1、& 1. 复变函数的定义复变函数的定义& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射复变函数的概念复变函数的概念1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似A 是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若)( )(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨定义定义2.1设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, 若对任何若对任何z=x+iy E, 都存在一个或几个复数都存在一个或几个复数w=u+iv和和z对应对应, 称在称在 E上确上确定了一
2、个复变函数，用定了一个复变函数，用w=f (z)表示表示. E 称为该函数的定义域称为该函数的定义域. ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw ( )( ) ,Gf Ew wf zzE=该函数的值域为：该函数的值域为：xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzx
3、iyxz 则则设设oxy(z)Eouv(w)EGw=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)( 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几
4、何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 见图见图2.( 实常数）所构成的映射实常数）所构成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez设设解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 图图
5、1-1图图1-2图图2uv(w)o.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为E，函数值集合为，函数值集合为G， 那么那么则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.& 1. 函数的极限函数的极限& 2. 相关定理相
6、关定理& 3.函数的连续性函数的连续性复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性 定义定义2.2设复变函数设复变函数w=f(z)在在z0的某个去心的某个去心邻域内有定义邻域内有定义, A是复常数是复常数. 若对任意给定的若对任意给定的e e 0,存在存在d d 0, 使得对一切满足使得对一切满足0|z-z0|d d 的的z , 都有都有 ( )f zAe e 成立成立, 则称当则称当z趋于趋于z0时时, f(z)以以A为极限，并记做为极限，并记做 0lim( )zzf zA 或或 0( ) ().f zA zz注意注意: : 定义中定义中zz0的方式是任意的的方式是任意的. .复变函数的极限
7、复变函数的极限几何意义几何意义uv(w)oAe exy(z)od d0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中 相关定理相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理定理2.10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则 BAzgzgzfzgzfABzgzf
8、zgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理定理2.2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !例例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例2.0)(时时的的极极限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf在在平平面面上上处处处处有有极极限限22,yxyx .)0 , 0()(2)
9、(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf 函数的连续性函数的连续性定义定义2.3.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz 例例4 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。上上不不连连续续。在在负负实实轴轴在在负负实实轴轴上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不连连续续。在在原原点点没
10、没有有定定义义， arg)()1(zzf 证明证明xy(z)ozz)0 ,(xP 定理定理2.5设设 ( )( , )( , ),f zu x yiv x y 则则 f (z) 在在 000zxiy处连续的充分必要条件是处连续的充分必要条件是 ( , ),u x y( , )v x y都在都在 00(,)xy点连续点连续. 定理定理2.3 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 定理定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分
11、母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲线线上上恒恒有有上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有界性：有界性：2.22.2 解析函数的概念解析函数的概念一、一、复变函数的导数复变函数的导数000( )() lim zzf zf zzz 1、 导数的定义导数的定义 定义定义2.4设设 是定义在区域是定义在区域D上的上的( )wf z 存在，则称存在，则称 在在 点点可导可导, 并把这个极并把这个极( )f z0zz 限值称为限值称为 在在
12、 点的点的导数导数，记做，记做 0().fz ( )f z0zz 复变函数复变函数, z0是区域是区域D内的定点内的定点. 若极限若极限 定义中的极限式可以写为定义中的极限式可以写为 000()() lim, zf zzf zz 即当即当 在在 点可导时点可导时, ( )f z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 注意注意0(0)zzz 的方式是任意的的方式是任意的.000()()lim.zf zzf zz 此时，对此时，对D内任意一点内任意一点z, 有有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用也可用 dd ( ), ddwf zzz等表示等表示 在在
13、z点的导数点的导数. ( )f z若若 在区域在区域 D内每一点都可导内每一点都可导, 则称则称 ( )f z( )f z在区域在区域 D内可导内可导.则则 例例1设设 2( ),f zz ( )f z在复平面内在复平面内处处可导，且处处可导，且 ( )2 .fzz 解因为解因为zzfzzfzfz )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22 .zz 所以所以例例2证明证明 ( )2f zxyi 在复面内处处在复面内处处连续，但处处不可导连续，但处处不可导. 证明对复平面内任意点证明对复平面内任意点z, 有有 ()( )f zzf z 2.xyi ()2()2x
14、xyy ixyi 故故 0lim ()( )0.zf zzf z 这说明这说明 ( )2f zxyi 在复面内处处连续在复面内处处连续. ()( )f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi 2.xyixyi xyoz0 y但是但是, 设设 沿着平行于沿着平行于x 轴的轴的z 方向趋向于方向趋向于 0, 即即0, 0.xy 于是于是xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim2.yyiyi 所以所以( )2f zxyi的导数的导数不存在不存在.设设 沿着平行于沿着平行于y 轴的方向趋向于轴的方向趋向于 0, 即即z
15、0, 0,xy 2、 可导与连续的关系可导与连续的关系0000()()lim()0,zf zzf zfzz 函数函数f (z)在在z0处处可导可导，则在，则在z0处一定处一定连续连续, , 但但函数函数f (z)在在z0处连续不一定在处连续不一定在z0处可导处可导. . 事实上事实上, ,由由 f (z)在在z0点可导点可导, 必有必有).()()()( 000zfzzfzzfz r r令令000()()() (), f zzf zfzzzzr r , )()(lim000zfzzfz 所以所以0lim()0,zzr r 再由再由即即( )f z在在0z处连续处连续. 反之反之, 由由 知知,
16、 不可导不可导. ( )2f zxyi但是二元实函数但是二元实函数 连续连续, ( , ), ( , )2u x yx v x yy于是根据于是根据 知知, 函数函数 连续连续.( )2f zxyi3、求导法则、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同证明方法相同.求导公式与法则求导公式与法则:(1)(
17、)0, c 其中其中c为复常数为复常数.(2)1(),nnznz 其中其中n为正整数为正整数. ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2( )( ) ( )( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)( ),()fzw (6) ( )( )( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中其中其中其中( )wf z 与与( )zw 是两个互为反函数的单值函数是两个互为反函数的单值函数, 且且( )0.w 二、二、 解析函数解析函数 定义定义2.5 在区域在区域D有定义
18、有定义. f z(1) 设设 , 若存在若存在 的一个邻域，使得的一个邻域，使得 0zD 0z在此邻域内处处可导在此邻域内处处可导, 则称则称 在在 处处解析解析,( )f z0z( )f z也称也称 是是 的的解析点解析点. 0z( )f z(2) 若若 在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 ( )f z在区域在区域D内解析内解析, 或者称或者称 是区域是区域D内的内的( )f z( )f z解析函数解析函数. (3) 设设G是一个区域，若闭区域是一个区域，若闭区域 ,DG 且且 在在G内解析，则称内解析，则称 在闭区域在闭区域 上上 ( )f z( )f zD解析解析.
19、函数函数 在在 处解析和在处解析和在 处可导意义处可导意义( )f z0z0z不同，前者指的是在不同，前者指的是在 的某一邻域内可导的某一邻域内可导, 0z但后者只要求在但后者只要求在 处可导处可导. 0z函数函数 在在 处解析和在处解析和在 的某一个邻的某一个邻( )f z0z0z域内解析意义相同域内解析意义相同. 复变函数在复变函数在区域内解析区域内解析与在该与在该区域内可导区域内可导是是等价等价的的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导区域内可导. . 反之反之, 设函数设函数 在区域在区域D内可导内可导, 则对则对( )f z任意任意 存
20、在存在z的某一个邻域的某一个邻域U, 使得使得U D,zD 由由 在在D内可导内可导, 可知可知 在在U内可导内可导, 即即( )f z( )f z在在z处解析处解析.( )f z若函数若函数 在在 处处不解析不解析，则称，则称 是是 ( )f z0z0z( )f z的的奇点奇点. 若若 是是 的奇点的奇点, 但在但在 的某邻域内的某邻域内, 0z( )f z0z除除 外外, 没有其他的奇点，则称没有其他的奇点，则称 是函数是函数 0z0z( )f z的的孤立奇点孤立奇点. 由例由例1和例和例2知知, 函数函数 是全是全2( )f zz 平面内的解析函数，但是函数平面内的解析函数，但是函数 (
21、 )2f zxyi 是处处不解析的连续函数是处处不解析的连续函数. 根据求导法则，很容易得到下面的结论根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理定理2.6 设函数设函数 在区域在区域D内解析内解析, 则则 ( ), ( )f zg z( )( ), ( ) ( )f zg zf z g z 也在也在D内解析内解析. 当当 时时, 是是00, ()0zD g z0z f zg z的解析点的解析点. 特别地特别地, 多项式多项式P(z)在全平面内解析在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点分母为零的点是有理分
22、式的孤立奇点. 例例3证明证明 在在 处可导处可导, 2( )f zz z 0z 但处处不解析但处处不解析. 证明根据导数的定义证明根据导数的定义, 200( )(0)limlim0.zzf zfzz 因此因此 在在 处可导，且处可导，且 ( )f z0z (0)0.f 当当 时时, 由由 得得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z故故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 虽然虽然020000lim()22,zzzz zz zz 但是当但是当 z分别从平行于分别从平行于x
23、, y轴方向趋于轴方向趋于z0时，时， 分别分别 00zzzz 以以1和和-1为极限，因此为极限，因此 不存在不存在. 又因为又因为 000limzzzzzz 00,z 所以所以 不存在，即不存在，即 000( )()limzzf zf zzz ( )f z在在 时不可导时不可导, 从而在复平面内处处不解析从而在复平面内处处不解析. 0z 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w = f (z) 在在 D内解析。内解析。 本节从函数本节从函数 u (x , y) 及及 v (x , y)
24、的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？一一. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(l
25、im ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 记忆记忆yvxvyuxu 定义定义2.6 对于二元实函数对于二元实函数u(x, y)和和v(x, y)，方程，方程 称为称为柯西柯西-
26、黎曼方程黎曼方程(简称简称C-R方程方程).yuxvyvxu 定理定理2.7 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在区域在区域D内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是（1）u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微；可微；（2）u(x, y) ， v(x, y) 在点在点 (x, y )满足柯西满足柯西-黎曼方程黎曼方程yuxvyvxu 上述条件满足时，有上述条件满足时，有( ).uvuuvvvufziiiixxxyyxyy A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可
27、导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的. . 定理定理2.72.7的证明略。由解析函数的定义的证明略。由解析函数的定义2.52.5及定理及定理2.72.7，我们可以得到定理，我们可以得到定理2.8.2.8.定理定理2.8 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在区域在区域D内解内解析的充要条件是析的充要条件是 （1）u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微可微（2）u(x, y) 和和
28、v(x, y)在在D内内满足柯西满足柯西-黎曼方程黎曼方程yuxvyvxu 解析函数的判定方法解析函数的判定方法: : (1) 如果能够用求导公式或求导法则验证复如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数变函数f (z)的导数在区域的导数在区域D内处处存在内处处存在, 则可直则可直接断定接断定f (z) 在区域在区域D内解析内解析. (2) 如果复变函数如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函中的函数数 u(x,y)和和 v(x,y)在区域在区域D内各个内各个一阶偏导数连一阶偏导数连续续 (因而因而u(x,y)和和v(x,y)在区域在区域D内可微内可微), 并且满并且满足足柯西
29、柯西-黎曼方程黎曼方程, 则由解析函数的充要条件可则由解析函数的充要条件可以断定函数以断定函数f (z)在区域在区域D解析解析.（P28 推论推论2.1）判定复变函数可导性与解析性的步骤：判定复变函数可导性与解析性的步骤：I) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性；偏导数的连续性；II) 验证验证C-R方程；方程；III）根据推论）根据推论2.1或定义或定义2.5判断函数的解析性。判断函数的解析性。A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个并不是
30、两个实函数分别关于实函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .复变函数复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在可导点处在可导点处的导数为的导数为二二. 举例举例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny在在全全
31、平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R方程，故方程，故。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw(3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu解解 由由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得得u = x2, v = xy, 所以所以2 ,0,xyxyuxuvyvx当且仅当当且仅当 x = y = 0
32、时时,xyyxuvuv 因而函数仅在因而函数仅在z = 0可导可导, 但在复平面内任何地方都但在复平面内任何地方都不解析不解析.例例2 2 判断下列函数在何处可导判断下列函数在何处可导, , 在何处解析在何处解析: :Re( )wzz例例3 设设 2222( )(),f zxaxybyi cxdxyy其中其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时是常数，问它们取何值时, 函数函数 f (z) 在复平面上解析在复平面上解析. 解：显然，解：显然， 22,uxaxyby在全平面可微，且在全平面可微，且 22vcxdxyy2, 2 .vvcxdydxyxy2, 2,uuxayaxbyxy 容易
33、看出容易看出, 当当 时时, 函数函数2, 1, 1, 2abcd ( , ), ( , )u x yv x y满足柯西满足柯西-黎曼方程黎曼方程, 这时函数这时函数 在全平面解析在全平面解析. ( )f z& 1. 指数函数指数函数& 2. 对数函数对数函数& 3. 幂函数幂函数& 4. 三角函数三角函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。性质，并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介定义定义： )sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyi
34、yeexiyzsincos:0性质： (1)0zzzxeeee定义在全平面上，且， (2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以为基本周期的周期函数)20,1,2,zeykkp=+=北Arg(L一一. 指数函数指数函数:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzeeeyyiyy
35、eee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzA )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz二二. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令(1) 对数的定
36、义对数的定义.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,当当k=0时，时，为为Lnz的一单值函数，称为的一单值函数，称为Lnz的的主值主值。故故ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 .(负数也有对数).(负数也有对数), ,LnzLnz1)1)复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正
37、数有意义 wZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值当当例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值当当特别特别A (2) 对数函数的性质对数函数的性质.,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原
38、点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z.ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性zzLnzLnz1)( 且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和.,2ziez求求设设 例例4, 1, 0222ln kikiz 三三. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 babzq 乘幂乘幂ab, 0, aba且且为为复复数数设设定义
39、定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂.,0,为为实实数数实实变变数数情情形形ba A 多值多值一般为多值一般为多值.,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时b为为整整数数当当 b)0,( qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当具具有有一一般般而而论论ba,.无穷多支无穷多支 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。A (1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。)2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2
40、(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k解解.1322的的值值和和、求求iii例例5q 幂函数幂函数zb称称为为幂幂函函数数。得得为为复复变变数数中中，取取在在乘乘幂幂,bbzwza 定义定义当当b = n (正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数为正整数）为正整数）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12 , 1 , 0( nknz .解解析析除除原原点点与与负负实实轴轴外外处处处处的的解解析析
41、性性由由于于Lnz的的反反函函数数nwz )()( ,1单值分支单值分支且且解析解析除原点与负实轴外处处除原点与负实轴外处处 bbbbzzzwbzw ,一一般般而而论论 除去除去b为正整数外，为多值函数，为正整数外，为多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。 )2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 从从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义四四. 三角函数三角函数推广到复变数情形推广到复变数情形sin ,cos (3)22izizizizeeeezzi-+=定义定义周周期
42、期函函数数是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析zeeeeizizizizizcos)(21)(21)(sin q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质.cos,sin)3是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同理同理思考题思考题. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数cos
43、sinizeziz=+4）欧拉（）欧拉（Euler）公式对任意复数成立）公式对任意复数成立三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( )4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得 xshyixchyiyxxsh
44、yixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义其它三角函数的定义 chyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7当当式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点Zkkzz 2cos 的零点为的零点为.1sin, 1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性
45、质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz,)2双曲函数双曲函数.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz )()()3复复变变函函数数连续连续初等解析函数初等解析函数判判别别方方法法可导可导解析解析指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数幂幂 函函 数数本章内容总结本章内容总结
