1、13.1.1 轴对称第十三章 轴对称学习目标1.通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形.2.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.（重点）3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系，探索轴对称现象共同特征.（重点、难点）导入新课导入新课情境引入它们有什么共同的特点？讲授新课讲授新课轴对称和轴对称图形一 如果一个一个平面平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合互相重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线就是它的对称轴对称轴.轴对称图形对称轴am做一做下列哪些是属于轴对称图形？你能举出一些轴对称图形的例子吗？A B C D E F G H I J K L M
2、 N O P Q R S T U V W X Y Z游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.全班总动员A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z做一做：找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.想一想：下面的每对图形有什么共同特点？AABCBC对称轴对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说
3、这两个图形关于这条直线对称, ,这条直线就是它的对称轴对称轴.例 下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？BDCA典例精析知识要点比较归纳轴对称图形两个图形成轴对称图形区别联系一个图形具有的特殊形状两个全等图形的特殊的位置关系1.都是沿着某条直线折叠后能重合.2.可以互相转化.这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？观察与思考1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？2.动画（2）中的三角形是个什么图形？（1）（2）轴对称的性质二思考：如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN有什么关系？ABCABCNMAAMN，BBMN，CCMN.如图
4、，MNAA， AP=AP. 直线MN是线段AA 的垂直平分线.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识要点u线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.图形轴对称的性质 一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？请你自己找一些轴对称图形来检验吧！ 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.知识要点轴对称图形的性质ABA B MN如图，MN垂直平分AA , MN垂直平分BB .例1 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中BAD150，B40，则BCD的度数是()A130
5、 B150 C40 D65典例精析方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.A例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为()A4cm2B8cm2C12cm2D16cm2解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，正方形ABCD的边长为4cm，S阴影4228(cm2).故选B.B方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对称变换，将其转换为规则图形后再进行计算.当堂练习当堂练习1.观察下
6、列各种图形，判断是不是轴对称图形？ 2.找出下面每个轴对称图形的对称轴.3.找出下文中成轴对称的文字：一； 三； 个； 八； 十； 来； 苦； 天； 中. 一叶孤舟，坐着两三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟.十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中.4.如图，ABC与DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（）AABDF BB=E CAB=DE DAD的连线被MN垂直平分 A5.如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB的度数为_.106.（1）整个图形是轴对称图
7、形吗？对称轴是什么？ （2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？ （3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？拓展提升：8.如图，O为ABC内部一点，OB 3 ，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点(1)请指出当ABC是什么角度时，会使得PR的长 度等于6？并完整说明PR的长度为何在此时等于 6的理由解：如图，ABC90时，PR6.证明如下：连接PB、RB，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点，PBOB3，RBOB3.ABC90，ABPCBRABOCBOABC90，PBR180，即P、B、R三点共线，PRPB+RB3+3=6；(2)承(1)小题，请判断当ABC不是你指出的角
8、度时，PR的长度小于6还是大于6？并完整说 明你判断的理由解：PR的长度小于6，理由如下：ABC90，则点P、B、R三点不在同一直线上，PBBRPR.PBBR2OB236，PR6.课堂小结课堂小结轴对称轴 对 称轴对称图形定 义性质定 义性质轴 对 称 与轴对称图形联 系区 别线段的垂直平分线13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法(重点）2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题（难点）导入新课导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在
9、三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3探究发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B猜想：点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？已知：如图，
10、直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB证明：lAB， PCA =PCB又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PBPABlC验证结论例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析C解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长练
11、一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 32.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C .求作：AB的垂线，使它经过点C .作法：（1）任意取一点K，使点K和和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的
12、垂线.（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.12F（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？12DE（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？想一想：例3 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析：证明：点P在线段AB的垂直平分线MN上，PA=PB.同理 PB=PC.PA=PB=PC.结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你
13、能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？例4 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可得出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出ABBF，再结合（1）即可解答证明：(1)ADBC，ADCECF.E是CD的中点，DEEC.又AEDCEF，ADEFCE，FCAD.(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.BEAE，BE是线段AF的垂直平分线，ABBFBCCF.ADCF
14、，ABBCAD.线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB合作探究已知：如图，PA =PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C则PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中， PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又又 PCAB， 点P 在线段AB 的垂直平分线上PABC知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上u应用格式：PA =PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.这些点
15、能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.PABClu应用格式：AB =AC，MB =MC，直线AM 是线段BC 的垂直 平分线A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.例5 已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE. OE是CD的垂直平分线.又又OE=OE，RtO
16、EDRtOEC.DO=CO.例6 已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明 ： 点O在线段AB的垂直平分线上， OA=OB.同理OB=OC. OA=OC. 点O在AC的垂直平分线上.结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB ；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB A2.在锐角三角形ABC内一点P,，满
17、足PA=PB=PC,则点P是ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D4.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）. 3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABC
18、DE166.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.证明： AC =BC，AD=BD，点C和点D在线段AB的垂直平分线上， CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O， AO=BO.7.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系解：AD垂直平分EF.AD平分BAC，DEAB，DFAC，EADFAD，AEDAFD=90.又ADAD，ADEADF，AEAF，DEDF.A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.ABCDEF8.如图，在四边形ADBC中
19、，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.拓展提升：解：(1)AB、CD互相垂直平分， OCOD，AOOB， 且ACBCADBD； (2)OEOF，理由如下： 在AOC和AOD中， AC=AD，AOAO，OCOD， AOCAOD(SSS)， CAODAO. 又OEAC，OFAD， OEOF.课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线
20、段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第2课时 线段垂直平分线的有关作图学习目标1能用尺规作已知线段的垂直平分线(难点）2进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据3能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题（重点）导入新课导入新课情境引入 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB讲授新课讲授新课线段垂直平分线的画法一互动探究问题1：
21、有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ABCA B C 通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的.问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 尺规作图 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.ABCD作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.12（2）作直线CD. CD即为所求.特别说明：这个
22、作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.引例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站例1 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAPNPB.MNABl典例精析解：(1)如图所示：(2)在AM
23、P和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)，MAPNPB.MNABlP例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMAB方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：P作轴对称图形的对称轴二想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ AB作法：（1）找出五角星的一对对称点A
24、和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线l则l就是这个五角星的一条对称轴 l用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.例3 如图，ABC和ABC关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.ABCA B C l方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.解：延长BC、BC交于点P，延长AC，AC交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.PQ练一练：作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？1.
25、如图，在ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）AA的平分线 BAC边的中线 CBC边的高线 DAB边的垂直平分线 12D当堂练习当堂练习2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作ACP、BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求下列说法正确的是（）A甲、乙都正确 B甲、乙都错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确 D3.如图，与图形
26、A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴ABCD 4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.B BC C学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.A A6.如图，在43的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴拓展提升：课堂小结课堂小结线段的垂直平分线的有关作图尺规作图作对称轴的常 见 方 法属于基本作图之一
27、，必须熟熟练掌握(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线1.上课认真听讲，理解透彻这都是老师家长说烂了的东西，确实重要。与其他科目不同的是，数学强调知识与逻辑的迁移与转化。所以，对于数学知识根本不需要去死记硬背，能理解，会推导即可。如何学好初中数学？2.积极解决难题与错题在数学学习中，肯定会遇到我们毫无头绪或一知半解的题目。千万不要嫌麻烦，多向老师、同学请教，向老师请教也能给老师留下好印象。不要放过每道不会的题，要学会在问题中寻找知识。3.认真反思错题并不是简单的想想自己为什么错，留下没有思路、计算错误、逻辑不清的字眼，应该仔细分析思路结果与已知条
28、件的关系（敲重点！）对于几何辅助线（一个大难点吧），要建立起常规思路。比如说，已知中点有哪些可能性来应用，是用三线合一连接，是用斜中半连接，还是倍长中线延长，亦或是建立平行得中位线等等。从多条件的共同指向和所求问题联合思考。下一次怎么做？能得到什么启示？这是更重要的。4.坚持练习题目“练习”并不一定是“刷题”。有针对性、有效率地练习，才是最有效的。题最好坚持每天，或者两天一次做，抽一点点时间，坚持按一定频率做少量题，也是对你很有帮助的。做题并不是刻意地要去押到题或者短时间内突击提高，更多的是学习思路，打开思维。5.善于总结巧记跟3比较类似，总结其实就是从问题中找规律。此外，一些方法、技巧，在总结的基础上，可以通过编口诀（自己懂的语言就好）、调动想象与情感等方式来记忆。个人认为数学在理解的基础上记方法和技巧还是很重要的（方法其实与1类似）。同时技巧也是在不断尝试中习得的。
