1、中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、 一元二次方程的定义： 1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程 2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项【赵老师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调ao这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法： 1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X1= X2= 2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数 2、移项：把 项移到方程的 边 3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形
2、式 4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程 3、公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a0) 满足b 2-4ac0，则方程的求根公式为 4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根【赵老师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判别式 关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示方程有两个实数跟，则 当 时，方程有两个不等的实数根当 时，方程看两个相等
3、的实数根当 时，方程没有实数根【赵老师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】一、 一元二次方程根与系数的关系： 关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a0)有两个根分别为X1X2则X1+X2 = X2 = 二、 一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa（1+X）2=b2、 利润问题：总利润= X 或利润 3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【赵老师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，
4、检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】 考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1 （2012兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）Ax2+=0 Bax2+bx+c=0C（x-1）（x+2）=1 D3x2-2xy-5y2=0思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本
5、选项错误；C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误故选C点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2对应训练1（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= 11解：一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，a+10且a2-1=0，a=1故答案为1点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方
6、程，其一般式为ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定义 考点二：一元二次方程的解法例2 （2012安徽）解方程：x2-2x=2x+1思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解解：x2-2x=2x+1，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，x-2=，x1=2+，x2=2-点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）
7、选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数例3 （2012黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（）A7 B3 C7或3 D无法确定思路分析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长解：x2-10x+21=0，因式分解得：（x-3）（x-7）=0，解得：x1=3，x2=7，三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，三角形的第
8、三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+36，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解对应训练2（2012台湾）若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且ab，则2a-b之值为何？（）A-57 B63 C179 D1812D2解：x2-2x-3599=0，移项得：x2-2x=3599，x2-2x+1=3599+1，
9、即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且ab，a=61，b=-59，2a-b=261-（-59）=181，故选D3（2012南充）方程x（x-2）+x-2=0的解是（）A2 B-2，1 C-1 D2，-13D 考点三：根的判别式的运用例3 （2012襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）Ak Bk且k0 C-k D-k且k0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围解：由题意知：2k+10
10、，k0，=2k+1-4k0，-k且k0故选D点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式=b2-4ac一元二次方程根的情况与判别式的关系为：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根例4 （2012绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长思路分析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系
11、数的关系求得方程的另一根分类讨论：当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算解：（1）证明：=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+44，即4，关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12-1（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；当该
12、直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想对应训练3（2012桂林）关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1 Bk1 Ck-1 Dk-13A4（2012珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根4解：（1）当m=3时，=b2-4ac=22-43=-80，原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2
13、+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0，x1=1，x2=-3考点四：一元二次方程的应用例5 （2012南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（
14、盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.12，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0x10，以及当x10时，分别讨论得出即可解：（1）若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.12=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利
15、润为：28-27-0.1（x-1）=（0.1x+0.9）（万元），当0x10，根据题意，得x（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x-120=0，解这个方程，得x1=-20（不合题意，舍去），x2=6，当x10时，根据题意，得x（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x-120=0，解这个方程，得x1=-24（不合题意，舍去），x2=5，因为510，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车点评：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键对应训练5（2012乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克
16、5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由5解（1）设平均每次下调的百分率为x由题意，得5（1-x）2=3.2解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%答：平均每次下调的百分率是20%（2）小华
17、选择方案一购买更优惠理由：方案一所需费用为：3.20.95000=14400（元），方案二所需费用为：3.25000-2005=15000（元）1440015000，小华选择方案一购买更优惠【聚焦山东中考】一、选择题1（2012日照）已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak且k2 Bk且k2 Ck且k2 Dk且k21C1解：方程为一元二次方程，k-20，即k2，方程有两个不相等的实数根，0，（2k+1）2-4（k-2）20，（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）0，5（4k-3）0，k，故k且k2故选C3（2012潍坊
18、）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A32 B126 C135 D1443D3解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+1
19、0+15+16+17+22+23+24=144故选：D5（2012日照）已知关于x的一元二次方程（k2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak且k2Bk且k2Ck且k2Dk且k2考点：根的判别式；一元二次方程的定义。810360 专题：计算题。分析：根据方程有两个不相等的实数根，可知0，据此列出关于k的不等式，解答即可解答：解：方程为一元二次方程，k20，即k2，方程有两个不相等的实数根，0，（2k+1）24（k2）20，（2k+12k+4）（2k+1+2k4）0，5（4k3）0，k，故k且k2故选C点评：本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元
20、二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键6（2012烟台）下列一元二次方程两实数根和为4的是（）Ax2+2x4=0Bx24x+4=0Cx2+4x+10=0Dx2+4x5=0考点：根与系数的关系。810360 专题：计算题。分析：找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b24ac的值，当b24ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2=求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项解答：解：A、x2+2x4=0，a=1，b=2，c=4，b24ac=4+16=200，设方程的两个根为x1，x2，x1+x2=2，本选项不合题意；B、x24x+4
21、=0，a=1，b=4，c=4，b24ac=1616=0，设方程的两个根为x1，x2，x1+x2=4，本选项不合题意；C、x2+4x+10=0，a=1，b=4，c=10，b24ac=1640=280，即原方程无解，本选项不合题意；D、x2+4x5=0，a=1，b=4，c=5，b24ac=16+20=360，设方程的两个根为x1，x2，x1+x2=4，本选项符号题意，故选D点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=二、填空题7（2012聊城）一元二次方程x2-2x=0
22、的解是 7x1=0，x2=28（2012青岛）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 8（22-x）（17-x）=3009（2012德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 9a-1解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则=2（a+2）2-4aa0，解得：a-1故答案为：a-110（2012莱芜）为落实“两
23、免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为 万元考点：一元二次方程的应用。810360 专题：增长率问题。分析：一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），2012年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的教育经费数额，即可列出方程求解解答：解：根据题意2012年为2500（1+x），2013年为2500（1+x）（1+x）则2500（1+x）（1+x）=3600，解得x=0.2或x=2.2（不合题意
24、舍去）故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2012年该市要投入的教育经费为：2500（1+20%）=3000万元故答案为：3000点评：本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率）年数=增长后的量11（2012枣庄）已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是 考点：根与系数的关系。810360 专题：计算题。分析：设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根解答：解：方程x2+mx6=0的一个根为2，设另一个为a，2a=6，解得：a=3，则方程的另一根是3故答案
25、为：3点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=12（2012威海）若关于x的方程x2+（a1）x+a2=0的两根互为倒数，则a= 考点：根与系数的关系。810360 专题：计算题。分析：设方程的两根分别为m与n，由m与n互为倒数得到mn=1，再由方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，然后利用根与系数的关系表示出两根之积，可得出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可解答：解：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n
26、互为倒数，即mn=1，由方程有解，得到=b24ac=（a1）24a20，解得：1a，又mn=a2，a2=1，解得：a=1（舍去）或a=1，则a=1故答案为：1点评：此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有解，设此时方程的解为x1和x2，则有x1+x2=，x1x2=13（2012日照）已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根，那么的值为 考点：根与系数的关系。810360 分析：利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2=7，x1x2=8；然后将所求的代数式转化为含有x1+x2、x1x2形式，
27、并将其代入求值即可解答：解：x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根，根据韦达定理知，x1+x2=7，x1x2=8，=故答案是：点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法三、解答题14（2012菏泽）解方程：（x+1）（x-1）+2（x+3）=814解：原方程可化为 x2+2x-3=0（x+3）（x-1）=0，x1=-3，x2=115（2012滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场
28、比赛，比赛总场数用代数式表示为 根据题意，可列出方程 整理，得 解这个方程，得 合乎实际意义的解为 答：应邀请 支球队参赛15解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 （x-1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为x（x-1）根据题意，可列出方程x（x-1）=28整理，得x2-x=28，解这个方程，得 x1=8，x2=-7合乎实际意义的解为 x=8答：应邀请 8支球队参赛故答案为：（x-1；x（x-1）；x（x-1）=28；x2-x=28；x1=8，x2=-7；x=8；816（2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如
29、果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？16解：因为60棵树苗售价为120元60=7200元8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x120-0.5（x-60）=8800，解得：x1=220，x2=80当x2=220时，120-0.5（220-60）=40100，x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120-0.5（80-60）=110100，x=80，答：该校共购买了80棵树苗【备考真题过关】一、选择题1（201
30、2乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A-1 B0 C1 D-1或11A1解：把x=0代入方程得：|a|-1=0，a=1，a-10，a=-1故选A2（2012荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A（x-1）2=4 B（x+1）2=4 C（x-1）2=16 D（x+1）2=162A3（2012宜宾）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（）A（x-3）2+11 B（x+3）2-7 C（x+3）2-11 D（x+2）2+43B4（2012莆田）方程（x-1）（x+2）=0的两根分别为（
31、）Ax1=-1，x2=2 Bx1=1，x2=2Cx1=-1，x2=-2 Dx1=1，x2=-24D5（2012淮安）方程x2-3x=0的解为（）Ax=0 Bx=3 Cx1=0，x2=-3 Dx1=0，x2=35D6（2012南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A1 B-1 C D-6B7（2012常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）Am-1 Bm1 Cm4 Dm7B8（2012泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）A36（1-x）2=
32、36-25 B36（1-2x）=25C36（1-x）2=25 D36（1-x2）=258C9（2012河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D无实数根考点：根的判别式。810360 分析：求出b24ac的值，根据b24ac的正负即可得出答案解答：解：x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，b24ac=22412=40，方程无实数根，故选D点评：本题考查的知识点是根与系数的关系，当b24ac0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b24ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，一元二次方程无实数
33、根11（2012泸州）若关于x的一元二次方程x24x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A k2Bk2Ck2Dk2考点：根的判别式。810360 专题：计算题。分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式的意义可得到0，即（4）2412k0，然后解不等式即可得到k的取值范围解答：解：关于x的一元二次方程x24x+2k=0有两个实数根，0，即（4）2412k0，解得k2k的取值范围是k2故选B点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根12（2
34、012娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A289（1x）2=256 B 256（1x）2=289C289（12x）=256D256（12x）=289考点：由实际问题抽象出一元二次方程。810360 专题：增长率问题。分析：设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1x）2=256解答：解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1x），则第二次降价为289（1x）2，由题意得
35、：289（1x）2=256故选：A点评：此题主要考查求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b二、填空题13（2012吉林）若方程x2-x=0的两根为x1，x2（x1x2），则x2-x1= 13114（2012上海）如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 14c915（2012广州）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为 15316（2012包头）关于x的两个方程x2x2=0与有一个解相同，则a= 考点：解一元二次方程-因式分解法；分式方程的解。8
36、10360 分析：首先解出一元二次方程x2x2=0的解，根据两个方程x2x2=0与解相同，把x的值代入第二个方程中，解出a即可解答：解：x2x2=0，（x2）（x+1）=0，x2=0或x+1=0，x1=2，x2=1，x+10，x1，把x=2代入=中得：=，解得：a=4，故答案为：4点评：此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定x的值，注意分式方程要注意分母有意义，还要检验17（2012鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根，且，则a= 考点：根与系数的关系。810360 专题：计算题。分析：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将已知的等式整理后，把
37、求出的两根之和与两根之积代入列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值解答：解：x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根，x1+x2=5，x1x2=3，x22+5x2=3，又2x1（x22+6x23）+a=2x1（x22+5x2+x23）+a=2x1（3+x23）+a=2x1x2+a=4，10+a=4，解得：a=14故答案为：14点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，方程没有实数根18（2012丹东）美丽的丹东吸引
38、了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。810360 专题：增长率问题。分析：由于某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元设每年投资的平均增长率为x，那么2011年初投资2（1+x），2012年初投资2（1+x）2，由2012年初投资的金额不变即可列出方程解答：解：设每年投资的平均增长率为x，由题意，有2（1+x）2=3故答案为2（1+x）2=3点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公
39、式为a（1+x）n=b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是增长了n年后的数据三、解答题19（2012温州）解方程：x2-2x=519解：配方得（x-1）2=6x-1=x1=1+，x2=1-20（2012无锡）解方程：x2-4x+2=020解：=42-412=8，x1=2+，x2=2-。21（2012巴中）解方程：2（x-3）=3x（x-3）21解：2（x-3）=3x（x-3）移项得：2（x-3）-3x（x-3）=0整理得：（x-3）（2-3x）=0x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=22（2012孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（
40、1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根22解：（1）证明：=（m+3）2-4（m+1）1分=（m+1）2+4，无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0原方程总有两个不相等的实数根。（2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=-（m+3），x1x2=m+1，|x1-x2|=2，（x1-x2）2=（2）2，（x1+x2）2-4x1x2=8。-（m+3）2-4（m+1）=8m2+2m-3=0。 解得：m1=-3，m2=1。 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：x1=，x2=-. 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：x1=-2+，x2=-2-.24（2012徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？考点：一元二次方程的应用；分段函数。810360 专题：应用题。
