1、 本科的代数类课程有三门：高等代数，近世代数和初等数论 （暂且列入） 本次讲座谈谈代数课的发展历史思想方法和现代研究的方向 高等代数是数学专业一年级学生的专业基础课，是进入大学学习的数学专业学生的承上启下的课程；近世代数课程则是进一步研究学习近代数学的入门课程代数课程在学习和掌握其中的基础理论和基本方法的同时，更重要的是学习培养抽象思维，逻辑推理和空间直观想像这三种基本的数学思维 代数学是以数、多项式矩阵和它们的运算，以及群环域和模等为研究对象的学科简单地说，代数学是研究代数系统（带有一些运算的集合）的下面从几个问题谈这门课程的几个方面一公理化方法 公理化方法是数学演绎或数学思想方法的逻辑上的
2、严谨化发展的结果，在数学理论中的概念定义和定理命题的证明必须从一些已经被大家熟知的概念和已公认正确的结论出发，这些“约定”的概念为基本概念，“约定”公认成立的结论成为公理基本概念和公理组成的一个逻辑体系称为某一理论的公理系统基本概念公理命题定理理论体系基本公理特定公理逻辑推理 典型的古典平面几何立体几何 就是一个公理体系最严谨的体系是由希尔伯特在Euclid的几何原本基础之上完成的 希尔伯特的几何公理体系： 基本概念点直线和平面，三种关系：属于，介于和合同于第一组结合公理（关联公理从属公理）共8条 对于两点A，B，存在通过这两点的直线a； 对于两点A，B，至多存在一条直线通过这两点； 每条直线
3、上至少有两点至少存在三点不在同一 直线上； 对于不在同一直线上的三点A，B，C，存在通过三点 的平面 ，在每个平面上至少有一个点2134 对于不在同一直线上的三点A，B，C，至多 有一个平面 通过这三点； 如果直线a和两点A，B在平面 上，那么直 线a的每个点都在平面 上； 如果两个平面 ， 通过一点A，那么它们 还通过另一个点B； 至少存在四个不在同一平面上的点5678 第二组顺序公理 ，共4条 第三组合同公理，共5条 第四组平行公理，只有一条 如果a是任意直线，A是不在a上的一点，那么在a 和A确定的平面上，只有一条直线通过A，且不与a相交 第五组连续公理，有2条 公理化的三要素：完备性
4、相容性 独立性 Hilbert在所著几何基础中从上述5组公理出发，纯粹按照形式逻辑，不借助其它概念，方法和直观，严格地推论出欧氏几何的全部命题，使几何学成为一纯粹的逻辑演绎体系 希尔伯特几何公理体系成为一个典范促使数学公理化方法的形成，对20世纪的数学起了很大的推动作用 欧氏几何中的平行公理改成罗氏公理（改成过直线外的一点可以做两条直线与该直线平行），就可以得到罗巴切夫几何 数学公理化方法在中学数学教科书中也有体现，平面几何和立体几何都提出了基本概念和公理通过逻辑推理得到命题和定理 欧氏几何是平面几何和立体几何高等代数中的线性代数部分是Weyle于1918年用代数学中的向量空间（公理化）建立了
5、几何学的向量结构 用集合论的观点，用公理化方法建立向量空间的理论体系： 向量空间 线性相关， 两个运算 “+”，“ ” 线性无关，坐标，基 运算法则 维数，, ,V F 欧氏空间 实数域 上的向量空间，还有内积 长度两向量的夹角， 向量的正交性 高代课程中还有一些概念是直观定义的，没有严格公理化 如 (1)(4)|多项式概念它们都可以公理化定理化行列式概念, ,V 公理化方法是现代数学最基本的思想方法，它深刻地影响了现代社会的思想观念社会科学中典型例子 （1）法制社会中的宪法刑法以及各种法律文件是现代社会的公理体系，由此推理演绎出的法制法规条款每一次法庭判案都可看作是由这个公理体系所做的推理过
6、程（2）现代选举学是由造诣很高的数学家创立的数理理论斯坦福大学教授阿罗（1922年诺贝尔经济学奖获得者）用公理化方法研究选举法，证明了定理（阿罗不可能性定理）：绝对公平的选举系统是不存在的 Hilbert的一个宏伟目标是，将数学的全部理论公理化但是奥地利数学家， ，证明了任何形式化公理系统内中不可判定命题的存在性这就彻底让Hilbert的计划无法实现哥维尔不完备性定理表明，任何形式系统内不足以证明所有在系统中可以作出的判断体现在选举学中就是阿罗不可能性定理K.Godel二数系的扩充和严格公理化定义 代数在中学中的基本内容之一是数的运算整数、有理数、实数、复数，代数学中将这个体系完全建立起来了数
7、的自然扩充表： 正整数正分数 正有理数 0 非负有理数零正无理数 0 非负实数负数 实数 复数2, 1i i , , i j k 四元数 数的逻辑扩充表： 自然数，半群，良序集负元 整数，整环，全序集 有理数，全序域乘法逆元有理数基本列 实数，完备的阿基米德序域 复数，代数闭域2, 10 i x 的根（1）自然数 的半群构造自然数“后继”的概念， 中定义后两个代数运算：0,1,().mmmmmmmmnmn “”， 为任一自然数，归纳定义）为 的后继数,00,(1)m nmm nm nmmm “ ”归纳定义： abbaccbaabccab 可以推导出所有运算法则“”或“ ”的定义，或数系扩充的方
8、法、要求原则（1）新数系较原数系在保证运算通行方面，功能更完备（2）新数系的元素，以原有数系的元素为基础，以某种方式构作而成（3）原有数系整个地“嵌入”新数系，作为其子系统 ; ,; （2）整数和整数环，, ; ,; ,; ,; ,; ,; , .Ma b a bMa bc dac bda bc dacbd adbc 定义：含有半群 的最小环，称为整数环，（1） 是的子系统；（2） 是环；（3） 最小性.的构造方法：令，中定义“ ”，“”，满足结合律、交换律、分配律. ， 0000 , , , ; ,; ,; ,;Ma bc dadbcMa bc dac bda bc dacbd adbc 中
9、定义关系“ ”：等价关系，中定义：，则就是,:,a bab 为同构映射（3）有理数域的构作 0; ,; ,1; ,; ,2; ,3; ,0, .Ma b a bbMa bc dadbcM 定义：含有整数环的最小域，称为有理数域， 是的子环； 是一个域； 的最小性.从 构造 令，中定义“” ，作商集 000“ ”, , ; ,; , .; ,; ,:, .a bc dadbc bda bc dac bdaa bb 上定义，“”， 就是 （4） 从有理数域到实数域 10|, lim0 . nnnnnnnnnnnnnnnnMaaaMababMabababa b定义：含有理数域为其子域的连续域 称为实
10、数域， 的元素称为实数.（可以证明：实数是有理数列的极限）构造：设收敛对于上定义“”，定义上的运算“ ”、“”，0 ; ,n ，就是实数域.是代数和数学分析方法结合的构作（5） 复数域 00200,; ,1,:, ,ia b a ba bc dac bda bc dacbd adbcabi a bia babi 定义：含有实数域 和 的最小域 ，称为复数域，构造：作集合中定义“ ”、“”如下： ， ，则就是复数域， 再扩充下去：四元数，八元数.（6） 代数数，超越数 p x 是某有理系数多项式的根的实数称为代数数.不是任一个有理系数多项式的根的实数称为超越数.实数有理数无理数代数数超越数23s
11、in1 cos3 ln2 ln52 5eee， 都是超越数，2 ，e 是超越数.， ， ， ， 是超越数.认识的超越数很少，是否为超越数，不知道.三代数方程的根式解和群中学数学中涉及的古老数学研究的内容是解方程一元二次方程 一元三次方程20axbxc242bbacxa 32300 xbxcxdypyq 求根公式为1 3yxb令代换缺平方项l根为：l其中 为三次单位根，（卡尔达诺公式，1545年）1212321 .yAByAByAB，12，2323( )() ,( )()222222qqpqqpABl 四次方程l 归结为两个二次方程的求解 （有求根公式，根式解）4320 xaxbxcxd222(
12、)()2axxdxl 五次方程的根式解问题，经过一百多年都没有找到根式解公式l Abel（1802-1829）研究了一般情况，想证明高于四次的方程一般没有根式解，但没有最终证出只证明一些特殊情况下的结论l 伽罗华理论：伽罗华研究了这个问题，发现根式解的问题与根的对称性有关系l设 不可约的， 为其所有根构造这些根的具有有理系数 的多元多项式：构成一个环l设K中元素为考虑K的自同构 1110( ).nnnp xxaxa xax12,n 01,b b 201 111 1.nnbbbb12, .nKK ， 为其商域，12, ,nK 中元为以的有理分式 , * , Kaaa 双射保持 中元不动l 可以知
13、道l K中具有性质 的所有双射成一个群，K的伽罗华群（ 的伽罗华群），它是 的子群 .pp 0 0 .pp 12121212, , .nnnn 说明若为根，则 () ()()也为根 .故 () ()()是的一个排列11S* p x定理l 相应的伽罗华群是可解群l伽罗华理论是伽罗华21岁时提出的，论文寄给当时一流的数学家庞加莱，他没有看懂，丢在一边 4050年后，才被发现创立了群的理论，创立了近代的代数学 ( )0p x 可根式求解四三等分角与数域的扩充l三等分角、倍方问题和化圆为方的问题被称为古希腊的三大几何作图问题l几何的可作图问题被化为代数域的扩充问题来解决这方面的知识是近世代数的内容，但
14、其中的内容经初等知识处理后，成为高中新课程中的选修课l平分已知角，可用尺规作图（尺子不带刻度）l三等分角，尺规来做，两千年都没能做出来，代数方法证明了尺规三等分角是不可能的l若想谈论尺规作图不能问题，要把含直观因素的尺规作图概念进行公理化（数学模型），用代数方法解决问题l尺规作图是从已知一些初等几何图形，一些线段，一些点，而求出一些初等几何图形，线段，点等 即，已知平面上的一些点，要求尺规作出另一些点来l取定某线段为单位长的坐标系，平面上的点可以用 表示这样，尺规作图问题是：已知一些实数 ，要求用尺规作图作另一些数l尺规可以作出的是：1.若干线段之和；2.两线段之差；3.已知三线段a，b，c，
15、可作出x，使 ；4.已知二线段a ，b ，作y ，使 , a b 121,.na aa12,. .nb bb:a bc x:a yy b 1211212121212 1 1,0,. ,nnnnnntaaaaaaaaba aaba aaba aabbb 也就是：如果已知正实数 ， ， ， ， ，我们可以用尺规作图作出它们的和、差、积、商和开平方，有理数都可以尺规作图.再讨论下去：已知一些实数， ， ， ，可用尺规作图作出， ， ，中的实数，以及，可作出再一直下去，可作出的实数为，其中 121112120, ., iinintbba aabba aabbb，形为中的实数就是所有可以用尺规作图的实数
16、 .尺规作图问题的数学模型，公理化 .：设 是已知角，求 使3 三等分角问题 33331212coscos34cos3coscos43cos0601430(cos2021 43 2cos20,ntxxxxxxa aabbb 三角公式：，故为的根，令 即：为其根）容易检验它无有理根，在 上不可约 .能否由做出呢？答案是不能 1231 cos20:3cos20:23|tttbbbbbb的.因，不能含于中，因为，而2 .t333,2.2 uuuu：已知 ，求量使已知体积 的正立方体，求体积的正立方体倍立方问题333333( ) 2201( ). 22 :32 uuxuuux这些已知中的点，满足，取，
17、此时是 中不可约的.，故不能由尺规作出 . .RR：已知 及半径 ，求作化圆为方 12,1.: tRRRbbb 已知求作，取看此时 故 ，故不可能 .故化圆为方是不可能尺规作图的 .正十七边形可以尺规作图12111222311171710171722cossinGauss , .172. smmmmmnnnsssiimmsixmmiab immFFdFFdFFdFdFabFnnab 分圆多项式：时，其根在单位圆上是正边形的顶点是 次本原根，证明了，必有扩域链 ，其中，而当时，这些因而实数，可以圆规直尺作出.故正十七边形可以圆规直尺作出.五矩阵工具的应用，向量空间中的基本方法 线性变换的具体实现
18、是矩阵对坐标的变换 中学中的线性变换：平面解析几何中平面上的旋转，关于某条直线的翻转、变换等平面上点 点 经过 变换后的象的点线性变换都是这些的:aaAbb ab 矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影，“线性”的直观含义：线性（矩阵）变换把平面上的直线变成直线 中学里的很多问题可以归结到线性变换，你能发现这些问题吗？用矩阵的方法来解决这些问题矩阵也是向量空间理论的基本工具向量空间是 的抽象推广，它不仅是几何空间的推广，而且还为整个数学建立了发展的空间，其抽象的模型无处不在架构：公理化定义向量空间23、 坐标： 基底：1nxx1,n11,nnxx11,nnA11nnxyA
19、xy基底间的转换：坐标间的转换：线性代数的所有问题都可归纳为向量空间理论 解线性方程组 AX=b 解释为求 b 在变换 下的原象 二次型 是 中的几何图形的方程， 维数、秩，其中的相必然的联系1( ,)nf xxnFA向量空间欧氏空间度量空间定义内积几何度量几何空间抽象的几何空间，拓扑，泛函分析六同构思想与映射反演方法:, , ,AABBCC, , ,aabbcc比较两个数学对象的方法最简单的是两个三角形的全等：怎么比较，对应顶点，对应边，先建立对应、映射, , ,AABBCC , ,.AbcBcaCab aBC bCA cAB记CABCBA则三角形全等的形式化为： .ABCA B Cbcbc
20、ABABcacaBCBCababCACA 映射 双射 使 且 向量空间V与W同构的定义： , .FFVWVWkk 存在一个从到的双射使, 环R与环 R 同构的定义： : .RRRRabababab双射使+, 例： 上定义加法“ ”、数乘“ ”* ,* .kaba bk aa 则 是一个向量空间，且是 上一维的向量空间 , 11,:, ,1 ,:, log1,0 ,*, asababkkkaaasssxx ssabsssabkassaka于是则故为到的同构映射 . 请同学们深刻理解此题，对数的运算法则，对数的公式都会在这个映射里 由于映射和一一映射的概念的建立，开辟了数学中不同分支，不同领域相互
21、联系、相互沟通的渠道，这正是数学高度统一性的表现 映射同构及映出来的数学对象在整体上的联系，就是解决数学问题中的“关系、映射、反演方法” *11* XSSSSXxxx*要点：目标原象 在结构系统 中，将 映射 映入另一关系结构，从 中可以确定出数学方法将确定出来，进而通过反演 ，再把确定出来 . 原象关系结构映射 映象关系结构*SS 目标原象X1反演 目标映象*X0,0,0, , abcabbccaabca b c例：若求证都为正数 .解法：0000,0,0abcabbccaabcabcS ？abcpabbccaqabcr 令*S32( )f xxpxqxr0,0,0abcX , , a b
22、cf xf x为的根，可以证的根为正 .*X1, ,( )a b cf x为的根数形结合的解释（几何的）形 L V nMFAFVnF1nnxxx 1nnxxAx（代数的）数 :nnnnVFVFL VMFL VMF同构映射12,n 七数学结构l 研究数学无非是考察对象的运算关系，次序关系和相互间的位置关系，称这些关系是数学结构l 现代数学中的基本结构：代数结构，序结构，和拓扑结构l 代数结构：群，环，域，模，向量空间，度量空间l序结构l偏序定义：非空集合S，关系 ，称为S上偏序，若满足：（1） （自反性）；（2） （对称性）；（3） （传递性）, aS aa , , a bS ab baab,
23、, , a b cS ab bcacl对于 为a，b在 下的最小上界， 为a，b在 下的最大下界.（1）自然数按数大小排成的序：中学中出现的序. 数列的极限按此序定义.（2）实数的序（按大小顺序）, a bS ababl 复数在中学中没有定义序，但也可以定义偏序（字典序）：, , ,.ababicdiacbdac bd或且或l 广义的拓扑中定义极限必须先有序（3）整数集中的偏序 ，定义则 为 上偏序. 其意义在于这样， 便是 上两个运算符号., | ,a baba b, ,aba baba b, （4）集合X的子集合全体 上定义 ：则 为 上偏序，XP .ABABXP, .ABAB ABAB（
24、5）群G的子群的全体 ，定义 ：则 为 上的偏序， GS ABAB为 的子群 . GS, .ABABABAB（6） 多项式全体则 是是l 中学数学中也有很多序结构，证明不等式当然是研究序结构. F x ,f xg xf x g x f xg x , f xg xf xg x , .f xg x毕业论文选题的类型（1）中学数学问题（2）中学数学问题（3）数学建模问题（实际问题解决）中学理论问题（包括教学问题）中学初等问题的延伸研究创新性问题研究（有大学教学知识背景的问题深入研究）本科课程中某一理论的总结性研究课本内容中或超出课本的问题研究用课本知识解决某一创新性问题毕业论文选题的类型l 中学数学
25、问题 中学理论问题（包括教学问题） 中学初等问题的延伸研究 创新性问题研究（有大学数学知识背景 的问题深入研究）l 大学数学问题 本科课程中某一理论的总结性研究 课本内容中或超出课本的问题研究 用课本知识解决某一创新性问题l 数学建模问题（实际问题解决）毕业论文参考选题（代数类）l 中学数学中的问题（1）平面几何和立体几何的公理体系（教材中公理体系的处理、讨论）（2）尺规作图问题的研究 在数学模型下研究 1212,mna aaddd（3）用矩阵作工具研究平面几何中的变换（4）用矩阵作工具研究立体几何中的刚体运动（5）用同构映射的思想总结研究中学数学中的“转移、反演”问题 如：平面几何中的定理与
26、立体几何中的定理的对偶关系（6）数形结合思想的研究（7）在高等代数、近世代数背景下中学数学中创新性问题的研究 , nFnVFL VMFl 高等代数中的问题（1）用线性方程组的理论讨论空间 中多条直线和多张平面的位置关系3（2）研究矩阵的问题 秩与维数的问题 矩阵方程的可解性 矩阵的广义逆（半群意义上） 矩阵技巧研究（3）向量空间中维数公式的推广研究（4）高等代数中可以公理化的定义研究121212dimdimdimdimVVVVVV1234 dim VVVV（5）高等代数中的反例研究 （定理的逆定理不成立的反例，有些结论不成立的反例）（6）在特殊数域 上的向量空间（欧氏空间）研究（特殊性质）p（
27、7）欧氏空间上几何度量研究 n维多面体的体积（定义、计算） 线性流形的几何度量（定义、计算）（8）特殊的欧氏空间（Hilbert 空间、可积函数空间）中的几何度量研究（9）n维空间中曲面的简化（10）立体空间 中刚体运动（变换）的分类（11）向量空间线性变换的有理标准型（12）线性变换的对角化（13）线性函数的研究3l 近世代数中的问题研究（1）方程根式可解问题（2） 中的问题，因式分解，求根，最大公因式，最小公倍式（特殊方法研究）（3）环中同余的研究（同态）（4）数系的研究（延伸到四元数，代数数） px（5）用向量空间的方法研究交换群（6）对称图形用对称群的方法的研究（7）群的方法研究初等数论中的原根、指标、k次剩余12kppp 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The End谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
