1、 江西省南昌市 2018 届高三第一次模拟考试数学试题（理） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 4NAxyx，21,ZBx xnn，则AB( ) A.,4 B.1,3 C.1,3,5 D.1,3 2.欧拉公式 i ecosisin x xx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数 的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被 誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， i 3 e x 表示的复数位于复平面中的( ) A.第一象限 B.第二象限
2、 C.第三象限 D.第四象限 3.已知角的终边经过点sin47 ,cos47P，则sin13( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 4.已知奇函数 fx是函数 Rf xx是导函数，若0x 时 0fx ，则( ) A. 32 0log 2log 3fff B. 32 log 20log 3fff C. 23 log 3log 20fff D. 23 log 30log 2fff 5.设不等式组 30 10 350 xy xy xy 表示的平面区域为M，若直线ykx经过区域M内的点，则实 数k的取值范围为( ) A. 1 ,2 2 B. 1 4 , 2 3 C. 1 ,2
3、2 D. 4 ,2 3 6.平面内直角三角形两直角边长分别为, a b，则斜边长为 22 ab，直角顶点到斜边的距离 为 22 ab ab ，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为 123 ,S SS，类比推 理可得底面积为 223 123 SSS，则三棱锥顶点到底面的距离为( ) A. 123 3 223 123 S S S SSS B. 123 223 123 S S S SSS C. 123 223 123 2S S S SSS D. 123 223 123 3S S S SSS 7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么 组合体的侧
4、视图的面积为( ) A. 3 3 6 4 B. 15 2 C.63 D.8 8.执行如图程序框图，则输出的n等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.函数 2 eesin e xx x f xx 的图象大致为( ) 10.已知具有线性相关的五个样本点 1 0,0A， 2 2,2A， 3 3,2A， 4 4,2A， 5 6,4A，用最 小二乘法得到回归直线方程 1: lybxa，过点 1 A， 2 A的直线方程 2: lymxn，那么下列 4 个命题中， ,mb an；直线 1 l过点 3 A； 55 22 11 iiii ii ybxaymxn ； 55 11 iiii ii ybxay
5、mxn .(参考公式 11 2 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy b xnxxx ， aybx) 正确命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 11.设函数 1 ,1 2 1,1 x a xa f x xa xa ，若 f x的最大值不超过 1，则实数a的取值范围为 ( ) A. 3 , 2 B. 3 , 2 C. 5 ,0 4 D. 35 , 24 12.已知椭圆 22 :1 2412 xy E，O为坐标原点，,A B是椭圆上两点，,OA OB的斜率存在并分别 记为 OA k、 OB k，且 1 2 OAOB kk ，则 1
6、1 OAOB 的最小值为( ) A. 2 6 B. 1 3 C. 2 3 D. 2 2 二、填空题：每题 5 分，满分 20 分. 13. 31 21x x 展开式中的常数项为_. 14.平面向量1,am，4,bm， 若有 20abab， 则实数m_. 15.在圆 22 4xy上任取一点，则该点到直线2 20xy的距离0,1d的概率为 _. 16.已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的200公里处， 若 24 cos 25 ， 则v _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等比数列 n a的前n项和为 n S，满足 44 21
7、Sa， 33 21Sa. (1)求 n a的通项公式； (2)记 21 log nnn baa ，数列 n b的前n项和为 n T，求证： 12 111 2 n TTT . 18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成 甲、乙两个班，每班各 40 人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教 学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在 50,100，按照区间50,60，60,70，70,80，80,90，90,100进行分组，绘制成如下 频率分布直方图，规定不低于 80 分(百分制)为优秀. (1) 完成表格
8、，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”； (2)从乙班70,80，80,90，90,100分数段中，按分层抽样随机抽取 7 名学生座谈，从中 选三位同学发言，记来自80,90发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望. 19.如图， 四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD为直角梯形，ADBC，ADAB， 1 3 2 ABBCAPAD，ACBDO，过O点作平面平行于平面PAB，平面与棱 BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H. (1)求GH的长度；(2)求二面角BFHE的余弦值. 20.已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F， 准线为l， 过焦
9、点F的直线交C于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点， 12 4y y . (1)求抛物线方程； (2)点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且ADEF，求ABD面积的最小值及此 时直线AD的方程. 21.已知函数 lnf xaxbx在点 1,1f处的切线是0y . (1)求函数 f x的极值； (2)当 2 1-e 0 ee x mx f xx m恒成立时，求实数m的取值范围(e为自然对数的底数). 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 2sin2 x y (为参数)，以坐标原点 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C的极坐标方程； (2)若
10、直线 12 ,l l的极坐标方程分别为 6 R， 2 = 3 R，设直线 12 ,l l与曲线C的交 点为O，M，N，求OMN的面积. 23.已知 2 23f xxa. (1)当0a 时，求不等式 23f xx的解集； (2)对于任意实数x，不等式 212xf xa成立，求实数a的取值范围. 【参考答案】 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A C C C B C A B A C 二.填空题 134 14. 2 15. 1 3 16.100 三.解答题 17.解： （）设 n a的公比为q，由 434 SSa-=得， 434 22aaa-=,
11、所以 4 3 2 a a =， 所以2q =. 又因为 33 21Sa=-，所以 1111 2481aaaa+=-， 所以 1 1a =. 所以 1 2n n a - =. （）由（）知 1 212 log ()log (22)21 nn nnn baan ， 所以 2 1 (21) 2 n n Tnn ， 所以 222 12 111111111 +1 121 223(1) n TTTnnn +=，即( )0g x 当1x 时，ln0x-，则 2 ln 0 x x - ， 所以( )|2|2f xx+-?的解集为 1 (,1,) 3 - ?+ ?. （）对于任意实数x，不等式|21|( )2xf xa+-成立， 即 2 |21|23|2xxaa+-+恒成立， 又因为 222 |21|23| |2123| |31|xxaxxaa+-+?-=-， 要使原不等式恒成立，则只需 2 |31|2aa-， 当0a时，无解；当 3 0 3 a时， 2 132aa-，解得 13 33 a时， 2 312aa-，解得 3 1 3 a. 所以实数a的取值范围是 1 ( ,1) 3 .
