1、复变函数与积分变化复变函数与积分变化 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域1.3 1.3 复变函数复变函数1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性 1.1 1.1 复数及其运算复数及其运算一、复数的概念一、复数的概念iy x z 1、产生背景的数称为复数，其中为虚数单位，iyxz1iyx,),Re( zx )Im(zy z2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。二、复数的表示法二、复数的表示法1 1、( (复平面上的复平面上的) )点表示点表示 -用坐标平面上的
2、点用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。yx),(yxMxy( 2 )zxiy复 数与 点 （ x , y ） 构 成一 一 对 应 关 系 ， 复 数 z = x + i y由 （ x , y ） 唯 一 确 定 。2 2、( (复平面上的复平面上的) )向量表示向量表示-OMyxMiyxz),(点22|yxrz|zrOM（1）模 的长度 ，记为 ，则（2）辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性)0zoxOM( )cos ,sinArg zxryr记，则辐角主值辐角主值: :a()arg ()rgzz满 足的辐 角 值 （ 仅 有 一 个 ） ，记 作
3、 a r g ( z ) . 即 ： -), 2, 1, 0k(k2)zarg()z(Arg0z时，无意义的辐角不确定，：)0(0Argz 其中主值)arg(z的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示）式或借助复数向量表示.3 3、三角（或极坐标）表示三角（或极坐标）表示-)sin(cosiriyxz,|22yxzrxyarctan,cosrx sinry 由由得得4izre、 指 数 表 示 sinicosei欧拉公式5、代数表示- iyxz 复数的各种表示可相互转换，复数的各种表示可相互转换，在不同的运算中可选择不同在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。表示式进行运算。三、
4、复数的运算三、复数的运算1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式,iyxzzxiy。3、共轭复数及运算性质zzyxoyyx四、复数的四、复数的n n次方根次方根1(cossin),22(cossin)(0,1,1)nnzrikkwzrinnkn若则wnr0k的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周n0w称为主值。答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小
5、，其大小关系应与实数中大小关系保持假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0 0和和i i加以讨论：加以讨论：1 1、复数能否比较大小，为什么？、复数能否比较大小，为什么？0,0,010,iii ii设则得显 然 矛 盾注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小可比较大小。i2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。 加减和数乘运算相同，乘
6、积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。典型例题典型例题例例1 1、判断下列命题是否正确？、判断下列命题是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57Im(ii（ ）（ ）（ ）例例2 2、求下列复数的模与辐角、求下列复数的模与辐角（1） （2） （3） （4） i 3i231iii25104ni231解（解（1 1）22(3)( 1)2,15arg( )arctan63zz （1）22321131313z32arctan)arg(z,132133)23)
7、(23(23231iiiii （2 2）,3144102510iiiiiii,103) 1(|22z3arctan)arg(z（3）,1|z,23)arg(knz(23nkk满足的 ）313cossin233niinnei313arg( )arctan 3)23iiez(模为1,(4)例例3 3、求满足下列条件的复数、求满足下列条件的复数z z：（1）（3）izz2|,3)2arg(z（2） 且且3,zai2|2|z65)2arg(zzxiy解：（1） 设：则222xiyxyi22321.4xxyyxi3由，得,故z=42(2)3,23212zaizaia 则a 的值为(- 3, 3)内任一实
8、数,故满足条件的z有无穷多个.11113(3)2cossin3322zrirr i设22255312cossin6622zrirr i 11221331222222zrrirr i则0123zzz123zzz例例4 4 求方程求方程的根。并将的根。并将分解因式。分解因式。1)1)(1(423zzzzz解 ，101z 0而的根为z014z则的其余三个根即为所求014z420sin420cos14kikz得由iizk23sin23cos,33时0sin0cos1i10sin0cos,00izk时iizk2sin2cos,11时1sincos,22izk时3210, 1,zzzii根为321()(1
9、)()zzzzizzi 且1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程一、复平面上的曲线方程0),(yxF)()(tyytxx平面曲线有直角坐标方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程和参数方程两种形式。两种形式。i 2zzy ,2zzx0),(yxF由代入知曲线C的方程可改写成复数形式0)2,2(izzzzFiyxz)()()(tiytxtz)(tzz若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式 。1( )( )( ) ()( ), ( )( )z tx tiy tatbx ty ttz t 、连续曲线设，其中是实变量 的连续函数，则表示复平面上的连续曲线C。二、
10、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线222 , ( )( )0( )( )( )ta bx ty tz tz az bC 、光滑曲线若对，有，则称为光滑曲线。称和为曲线 的起点和终点。12121213,( )( )( )atb atbttz tz tz tC、若对，当而有时，点称为曲线 的重点。没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jardan）曲线。（识别曲线的类型教材P9）三、区域三、区域 1、去心邻域)(0zN3、区域及分类2、内点与开集区域连通的开集。有有洞洞或或有有瑕瑕点点多多连连通通域域无无瑕瑕点点无无洞洞单单连连通通域域、属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而
11、收缩成一点。覆覆盖盖不不可可被被半半径径有有限限的的圆圆域域无无界界域域盖盖可可被被半半径径有有限限的的圆圆域域覆覆有有界界域域注：注：闭区域闭区域的的边边界界区区域域DDD，它不是区域。，它不是区域。任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为交的点集：有界区域称为 C C的内部；无界区域，的内部；无界区域，称为称为 C C的外部；的外部； C C，称为内部与外部的边界。，称为内部与外部的边界。 （典型例题见教材（典型例题见教材8P例例1.2.1 ，例，例1.2.2）1.3 1.3 复变函数复变函数一、复变函数的概念一、复变函数的
12、概念1、定义、定义)(zfw 对于集合对于集合G中给定的中给定的 iyxz，总有一个（或几个）确定的复数，总有一个（或几个）确定的复数 ivuw与之对应，并称与之对应，并称G为定义集合，而为定义集合，而GzzfwwG),(|*称为函数值集合称为函数值集合(值域值域).多多值值函函数数单单值值函函数数分类分类2、复变函数、复变函数 )(zfw 与实函数的关系与实函数的关系 ),(),()(),(),(yxvvyxuuzfwvuyxwzff讨论一个复变函数 )z(fw 研究两个实二元函数 ),(),(yxvyxuu3 3、复变函数的单值性讨论、复变函数的单值性讨论( , ), ( , )u x y
13、 v x y对应的两个实二元函数的单值性讨论。教材教材P12 （例（例1.3.2)1.3.2)0(1zzw是否为单值函数是否为单值函数 iyxyyxxyxiyxiyxzivuw22222211令令 ,iyxz,ivuw则 2222,yxyvyxxu均为单值的实二元函数 )0(1zzw是单值函数。 故 13Pzw 2教材 (例1.3.3）是单值函数吗？2222()2,wuivuvuvizxiy方法一：由得yuvxvu222，均为多值的实二元函数2,xyuywz对 给 定， 存 在 两 组与 之 对 应 ，故是 多 值 函 数13P方法二、 见教材二、映射二、映射复变函数的几何图形表示复变函数的几
14、何图形表示( )yf xxy实自变量 与因变量 都在同一个平面内。其几何描述，函数图形为曲线。( )( , )( , )wf zzx yzwu v复自变量的几何描述在 平面内，因变量的几何描述需在另一个平面（w平面）内。 函数函数在几何上可以看着是把在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点平面上的一个点集集 G （定义域）（定义域）变到变到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集 G *（值域）的一个映射（或映照）。（值域）的一个映射（或映照）。;GG*映映象象象象原原象象的的象象叫叫的的象象叫叫GGzw*( )wf z注：单值函数的反函数存在且为单值函数。*G与 G 中的点为一一对应映射为双射
15、映射为双射典典 型型 例例 题题2zw例例1、求、求 z 平面上的下列图形在映射平面上的下列图形在映射下的象。下的象。 ,zr 0 1；4 ,40 220r ,Cyx122 3；22Cxy ,x 4.y解解 (1) (1) xyvyxuzw2,222)arg(2)arg(,|2zwzw乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理uv4i图a420 )(，rrezewii,22, 40 映为虚轴上从点虚轴上从点0到到4i的一段（见图的一段（见图a ）。）。 (1)记记 ，则，则即即w平面内平面内0,0240,042r （2）同理知，z平面上，映为w平面上扇形域（见图b），即4图bvu4i（3）见教材）见
16、教材14P例例1.3.4（3）映为xvu,（4 4） 将直线将直线建立建立所满足的象曲线方程所满足的象曲线方程yv ,yu222y，消，消 ，)(4222uv是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图点，开口向左的抛物线（见图c1)c1)vu图图c12)(4222uv其是以原点为焦点，其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图开口向右的抛物线（见图c2c2）。）。 y22,2uxvx 将将 线线映为映为，消，消 x 得得229xy（ 1）22(1)1xy（2）zw1例例2 2、 求下列曲线在映射求下列曲线在映射下的象下的象解法一解法一（1 1）2222,1yxyvyxxuzw 消 x,
17、y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程9112222yxvu22111vuivuivuiyxwzzw（2）2222vuvyvuux211) 1()(222222vvuvvuu代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。解法二解法二)3|(9zzz或wz,wzzw111229xy（1）将化为911ww代入原象方程得代入原象方程得 91ww1|3w （ 或）9122vu化为实方程形式化为实方程形式 （2 2）留作练习。）留作练习。2222113( )(1)(1) f zxiyxyxyz例将函数改写
18、成关于 的解析式.zzzfzziyzzx1)( )(21, )(21 )(代入得将共轭法解法一22()( )111( )()()f zxiyf zxiyxiyzzzxyz zz解法二拼凑法将的表达式凑成的因式.2()0( ) ( )111 ( )(1)( )yfxzxfzfxxxfzzxxz解 法 三设 零 法令得的 表 达 式 .再 以代 换得注：象曲方程与原象曲线方程的表示多采用一致形式，即要么均为实方程形式,要么均为复数方程的形式.复复变变函函数数的的极极限限一一、 1.4 1.4 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性定义、1000lim( )()(), ( ) lim( )zz
19、zzf zAzzf zAf z 形式与一元实函数的极限一致,记理解与二元 多元 实函数的极限一致 几何描述对任何的方式路径,趋近于同一个确定的复数掌握判别不存在的方法2 、存在判别法转化为实函数极限存在性判别00000160000000(1.4.1 ) ( )( ,)( ,), ,lim( ) lim( ,), lim( ,)zzxxxxyyyyPfzu x yiv x yAuivzxiyfzAu x yuv x yv见 教 材定 理设则3 、四则运算法则类似一元实函数的极限00001(1)()(2 ) lim()(3) lim()()zzzzfzfzfzfz、 定 义 存 在 ；存 在 ；两
20、 值 相 等 ，即0002 ()(,)(,)(,)fzzu x yv x yxy、 存 在 判 别 法 -转 化 为 实 函 数 的 连 续 性在点 连 续实 、 虚 部 函 数、均 在 点处 连 续 。复复变变函函数数的的连连续续性性二二、1731.4.4PTh、 四 则 运 算 性 质 及 复 合 函 数 的 连 续 性 。 见 教 材 4 D、有界闭区域 上连续函数的最大小模存在定理。20 16arg( )P Tz三、举例例（见教材） 试证在原点和负实轴上不连续。000000zzarg(0),arg( )0limarg( ),limarg( )limarg(z),arg( )zzzzwz
21、zzzyzzzyzzz 证明无意义在点不连续；对负实轴上任一点当沿平行于 轴正向趋于 时,而当沿平行于 轴负向趋于 时不存在函数在负实轴上不连续。本章难点与重点本章难点与重点复杂函数的几何描述映射；难点复杂函数的极限概念理解。(-( )()arg z复数的辐角主值范围及其确定；重点复数代数形式、三角式及指数式的互化；确定原象在映射下的象 或象曲线方程 。注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。 在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是看作是
22、z z平面上集合平面上集合G G与与w w平面上集合平面上集合G G* *之间的一种对应。之间的一种对应。121zz2思考题：、如何理解两个复数 与 乘积与商的辐角形式？、函数、映射和变换是否为同一个概念？第二章第二章 解析函数解析函数2.1 解析函数的概念2.2 函数解析的充要条件2.3 初等函数2.1 解析函数的概念一一. .复变函数的导数复变函数的导数1.1.导数定义导数定义形式上与一元实函数相同形式上与一元实函数相同( (见教材见教材P21)P21)；2.2.求导举例求导举例关键是复变函数的理解、掌握和计算；关键是复变函数的理解、掌握和计算；3.3.求导法则求导法则类似一元函数类似一元
23、函数( (见见P22)P22)；4.4.可导与连续的关系可导与连续的关系可导可导 连续。连续。可微 可导 连续 有定义极限存在 二二. .复变函数的微分复变函数的微分1 1、定义、定义2 2、微分与导数的区别与联系、微分与导数的区别与联系“同生死，共存亡同生死，共存亡”。1( )( )f zDDf zD23、定义（见教材P ） 若在区域 内每一点都解析时，简称它在区域 内解析或称是 的一个解析函数（全纯函数或正则函数）3、函数解析与可导的关系 区别概念不同 联系解析点必是可导点，反之不然。 2( )f z、奇点的非解析点( )Df zD区域 内的等价性当在某区域 内处处可导时，可导解析。四、求
24、导举例四、求导举例 00()( )Im()Im( )( )limlimzzf zzf zzzzfzzz 00limlimzzyyyyzxi y 解解当当 时，时，0(0,0)zxy 0lim0zyx i y 1( )Im( )f zz例讨论函数的可导性 不存在，即处处不可导。0limzyxi y 01lim0zyx i yi 当当 时，时，0(0,0)zxy 例例2 2 判断下列命题正确性判断下列命题正确性(1)若函数在某点不可导，则该点必为函数的奇点。 ( )(2)若点为函数的奇点，则点必为函数的不可导点。 ( )(3)函数在某点不解析是在该点不可导的充分条件。 ( )五、解析函数的运算性质
25、五、解析函数的运算性质 解析函数的、解析函数的、及复合函数及复合函数仍为解析函数。仍为解析函数。函数解析的充要条件22 . 一、问题的解决思路分析解析函数所具备的特征，再推证具备此特征的函数是否解析可微在点点可导在解析在点0000 z)z(fwz)z(fz)z(f)0)()()( )()(000zzzzzfzfzzfw1212211221()() ()()()u i va ibx i yix i ya x b yxy i b x a yxyu a x b yxyv b x a yxy 复数相等条件则令,i)z(,viuw,yixz,iba)z(f21012122212222212| |()()
26、| |()()()() |xyxyzxyxyxyxy又121212210()0 0 ,00 ,0()| zzixyxyxyz 当时,等价于时,故同理是比更高阶的无穷小.处可微且在该点处有在点和式等价于义知由二元实函数微分的定),(),(),(00yxyxvyxu，,xyyxuvauvb()fzuiv此 即 为 函 数在 点 可 导 的必 要 条 件 （ 也 是 点 解 析 的 必 要 条 件 ） 方程方程 称为称为 柯西柯西黎曼黎曼( (CauchyCauchyRiemanRiemann)n)方程方程( (简称简称C C- -R R方程方程) ) ,uvuvxyyx 反之，我们自然要问是否满足
27、以上条件的反之，我们自然要问是否满足以上条件的函数必在点可导呢？函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充事实上，该条件也是充分的，于是有分的，于是有-000000000(,)(,)(,)(,)()|xyxyxyxyuvuufziixxxy00002.2.1*( )( , )( , )( , )( , )f zu x yiv x yzu x yv x yzxiyCR定理函数在点 可导二元函数和在点处处可导且满足方程。且此时： ,xyyxuvuv 250Pzz证明：必要性前面已经证明，下证充分性（将证明中的 换 即可）。000( ,)( ,)u x yv x yzxiy由和在可 微 可 知1234
28、00,lim0(1,2,3,4)kxyuuuxyxyxyvvvxyxyxyk 0013242()()()()()(),f zzf zui vuvuvixiyixiyxxyyCRuvvvuiyxxyx 因此根据方程001324001324 ()() ()()()()()()()()f zzf zuvixi yixiyxxf zzf zuvxyiiizxxzz 所以0()xxyyxyyxfzuivviuuiuviv000001 ,1,()( ) ( )lim( )zxyzzzf zzf zuvf zizxxf zz 故当 趋于零时，上式右端的最后两项都趋于零。于是即在 点可导，此时：35 ( )D
29、z,DC-R( )z.(2.2.1)f zu vf zDP注：在 内任一点 可导在 内任一点可微且方程成立在 内任一点 解析见教材定理二、举例-两种判别法(定义法，C R条件判可导） 3( )R e( )0 (0).fzzzzf例试 证 明 函 数仅 在 点可 导 ？并 求22( )(),( , ),( , ),2 ,0,.xyxyf zxiy xxxyiu x yxv x yxy uxuvyvx证因为即00( )Re( )0 (0)(0,0)(0,0)0 xxuvCRxyzf zzzzfuiv显然 ， 处处可微，而方程仅在即处成立,所以仅在点可导，且有事实上，该题也可用导数的定义求证，留给读
30、者练习12124 ( )(,)(,)D( )0.(,)(,)(,)(,)fzu x yiv x yfzu x ycv x ycccu x yv x yD例设 函 数在 区 域内 处 处 解 析 且试 证 ：曲 线 族与 曲 线 族正 交 ， 其 中和分 别 为和在内 某 点 处 的 函 数 值 。000000121(,)2(,)(,)( , )( , ) ,yyxxxyxyyyuvxyu x ycv x ycuvkkuv 如果和 在点处都不为零,则由隐函数的微分法知,曲线和在该点处的切线斜率分别为( )0, xxyyyyDfzuivviuuvD证由于在 内因此和 在 内任一点不同时为零1200
31、(),( ,)yyxyyxuvC Ruvuvkkx y如果 或 有一个为零的情形另一个必不为零由条件且可知,其切线斜率和 分别为零和无穷大,这说明上述两条曲线在点处也正交.。)y,x(，。kkRC处正交这两条曲线在点因此条件得由函数解析的00211。).(cxy,cyx,z)z(f，z，xyiyxz)z(f231202 0 22122222见图必相互正交所以曲线族时当例如。z，)y, x(iv)y, x(u)z(f表表示示量量试试证证它它一一定定能能单单独独用用变变为为解解析析函函数数设设函函数数例例 511(),()( )( , )( , ),22( )( )xz z yz zf zu x
32、yiv x yif zz zf zz证如果把代入那么可看作是两个变量与的函数,要证明仅依赖于。只需证明1 ()()()22fuxuyxyuiuizxzyzxzyzxyxy( )0,ff zz因为为解析函数，故由柯西 黎曼方程知此即为柯西 黎曼方程的一种复数形式。2).4(;)(arg).3()(Re).2(;0)().1 ()(),(),()(. 6vuzfzfzf。zf，Dyxivyxuzf：为常数为常数是常数则一且满足下列条件之内解析在区域如果证明例(1) ( )00,0,( )uuvvfzxyxyu vfz证 明 ： 由 导 数 表 达 式 知 所 以为 常 数 。 故为 常 数12(2
33、) Re ( )0( )0 ,(),( ) uuf zucxyf zCRvvvcf zyx为常数，即解析，方程成立故常数 即为常数。Czfkzf，zf)(,)(arg)()3(证且解析已知( )( , )( , ), 0,0 xyxyf zu x yiv x yu vuuvv需证中的均为常数即证( ),tan,tanxyyxxyyxf zuvuvvuukuuk 又解析， 故消222tan,(1 tan)00 (1 tan1)xxxxuukkuukk为实数，C)z(f,vvuyxy即即，代代入入，得得00kuvkuvkuvkuvzfyyxxtan,tantanarctan)(arg由yvvyux
34、vxvvxuyvRCyxvu2,2)4(2条件得求偏导数并由和两端分别对。zf，uyuxu，vxvyvyvv为常数故也为常数即从而是常数)(, 0000)41 (2 227( )()(4) ( ,)( ,).f zuivzuvxyxxyyu x yv x y例若是 的解析函数，而且，试求与2222x22 (, , , ()(4) 4()(24) 4()(42)xyxyxyyu vu vuuvvuvxyxxyyuvxxyyxyxyuvxxyyxyxy 解分析) 欲求需再列出的另一个方程或先求，再积分而得。22,6,33xyyxxyuvuvuxy uxy 又联立得2222 3( )3( )33yu
35、x yyuxyxy故由得2323 ( )3, ( )3yyyyCux yyC 故Cxxyv323 同同理理可可得得CCC21由已知等式可知： 331233.0, yzxf xCiCixCixf zCiz化归技巧令则故 2323121.33f zf zx yyCixyxC注：若求则2.( )f zz解析函数可化为单独变量 表示如何验证这一结论?11,uvvuzwrrrr证明柯西黎曼方程的极坐标形式是平面取极坐标, 平面取直角坐标 。拓展练习拓展练习cos,sin,( , ),( , )xryruu x yvv x yCR解 设由复合函数的求导法则与直角坐标下条件可得yucosrxusinryyu
36、xxuuyusinxucosryyurxxuruxucosryusinryyvxxvvxusinyucosryyvrxxvrvurrv,vrru，、，、11得得三三式式第第二二四四式式比比较较第第一一？、？D，、：哪哪些些方方法法判判别别函函数数可可导导与与解解析析有有内内呢呢在在区区域域有有何何不不同同函函数数在在一一点点可可导导与与解解析析拓拓展展思思考考21初初等等函函数数32.指数函数一、yieyezfxxsincos)(1212( ),( )( ) , ( )()()xf xef xf xf xf xf xx)(sincos)sin()cos()(zfyieyeyexiyexzfxx
37、xx)()sin()cos()sinsinsincos(sinsincos)sincos)(sincos()()( 21212121212112211212121212121212211zzfyyieyyeyyeyyeiyyeyeyieyeyieyezfzfxxxxxxxxxxxxxxxxIm( )0( )xzzxf ze特别地,当即时1()cossin(cossin)( )xxxfzeyieyeyiyzE xponentialfunction、 定 义称 为的 指 数 函 数记 作( )(cossin)exp( )(cossin)zxxf zweeyiyzeyiy类似一元实函数，记指数函数为
38、或yiye，iyzxzekyeArgeeiyzzxzsincos0)Re(0,2)(,|变为欧拉公式时即当注性质.22(1),2zzk ieeTi周期性。与实指数函数的区别之一 221212121,eee,eeezzzzzzzz121 2122 ()()izzz zieeee但，未必成立，如limzzzee即 无乘幂的意义，且不存在，与实指数函数的区别之二3()zzdweedz（ ）解析性全平面处处解析且指数函数的反函数对数函数二、定义、1(0)()nln|arg( )2wez zwzLogarithmwL zzizk i称满足方程的 为复数 的对数函数记作推导的的分分支支主主值值对对数数02
39、k、lnlnlniz| z |iarg(z), Lnzz2k3ln()kzLnz、 解 析 性 及均 在除 去 原 点 和 负 实 轴 的 复 平 面 内 解 析1121 2122lnlnln , ln()lnln zzzz zzzz但未必成立运运算算性性质质、411 212122n()nn,n()nnzL z zL zL zLL zL zz计算举例2(1) |ze2222|2yxxyiyxee1(2) Re()ze2222()22Recosx iyxyx xyyeexy3k ie（）kkik)1(sincos) i 43( nL)4(4ln5(arctan)23iki(5) ln()ieln
40、 |arg( )12ieiiei (6) ln( )ieln |arg()iieiei幂幂函函数数三三、定定义义、1为为定定义义幂幂函函数数及及对对任任意意复复数数zw，z 000zz仅在 为正实数的情形,补充规定:当时有)ik2)zarg(i| z | n l(znLeezw多多值值性性讨讨论论、2是单值函数为正整数时当nz，zn) 1 (也是单值函数时当nz，zn1)2(时时，为为互互质质的的整整数数，和和当当)nnm(nm)(04个分支多值n(ln2)(5)()(0,)zkizezk当为无理数或虚数 非实复数 时，为整数无穷多个多值 arg( ) 2/|mimzknnzzenkzinne
41、zz，zn2)arg(1|1)3(时当、解析性31()zzz 的各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析，且计算举例：吗？的任何次幂均为 113ln123cos(23)sin(23)kieekik1ln12(2)n22iik ikiL ieee31ii5 n( 3)5(ln32)53 cos 5(21)sin 5(21) Lik ieekik (1 )ln 2(2)ln 22(2ln 2)(1 ) n(1 )44424112cos(ln2)sin(ln2)4242iikkiki Likeeeei 5) 3(ii1)1 (三角函数和双曲函数四、cossin,cossinizizezizeziz将欧
42、拉公式推广到任意复数情形得定义.1sin, cos22izizizizeeeezzi性质.2等差角公式及和角的是的是零点奇偶性周期性1cossin)4()21(cos,sin)3()2(2) 1 (22zz、nzznzzT性性质质以以上上为为类类似似实实三三角角函函数数| sin| 1 , | cos| 1 zz还成立否？ 模的无界性)5(1|sin |1.17521,2eei未必:与实三角函数的重要区别!3.(sin )cos(cos )sinzzzz 解析性全平面处处解析且双曲函数的定义. 4shzchzthzc,chzshzthz)ee(chz,)ee(shzzzzzo2121双曲函数的
43、性质. 5处处处处解解析析shz)chz(,chz)shz()(1(2)zz2shchTi奇函数,偶函数，都是的周期函数1zshzchishz)izsin(,zsini)iz(shchz)izcos(,zcos)iz(ch)3(22多值函数数反三角函数与反双曲函五、计算举例3(1); (2) cos5zez试求下列函数的周期；2233112(6)3333(1)(2)6zziwiwzzizizeeTieeeeeei解又,故的周期为(2)cos(2)coscos(52)cos 522cos(52)cos 5()cos 555wwzzzzzT又故 21 sin 1 i ; 2 sinz求下列函数值2
44、1)1sin() 1 ()1()1(iiiieeii 1cos)(1sin)(21)1sin1(cos) 1sin1(cos2111eeieeieieixshyixchyeeieeizxiyxiyizizcossin)(21)(21sin) 2(2222222222222|sin |sincossin() (cossin)sinzxch yxsh yx ch y sh yxx sh yx sh y第3章 复变函数的积分3.1 复变函数积分的概念和性质3.2 柯西积分定理及其应用3.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 3.4 解析函数与调和函数的关系复习、引入baniiinx)(flimdx)
45、x(f11( ,)lim(,)niiiniDf x y df 1( , , )lim(,)niiiinif x y z dVfV 11( ,)( ,)lim(,)(,)nniiiiiiLniiP x y dxQ x y dyPxQy niiiiinSfdSzyxf1),(lim),(1( , )lim( ,)niiiLnif x y dsfs 3.1 复变函数积分的概念和性质 一、 定义-化整为零,取零为整0z 设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。0z 把曲线C用分点
46、分成n个更小的弧，在这里分点 在曲线C上,按从 到Z的次序排列的。0121,.,nzz zz),.,2 , 1 , 0(nkzknzz0z1z1kzkkzZzn1nzCCknkkndzzfzf)()(lim11如果 是 到 的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和 的取法都存在且相同),记 kkz1kzk1kkkzzz与实函数中第二型线积分类比与实函数中第二型线积分类比 xx ttyy tC C的参数方程的参数方程线积分线积分,ccF x yMx y iNx yjdrdxidyjF drMdxNdy ,Fx ty trt dt ,A xy,B xydxdycdrdz复积分复积分 ,cc
47、fzux yivx yzxiy dzdxidyfzdzuivdxidyccu d xvd yivd xu d y ,fx ty tzt dt一个复积分的实质是一个复积分的实质是两个实二型线积分两个实二型线积分二、积分存在的条件及其计算方法 1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。 tctfz dzfztztdt3)化为参变量的定积分来计算。 udyvdxivdyudxdzzfccc2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。例1 1 计算 其中 为以 为圆心， 为半径的正向圆周, , 为整数. .C,10cnzzdz0zrn2020201110derideriderir
48、ezzdzinninncninin0,02 ,iCzzre解： 的参数方程为102,0,0,0,nci ndznzz 因 此三、积分的性质 cck fz dzkfz dz（2） ;ccf z dzf z dz（1） ;cccfzg zdzfz dzg z dz（3） ccfz dzfz dsML（5）1212( )( )( )CCCCf z dzf z dzf z dz（4）例2 2 计算 的值，其中 为沿从（0 0，0 0）到（1 1，0 0）的线段与从（1 1，0 0）到（1 1，1 1）的线段所连结成的折线。 dzzcC解 :12ccczdzzdzzdz1100(1) (1)11()12
49、2xdxiy diyii C例3 计算 的值，其中 为沿 从（0，0）到（1，1）的线段： dzzc; 10 ,ttytx解解 : :; 1211010tdtdtiittdzzc,dzzc例4 4 计算 其中 为从原点到点 的直线段。Ci 43解 直线的方程可写成10 ,4,3ttytx1122002223 43 41113 43 4022czdzi tdtitdtiti 练习:对例4中的积分沿下列路径计算 (1) 当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线; (2) 当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢? 观察例观察例3 3、
50、例、例4 4两个线积分的结果，分析两种两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？被积函数的特征，你会得出怎样的结论？3.2 3.2 柯西积分定理及其应用回顾回顾 ccc , DD , CDxyxyfz dzudxvdyvdxudyu vvuuvfz当具有连续偏导时，两个对坐标的曲线积分在单连通域 内与路径无关（或沿单连通域 内的任意闭曲线为零）这恰是解析的必要条件。事实上，当 为单通域 内的曲线时，该条件也是充分的。一、一、 柯西积分定理柯西积分定理 有有是是简简单单的的）可可以以不不内内的的任任意意一一条条闭闭曲曲线线（沿沿则则内内处处处处解解析析，在在单单连连通通域域若
