1、高等数学公式 1 高等数学公式 导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表： 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 222212211cos12sinududxxtguuuxuux， axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccs
2、csecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020高等数学公式 2 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式：
3、三角函数：三角函数：正弦函数sinx；余弦函数cosx； 正切函数sintancosxxx；余切函数coscotsinxxx； 正割函数1seccosxx；余割函数1cscsinxx 诱导公式：诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90 - cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg 180 + -sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 + -cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos -tg
4、 -ctg 360 + sin cos tg ctg 常用三角函数公式：常用三角函数公式： 22cossin1xx 22cossincos2xxx 2 sincossin 2xxx 21 cos22sinxx 21co s 22 co sxx 22211 tanseccosxxx 22211 cotcscsinxxx xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284. 2)11 (lim1sinlim0exxxxxx高等数学公式 3 1s
5、in sincos()cos()2xyxyxy 1coscoscos()cos()2xyxyxy 1sin cossin()sin()2xyxyxy 和差角公式：和差角公式： 和差化积公式：和差化积公式： 反三角函数反三角函数： arcs i narccos2xx arctanarccot2xx arcsinx：定义域 1,1，值域,2 2 ；arccosx：定义域 1,1，值域0, ； arctan x：定义域(,) ，值域(,)2 2 ；arccot x：定义域(,) ，值域(0, ) 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin 倍角公式：倍
6、角公式： 半角公式：半角公式： cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg 正弦定理：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2222 2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgt
7、gtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg高等数学公式 4 33223()33abaa babb 3322() ()ababaa bb 123221()()nnnnnnnabab aabababb 122(1)(1)(1)()2!nnnnn kknn nn nnkabanabababbk 高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()(0)()()(!) 1() 1(! 2) 1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnu
8、vuvuCuv 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()( 曲率：曲率： .1; 0.)1 (limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss 的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式： 定积分的近似计算：定积分的近似计算： bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420
9、110110抛物线法：梯形法：矩形法： 高等数学公式 5 定积分应用相关公定积分应用相关公式：式： babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakji
10、bacbbbaaababababababababaa ja jaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu 高等数学公式 6 （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnm
11、stpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(2
12、2 高等数学公式 7 ),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzy
13、xFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyx
14、fyxfyyxyxxyx 重积分及其应用：重积分及其应用： 高等数学公式 8 DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(), 0 , 0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐柱面坐
15、标和球面坐标：标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：曲线积分： )()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxf
16、ttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧高等数学公式 9 。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0 , 0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),()
17、,(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲面积分：曲面积分： dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDD
18、yx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分： 高等数学公式 10 微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFy
19、GdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),( 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(
20、),(),(0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 高等数学公式 11 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr 的形式，21rr (*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp xrxrececy2121 两个相等实根)04(2 qp xr
21、exccy1)(21 一对共轭复根)04(2 qp 242221pqpirir， )sincos(21xcxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx 高等数学公式 12 五类基本初等函数及图形 - (1) 幂函数- xy ，是常数； - (2) 指数函数 - xay (a是常数且01aa，)，),(x； - (3) 对数函数 - xyalog(a是常数且01aa，)，(0,)x； 1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间),(x，他们的图形都经过原
22、点，并当 u1 时在原点处与 X 轴相切。且 u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于 Y 轴对称； 2. 当 u 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数。 3. 当 u 为正有理数 m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +），n为奇数时函数的定义域为（-+）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果 mn 图形于 x 轴相切,如果 m1 时函数为单调增,当 a1 时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于 x 的下方,在区间(1, +),y 值为正,图形位于 x 轴上方.在定义域是单调增函数.a1 在实用中很少用到. 反余弦 xyarccos, 1 , 1x, , 0y, 高等数学公式 14 反正切 xyarctan,),(x,)2,2(y 反余切 xycotarc,),(x,), 0(y
