1、晶体学基础晶体学基础 主要参考书主要参考书:晶体学基础晶体学基础,秦秦 善编著善编著,北京大学出版社北京大学出版社,2004晶体学导论晶体学导论,王英华编著王英华编著,清华大学出版社清华大学出版社,1989近代晶体学基础近代晶体学基础,张克从著张克从著,科学出版社科学出版社,1998结晶学结晶学,翁臻培等编翁臻培等编,中国建工出版社中国建工出版社,1986结晶化学导论结晶化学导论,钱逸泰编著钱逸泰编著,中国科大出版社中国科大出版社,2002引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.1晶体的基本概念晶体的概念晶体的概念:结构基元在三维空间内按长程有序排列而成的固态物质;内部质
2、点在三维空间内呈周期性重复排列的固体;具有格子构造的固体. 晶体按存在状态分为单晶、双晶和多晶。 引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.1晶体的基本概念晶体的基本概念 单晶单晶:整块晶体中,结构基元在三维空间内呈不间断的长程有序排列状态.引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.1晶体的基本概念晶体的基本概念 多晶多晶:由多块单晶随机堆积到一起的晶体.引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.1晶体的基本概念晶体的基本概念双晶（或孪晶）双晶（或孪晶）：由两块或两块以上的单晶按一定的对称性连生在一起的晶体。引言引言 晶体的基本概念与
3、基本性质晶体的基本概念与基本性质0.2晶体的基本性质晶体的基本性质等同点等同点:种类 、环境和方位均相同的质点.引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.2晶体的基本性质晶体的基本性质空间格子的要素空间格子的要素: 结点 行列 面网 单位平行六面体晶体结构=空间点阵+结构基元引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.2 晶体的基本性质晶体的基本性质 (1) 自限性（或自范性）自限性（或自范性）：晶体具有自发地形成规则几何多面体外形的趋势。几何多面体由不同或相同形状的平整的晶面、 晶棱直的晶棱和角顶组成。引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基
4、本性质0.2 晶体的基本性质晶体的基本性质引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.2 晶体的基本性质晶体的基本性质引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质0.2晶体的基本性质晶体的基本性质均一性（或均匀性）：均一性（或均匀性）：同一块晶体的不同部同一块晶体的不同部位性质相同。位性质相同。各向异性：各向异性：同一晶体的同一部位在不同方向同一晶体的同一部位在不同方向上的性质不同。上的性质不同。最小内能和最大稳定性：最小内能和最大稳定性：同一组成的物质在同一组成的物质在相同热力学条件下的不同状态中，其晶态相同热力学条件下的不同状态中，其晶态的内能最小，因此稳定
5、性也最大。的内能最小，因此稳定性也最大。对称性：对称性：引言引言 晶体的基本概念与基本性质晶体的基本概念与基本性质 非晶质体：非晶质体：外部形态无定型、内部结构近程有序、远程无序的凝聚态物体各向同性体。 例如：玻璃、石蜡、橡胶、塑料等。 准晶：准晶：物质的一种特殊状态，是介于晶质体与非晶质体之间的一种新的物质态。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.1 对称性的概念对称性的概念对称性：对称性：物体相等的部分借助于一定的操作而有规律地重复的性质。 Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.1 对称性概念对称性概念晶体的对称性特点：晶体的对称性特点： 晶体对称的
6、无限性：晶体对称的无限性：所有晶体都是对称的。 晶体对称的有限性：晶体对称的有限性：晶体的对称类型受格子 构造的严格限制。 晶体的对称决定于其内在本质晶体的对称决定于其内在本质格子构造晶体的对称性不但有几何意义，还包含物理意义。由于以上特点，研究晶体的对称性有如下用途： 1、可以作为晶体分类的基础；2、以此研究晶体形态；3、指导晶体材料应用研究。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（1）宏观对称要素）宏观对称要素宏观对称要素及其对称操作对称操作：使相等的部分重复出现的操作。宏观对称操作特点：操作时至少有一点不动。对称要素：进行对称
7、操作时所借助的假想几何要素。对称操作分类：简单的三种，复杂的两种（实际只用一种即可）Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（1）宏观对称要素）宏观对称要素对称面（对称面（P，m）反映反映晶体存在对称面时的特点：1、对称面通过晶体中心；2、对称面垂直平分某些晶面、晶棱或包含某些晶棱。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（1）宏观对称要素）宏观对称要素对称中心（对称中心（C, ）反伸（倒反）反伸（倒反）晶体存在对称中心时的特点：1、每一晶面必有另一晶面与之平行反向；2、晶
8、体中对称中心只能有一个。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（2）宏观对称要素）宏观对称要素对称轴（对称轴（Ln,n）旋转旋转 轴次 n=1,2,3,4,6, 基转角=360/nCh.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（1）宏观对称要素）宏观对称要素晶体中存在对称轴时的特点： 1、在Ln周围晶体相等的部分必然有n个； 2、 Ln只能是晶体上两个相对晶面中心的连线、两个相对晶棱中点连线、两个相对角顶的连线、一个角顶与相对面中心连线或一个棱中点与相对面的中心连线。Ch.1
9、 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（1）宏观对称要素）宏观对称要素旋转反伸轴（倒转轴旋转反伸轴（倒转轴 Lin，）旋转旋转+反伸反伸 Li1 =C； Li2=P； Li3=L3+C； Li4； Li6=L3 +P晶体中存在对称轴时的特点： 1、在Lin周围晶体相等的部分有n个（n=2,4,6）或2n个（n=1，3）； 2、 Lin通过晶体中心。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（1）宏观对称要素）宏观对称要素旋转反映轴（映转轴旋转反映轴（映转轴 Lsn，）旋转旋转+反
10、映反映 Ls1=Li2; Ls2 =Li1; Ls3=Li6; Ls4=Li4; Ls6=Li3Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（2）宏观对称要素与对称操作的对比）宏观对称要素与对称操作的对比Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（3）宏观对称要素的符号和投影）宏观对称要素的符号和投影Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.2 宏观对称要素及其投影宏观对称要素及其投影（3）宏观对称要素的符号和投影）宏观对称要素的符号和投影Ch.1 晶体的宏观对
11、称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 定理一：定理一：如有一偶次对称轴Ln与对称中心C 共存，则过C且垂直于此Ln的平面必为一对称面。Ln (偶)C Ln (偶)PC Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合逆定理一：逆定理一：如有一偶次对称轴Ln垂直于P时，二者之交点必为C； Ln (偶)P Ln (偶)PC Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3对称要素的组合对称要素的组合逆定理二：逆定理二：如有一P和C共存时，则过C且垂直于P的直线必为一偶次对称轴Ln 。 P C Ln (偶)PC C
12、h.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 定理二：定理二：如有一L2垂直于Ln，则必有n个L2同时垂直于Ln 。LnL2 LnnL2 Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 逆定理：逆定理：如有两个L2以角相交，则过两者之交点的公共垂线必为一个n次对称轴，且n=360/2。 L2L2 LnnL2Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 定理三：定理三：如有一P包含Ln，则必有n个P同时包含Ln 。 LnP LnnP Ch.1 晶体的宏观对称性与点
13、群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 逆定理：逆定理：如有两个P以角相交，则两者的交线必为一个n次对称轴，且n=360/2。 PP LnnPCh.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 定理四：定理四：如有一P包含Lin(或有一L2垂直于Lin），当n为奇 数时，则必有n个P包含Lin 和n个L2垂直于Lin ；当 n为偶数时，则必有n/2个P包含Lin 和n/2个L2垂直 于Lin 。 LinP = LinL2 LinnL2nP (n=奇数） LinP = LinL2 Lin(n/2)L2(n/2)P (n=偶数） Ch.
14、1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合对称要素的组合 逆定理：逆定理：如有一个L2与一个P斜交，P的法线与L2的交角为，则通过交点且同时垂直于L2和P法线的直线必为一个n次倒转轴，且n=360/2 。 Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.3 对称要素的组合 定理五：定理五：如有两根高次对称轴Lm和Ln以角斜交，则围绕Lm必有m个共点并呈对称分布的Ln；同时，在Ln周围也必有n个共点呈对称分布的Lm，且任意两相邻Lm和Ln之间的夹角必为。 定理六：定理六：在结晶多面体上所有对称要素必有一共同点。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性
15、与点群1.4 晶体学点群的推导晶体学点群的推导（A类）类） 1、原始式Ln：L1,L2,L3,L4, L6. 2 、中心式：L1CC, L3CL3C, （定理一）L2CL2PC, L4CL4PC， L6CL6PC。 3、轴式:（定理二） （L1L2L1L2=L2 ）， L2L2 L2 2 L2 =3 L2, L3L2 L33 L2， L4L2L44L2, L6L2L6 6 L2. Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.4晶体学点群的推导晶体学点群的推导（A类）类）4、面式:（定理三） L1PL1 P=P ， L2P L22P ， L3PL33P， L4PL44P，L6 PL
16、66P.5、轴面式:（定理一、二、三） （L1L2PL2PC ）， L2L2P L22L23PC=3 L23PC, L3L2PL33L23P C， L4L2PL44L25PC, L6L2PL6 6 L27PC. Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.4晶体学点群的推导晶体学点群的推导（A类）类） 6、倒转原始式： (Li1 =C), (Li2 =P), (Li3 =L3C), Li4, Li6 =L3P. 7、倒转面式（定理四）： (Li1P=Li1L2 Li1 L2 P= L2PC), (Li2P=Li2L2Li2 L2 P= L2 2 P) ， (Li3P=Li3L2
17、Li3 3 L23P= L3 3L23 PC) ， Li4P=Li4 L2 Li4 2L22P Li6P= Li6 L2Li6 3L23 P= L3 3L24P Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.4晶体学点群的推导晶体学点群的推导（B类）类）（定理五、六）（定理五、六）几何多面体特点： 1、一个凸多面角至少有三个面组成； 2、组成凸多面角的正多边形之内角角度之和必须小于360。正多面体的形成： 设有高次轴Lm和Ln相交于一点O，可以看到，由于Ln的作用，在Ln的周围必存在n个Lm 。在每个Lm对称轴上距O点等距离处取一点，连接这些点必可得一个正n边形， Ln则出露在垂直
18、正n边形的中心，而Lm对称轴则出露于由m个正n边形面组成的面角处，即每个角顶必是由m个正n边形面围成的。因此，这必组成由正n边形组成的正多面体。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.4晶体学点群的推导晶体学点群的推导（B类）类） 可围成的正多面体和相应的正多边形Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.4 晶体学点群的推导晶体学点群的推导（B类）类）（定理一（定理一六）六）1、原始式： 3L24L32、中心式： 3L24L3 C 3L24L33PC3、轴式： 3L24L3 L2 3L44L36L2 4、面式： 3L24L3 P 3Li44L36P5、轴面式：
19、 3L44L36L2 L2 P 3L44L36L2 9PC点群中对称要素的书写顺序：点群中对称要素的书写顺序： 1、对称要素的数目写在其符号前面；、对称要素的数目写在其符号前面； 2、首先高次轴，其次二次轴，再对称面，最后对称心、首先高次轴，其次二次轴，再对称面，最后对称心共同式点群(对称型）LnLnCLnnL2LnnPLnnL2n(+1)PCLinLinnL2nP (n为奇数) Lin (n/2)L2(n/2)P (n为偶数) A类n=1L1C(L2)(P)(L2PC)(Li1 =C)(Li1L2P=L2PC)n=2L2L2PC3L2L22P3L23PCLi2=P(Li2 L2P= L22P
20、)n=3L3L3CL33L2L33PL33L2 3PC(Li3 = L3C)(Li33L23P= L33L23PC)n=4L4L4PCL44L2L44PL44L2 5PCLi4Li4 2L22Pn=6L6L6PCL66L2L66PL66L2 7PCLi6 = L34PLi63L23P=L33L24PB类3L2 4L33L24L3 3PC3L44L3 6L23Li4 4L36P3L4 4L36L2 9PC点群推导总结点群推导总结Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.5晶族与晶系的划分晶族与晶系的划分 晶族：按有无高次轴和高次轴的多少划分晶族：按有无高次轴和高次轴的多少划分 无
21、高次轴无高次轴低级晶族低级晶族 一个高次轴一个高次轴中级晶族中级晶族 高次轴多于一个高次轴多于一个高级晶族高级晶族 晶系：按主要对称要素的数目或特点划分晶系：按主要对称要素的数目或特点划分 无无L2或或P三斜晶系三斜晶系（L1、C） L2和和P不多于一个不多于一个单斜晶系单斜晶系（L2 、P 、 L2PC） L2和和P总数不少于三个总数不少于三个斜方（或正交）晶系斜方（或正交）晶系（3L2 、 L22P、 3L23PC） 唯一的高次轴为唯一的高次轴为L3三方晶系三方晶系（ L3、 L3C、 L33L2、L33P、 L33L23PC） 唯一的高次轴为唯一的高次轴为L4或或Li4四方（或正方）晶系
22、四方（或正方）晶系（L4、 L4PC、 L44L2、L44P、 Li4、Li42L22P、L44L25PC） 唯一的高次轴为唯一的高次轴为L6或或Li6六方晶系六方晶系（L6、 L6PC、 L66L2、L66P、 Li6、Li63L23P、L66L27PC） 有四个有四个L3立方（或等轴）晶系立方（或等轴）晶系（ 3L24L3、 3L24L33PC、 3L44L36L2、3Li44L36P、 3L44L36L29PC）Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.6 晶体定向晶体定向晶体定向包括选择晶轴和确定轴单位。晶体定向包括选择晶轴和确定轴单位。晶轴选择原则：晶轴选择原则：晶轴
23、的选择必须同晶体内部格子构造紧密联系，必须是晶体构造晶轴的选择必须同晶体内部格子构造紧密联系，必须是晶体构造中的行列方向，同时必须反映晶体固有的对称性。中的行列方向，同时必须反映晶体固有的对称性。1、选、选Ln或或Lin作为晶轴；作为晶轴；2、无、无Ln或或Lin时，选时，选P法线作为晶轴；法线作为晶轴；3、无、无Ln、Lin或或P时，则以某一晶棱方向或角顶连线方向作为晶时，则以某一晶棱方向或角顶连线方向作为晶轴；轴；4、一般选三根晶轴，称为三轴定向（三方、六方除外）：、一般选三根晶轴，称为三轴定向（三方、六方除外）：X(a)前后方向，前正后负；前后方向，前正后负；Y(b)左右方向，左负右正；
24、左右方向，左负右正；Z(c)上下方上下方向，上正下负；向，上正下负；5、在不违背该晶体对称性条件下，同时选定的三个晶轴应尽可、在不违背该晶体对称性条件下，同时选定的三个晶轴应尽可能相互垂直，轴角能相互垂直，轴角= ； = ；= 6、三方、六方晶系常选四轴定向，、三方、六方晶系常选四轴定向，X轴向前偏左轴向前偏左30，Y、Z同上，同上，U轴负端向前偏右轴负端向前偏右30 。Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.6 晶体定向晶体定向Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.6晶体定向晶体定向Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.6晶体定向晶体
25、定向轴率的确定轴率的确定轴率轴率是各晶轴的轴单位实际长度之比。是各晶轴的轴单位实际长度之比。轴单位轴单位是各晶轴上的度量单位，即晶轴所在行列的结点是各晶轴上的度量单位，即晶轴所在行列的结点间距（晶轴上相邻等同点间的距离），一般用间距（晶轴上相邻等同点间的距离），一般用a0、b0、c0表示。表示。通常选择一个单位晶面通常选择一个单位晶面ABC，假定其在三个晶轴上截，假定其在三个晶轴上截取得轴单位数相等，均为取得轴单位数相等，均为n，则，则 OA:OB:OC= na0:nb0:nc0 = a0:b0:c0 OA/OB:1:OC/OB = (a0 /b0 ):1 :(c0 /b0) Ch.1 晶体的
26、宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.7点群（对称型）的符号点群（对称型）的符号（1）圣弗利斯（）圣弗利斯（Schenflies）符号符号 Ln原始式原始式Cn: C 1、C2、C3、C4、C6 Lin原始式原始式Cni: Ci、C2i=CS 、C3i、 C4i=S4 、 C6i=C3h 面式面式Cnv: Cv = Cs、 C2v 、 C3v 、 C4v 、 C6v Ln与与P组合组合Cnh: Ch = Cs、 C2h 、 C3h 、 C4h 、 C6h 轴式轴式Dn: D1= C2、D2、D3、D4、D6 Dn与与P组合组合Dnh: Dh = C2v、D2h、D3h、D4h、D6h Dn
27、与平分其角与平分其角P组合组合Dnd: Dd=C2h、D2d、 D3d （D4d、D6d） 等轴原始式等轴原始式: T T与与P组合组合: Th T与平分其角与平分其角P组合组合: Td 等轴轴式等轴轴式: O O与与P组合组合: Oh Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.7点群（对称型）的符号点群（对称型）的符号（2）国际符号）国际符号国际符号的含义及其表示方式国际符号的含义及其表示方式 点群的国际符号由不超过三位的数字和字母（即对称要素的国际符号）点群的国际符号由不超过三位的数字和字母（即对称要素的国际符号）表示，其中每一位代表点群中某个确定的方向上有该对称要素。表示
28、，其中每一位代表点群中某个确定的方向上有该对称要素。 当某一位对应的方向上有多个对称要素时，选择的顺序是先当某一位对应的方向上有多个对称要素时，选择的顺序是先m后后n(n(或或)，必要时两者都用，以，必要时两者都用，以“/”/”写成分式形式，写成分式形式，n在上，在上，m在下。当某一位在下。当某一位对应的方向上无对称要素时，将该位空缺或用对应的方向上无对称要素时，将该位空缺或用1 1表示。表示。 不同晶系，国际符号的位数和每位所代表的方向不同。下表是各晶系不同晶系，国际符号的位数和每位所代表的方向不同。下表是各晶系国际符号中每个位所代表的方向。国际符号中每个位所代表的方向。晶晶 系系方方 向向
29、方方 向向方方 向向等等 轴轴ZX+Y+ZX+Y四四 方方ZXX+Y六方（三方）六方（三方）ZX2X+Y斜方斜方XYZ单斜单斜Y三斜三斜ZCh.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.7点群（对称型）的符号点群（对称型）的符号（2）国际符号）国际符号各点群的国际符号各点群的国际符号 三斜晶系：三斜晶系：1,1, 单斜晶系：单斜晶系：2 2，m，m/2/2 斜方晶系：斜方晶系：222222，mm2,2,mmm 三方晶系三方晶系: 3, , 32, 3m, m 四方晶系四方晶系: 4, , 4/m,422,4mm, 2m,4/mmm 六方晶系六方晶系: 6, ,6/m,622,6mm,
30、 2m,6/mmm 立方晶系立方晶系: 23, m3, 3m,432, m3mCh.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.7 对称型（点群）的符号对称型（点群）的符号Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群 1.7 对称型（点群）的符号对称型（点群）的符号Ch.1 晶体的宏观对称性与点群晶体的宏观对称性与点群1.8 点群与物理性能间的关系点群与物理性能间的关系光学性质光学性质：光性均质体（高级晶族） 光性非均质体（中级晶族单轴晶， 低级晶族双轴晶）旋光性旋光性：11种无对称面和对称中心点群。倍频性倍频性：除O-432、D4-422、D6-622、T-23、Td-43
31、m外的16种无对称中心点群。 压电性压电性：除O-432外的20种无对称中心点群。热释电性热释电性：具有单向极轴的10种点群。 Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号 在晶体定向的基础上，可确定结晶多面体外形上的各种界限要素（晶面、晶棱、角顶）和各种结晶几何要素（单形、晶带、晶向等）。用来表示这些要素在空间位置的各种简单符号称为结晶符号。 Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(1) 晶面符号晶面符号(米氏符号米氏符号)表示晶面在空间相对位置和方向的一组数字表示晶面在空间相对位置和方向的一组数字(hkl)求法(晶胞参数未知）： 选
32、择单位晶面A0B0C0，其在各晶轴上的截距分别为 OA0 、OB0、OC0； 未知晶面AxBxCx在各晶轴上的截距分别为OAx 、OBx、 OCx； 求单位晶面与未知晶面截距之比的连比，即： OA0 / OAx :OB0 /OBx :OC0 /OCx； 将该连比化为简单互质整数比h:k:l； 去掉比号，加上小括号即得（hkl）。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(1)晶面符号晶面符号(米氏符号米氏符号)求法（晶胞参数已知）： 未知晶面AxBxCx在各晶轴上的截距分别为OAx 、OBx、OCx； 求得未知晶面AxBxCx在各晶轴上的截距系数p(OAx/a0)、
33、 q(OBx/b0) 、 r(OCx /c0)； 将截距系数的倒数写成连比形式：(1/p):(1/q):(1/r); 将该连比化为简单互质整数比h:k:l； 去掉比号，加上小括号即得（hkl）。 Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(1) 晶面符号晶面符号(米氏符号米氏符号)晶面符号的特点：晶面符号的特点： 晶面指数是截距系数的倒数比晶面指数是截距系数的倒数比, 截距系数越大截距系数越大,相应指数越小；相应指数越小； 指数按指数按X、Y、Z顺序排列，一般式顺序排列，一般式(hkl),三方、六方四轴定向三方、六方四轴定向时时(hkil)，其中，其中h+k+i=0
34、； 晶面指数有正有负，负号写在该指数上方；晶面指数有正有负，负号写在该指数上方； 有些点群晶轴有两种选择，晶面符号也不同；有些点群晶轴有两种选择，晶面符号也不同； 晶面符号既可表示晶体外形的晶面，又可表示晶体内部面网晶面符号既可表示晶体外形的晶面，又可表示晶体内部面网(晶体内法线同向的面网符号相同晶体内法线同向的面网符号相同)；既可表示一个晶面，又可表；既可表示一个晶面，又可表示由对称要素联系起来的一组晶面，表示后者时，用大括号示由对称要素联系起来的一组晶面，表示后者时，用大括号hkl，称为聚形或晶面族。，称为聚形或晶面族。 Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符
35、号(2)晶棱符号（方向指数）晶棱符号（方向指数）表示晶棱或晶向在空间相对位置和方向的一组数字表示晶棱或晶向在空间相对位置和方向的一组数字uvw求法求法： 将该晶棱平移至坐标原点； 在该晶棱上任取一点P（p,q,r); 取P坐标之连比p:q:r化为互质整数比u:v:w； 去掉比号，加上中括号uvw.求法求法： 在该晶棱上任取两点P1(p1,q1,r1)和P2(p2,q2,r2); 取两点坐标差值之连比(p2 -p1) :(q2 -q2) :(r2-r1)划为互质整数比u:v:w； 去掉比号，加上中括号uvw.Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(2)晶棱符号晶棱
36、符号晶棱符号特点：晶棱符号特点： 指数按X、Y、Z顺序排列，一般式uvw,三方、六方定向时 uvtw,其中u+v+t=0； 指数有正有负，负号写在该指数上方。当无矢量时，相反 的两方向等效。 有些点群晶轴有两种选择，符号也不同； 晶棱符号既可表示晶体外形晶棱（相同方向的不同晶棱只有一个符号），又可表示晶体内部行列；既可表示一个方向(如晶棱、晶带轴)，又可表示由对称要素联系起来的一组方向 (晶向族)，表示后者时，用尖括号uvw。 Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(3)三轴定向和四轴定向结晶符号间的转换三轴定向和四轴定向结晶符号间的转换三轴定向UVW四轴定向u
37、vtw秘诀：先求出晶向上任一点在X、Y、U、Z四晶轴的垂直投影，然后将前三个数值乘以2/3，再和第四个数值一起化为最小简单整数，即得此晶向指数。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(4) 单形、晶面族、晶向族符号单形、晶面族、晶向族符号代表晶面或晶向的选取原则： 尽可能选正指数多的晶面或晶向(在三 方、六方晶系中，可不考虑第 三指数)； 按先前、次右、后上指数绝对值递减。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.1 结晶符号结晶符号(5) 晶带符号与晶带定律晶带符号与晶带定律晶带：晶带：彼此间交棱相互平行的一组晶面的组合。晶带轴：晶带轴：晶带中相互平行
38、的晶棱方向，它代表该晶 带在空间的位置。晶带符号：晶带符号：晶带轴的晶棱符号。晶带定律：晶带定律：若有一晶面(hkl)属于晶带uvw,则有 hu+kv+lw=0Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.2 晶体形态晶体形态A 单形单形（1）单形的概念：由对称要素联系起来的一 组晶面的总和。同一单形中的晶面同形 等大。（2）单形特征：所属晶族、晶面数、相互位置。（3）单形推导举例：L4PC、 L2 2 P。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.2 晶体形态晶体形态A 单形单形（4）单形种类： 开形单面、双面、柱类、单锥(不可单独作
39、为晶 体外形); 闭形面体类、双锥类（可单独作为晶体外形); 左右形斜方四面体、偏方面体类、五角三四面 体、五角三八面体；（5）几种形状相似而易混的单形 四面体类、四方双锥与八面体、三角双锥和三方偏 方面体与菱面体Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.2 晶体形态晶体形态B 聚形聚形（1）聚形的概念：两个或两个以上单形组合而成的晶体外形。（2）单形组合成聚形所遵循的原则： a.晶体形态必为封闭的几何多面体； b.不同晶族或晶系的单形一般不能相互组合； c.单面和平行双面可与中级晶族单形组合，但须与高次轴垂直。 Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.2 晶体形态晶体形态B
40、 聚形聚形（3）聚形分析分析步骤：确定聚形的晶族、晶系、对称型；确定组成聚形的单形种类、数目；确定各单形的晶面数目；确定各单形名称(依据a.晶体的对称型；b.单形晶面数；c.晶面相互位置；d.同一单形的部分交棱的方向与形状）。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.3 晶体学基本定律晶体学基本定律（1）布拉维法则）布拉维法则 晶体通常被面网密度大的晶面所包围。即晶晶体通常被面网密度大的晶面所包围。即晶体凸几何多面体外形上的晶面通常面网密度最大。体凸几何多面体外形上的晶面通常面网密度最大。（2）整数定律（有理指数定律）整数定律（有理指数定律） 把相交于一点的三个晶棱作为坐标轴，以作把相
41、交于一点的三个晶棱作为坐标轴，以作为单位面的晶面在此三个坐标轴上的截距为长度为单位面的晶面在此三个坐标轴上的截距为长度的度量单位，这样，晶体的任何晶面在此三个坐的度量单位，这样，晶体的任何晶面在此三个坐标轴上的截距系数的倒数之比可简化为一简单的标轴上的截距系数的倒数之比可简化为一简单的互质整数之连比。互质整数之连比。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.3 晶体学基本定律晶体学基本定律（3）面角守恒定律（）面角守恒定律（Steno定律）定律） 同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等（4）爱列尔（）爱列尔（) )公式（欧拉定律）公式（欧拉定律） 凸几何多
42、面体形态晶体的晶面数（凸几何多面体形态晶体的晶面数（F）、晶棱数（）、晶棱数（E）和角顶数（和角顶数（V）间的关系为）间的关系为F + V = E + 2（5）晶带定律）晶带定律 两个晶带轴相交的平面必为一可能晶面；两个晶面的两个晶带轴相交的平面必为一可能晶面；两个晶面的交线必为一晶带轴。晶面（交线必为一晶带轴。晶面（hkl）的指数与其晶带轴）的指数与其晶带轴 uvw 值数间的关系为值数间的关系为 hu+kv+lw=0 经带定律揭示了晶面和晶棱间的依存关系。经带定律揭示了晶面和晶棱间的依存关系。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.4 晶体的投影晶体的投影晶体的投影是用二维的图形来
43、表示晶体角、棱、面在空间的分布的方法。通常视晶体的投影是用二维的图形来表示晶体角、棱、面在空间的分布的方法。通常视投影面和视点所处的位置不同而分为投影面和视点所处的位置不同而分为极射赤平投影极射赤平投影和和心射极平投影心射极平投影。应用最。应用最多的是前者。多的是前者。具体做法是，取任一点为具体做法是，取任一点为投影中心投影中心，以一定的半径作一球，称为，以一定的半径作一球，称为投影球投影球。通过球。通过球心作一平面，称为心作一平面，称为投影平面投影平面（或赤道平面），投影平面与投影球相交的圆称（或赤道平面），投影平面与投影球相交的圆称为为基圆基圆（即赤道，也称大圆），垂直于投影面的直径（即赤
44、道，也称大圆），垂直于投影面的直径NS称为称为投影轴投影轴，投影轴，投影轴的两个端点的两个端点N、S及投影球的北极和南极，分别称为及投影球的北极和南极，分别称为上目测点上目测点和和下目测点下目测点。由。由于目测点在南北极，投影落在赤道平面上，故称于目测点在南北极，投影落在赤道平面上，故称极射赤平投影极射赤平投影。Ch.2 结晶符号与晶体形态结晶符号与晶体形态2.4 晶体的投影晶体的投影投影过程：投影过程： 将晶体置于投影球内，使晶体中心与球心重合；将晶体置于投影球内，使晶体中心与球心重合； 由晶体中心作各个晶面法线，均与球面相交，交点称为极点；由晶体中心作各个晶面法线，均与球面相交，交点称为极点； 由各极点向上、下目测点作直线，均与投影面相交，形成晶体的极射赤平投影。由各极点向上、下目测点作直线，均与投影面相交，形成晶体的极射赤平投影。投影特点：投影特点： 点代表晶体的晶面，点数与晶体晶面数相等；点代表晶体的晶面，点数与晶体晶面数相等； 点的位置代表相应晶面的角度和位置，点在投影中心说明相应晶面与投影轴垂直，点点的位置代表相应晶面的角度和位置，点在投影中心说明相应晶面与投影轴垂直，点在基圆上说明相应晶面与投影轴平行，点在两者之间说明相应晶面与投影轴斜交。在基圆上说明相应晶面与投影轴平行，点在两者之间说明相应晶面与投影轴斜交。
