正确的序号是 . 若(2x1)iy(3y)i，其中 xR，yCR，则必有 2x1y 13y ； 2i1i； 虚轴上的点表示的数都是纯虚数； 若一个数是实数，则其虚部不存在； 若 z1 i，则 z 31 对应的点在复平面内的第一象限. 答案 解析 由 yCR，知 y 是虚数，则 2x1y 13y 不成立，故错误；两个不全为实数的复 数不能比较大小，故错误；原点也在虚轴上，表示实数 0，故错误；实数的虚部为 0， 故错误；中 z311 i31i1，对应点在第一象限，故正确. 三、解答题 11.已知复数 z1满足(z12)(1i)1i(i 为虚数单位)，复数 z
20、2的虚部为 1，z1 z2是实数，求 z2. 解 (z12)(1i)1i， z121i 1i 1i2 2 i， z12i. 设 z2ai，z1 z2(2a1)(2a)i. z1 z2是实数，2a0，即 a2. z22i. 12.已知 1i 是方程 x2bxc0(b，c 为实数)的一个根. (1)求 b，c 的值； (2)试判断 1i 是不是方程的根. 解 (1)1i 是方程 x2bxc0 的根， 且 b，c 为实数， (1i)2b(1i)c0，即 bc(b2)i0， bc0， 2b0， 解得 b2， c2. (2)由(1)知方程为 x22x20，把 1i 代入方程左边得(1i)22(1i)20
21、，1i 也 是方程的根. 13.已知复数 z 和 w 满足 zw2iz2iw10，其中 i 为虚数单位. (1)若 z 和 w 又满足 w z2i，求 z 和 w 的值； (2)求证：如果|z| 3，那么|w4i|的值是一个常数，并求这个常数. (1)解 设 wxyi(x，yR)，则由 w z2i，得 z w 2ix(y2)i，zw2iz2iw 1x(y2)i(xyi)2ix(y2)i2i(xyi)1x2y26y52xi， x2y26y 52xi0. 根据复数相等的充要条件，得 x2y26y50， 2x0， x0， y1 或 x0， y5. zi，wi 或 z3i，w5i. (2)证明 zw2iz2iw10， z(w2i)2iw1， |z(w2i)|2iw1|，即|z| |w2i|2iw1|. 又|z| 3， 3|w2i|2iw1|. 设 wxyi(x，yR)，代入上式整理，得 3 x2y24y4 4x24y24y1， 两边平方，得 3x23y212y124x24y24y1， 化简，得 x2y28y11. |w4i|xyi4i| x2y42 x2y28y16 1116 273 3是一个常数. 即|w4i|的值是一个常数，且这个常数为 3 3.
