1、第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系1.6 1.6 利用三角函数测高利用三角函数测高( (第第1 1课时课时) )两锐角的关系两锐角的关系: :两锐角互余两锐角互余(A+B=90(A+B=900 0).).三边的关系三边的关系: : 勾股定理勾股定理(a(a2 2+b+b2 2=c=c2 2).).bABCac互余两角互余两角之间的三角函数关系之间的三角函数关系: :sinAsinA= =cosB,tanAtanBcosB,tanAtanB=1.=1.特殊角特殊角30300 0,45,450 0,60,600 0角的三角函数值角的三角函数值. .直角三角形直角三角形边与角边与
2、角之间的关系之间的关系: :锐角三角函数锐角三角函数同角同角之间的三角函数关系之间的三角函数关系: :sinsin2 2A+cosA+cos2 2A=1.A=1.cossintanAAA,cossincaBA,sincoscbBA.tan1tanbaBA直角三角的边角关系直角三角的边角关系活动课题活动课题: :利用直角三角形的边角关系测量物体的利用直角三角形的边角关系测量物体的高度高度. .活动工具活动工具: :测倾器测倾器( (或经纬仪或经纬仪, ,测角仪等测角仪等) )、皮尺、皮尺等等测量工具测量工具. .活动方式活动方式: :分组活动分组活动, ,全班交流研讨全班交流研讨. .测量物体的
3、高度测量物体的高度活动一活动一: :测量倾斜角测量倾斜角. .测量倾斜角可以用测倾器测量倾斜角可以用测倾器, ,简单的测倾器由简单的测倾器由度盘度盘、铅铅垂和支杆组成垂和支杆组成( (如图如图).).度盘度盘铅垂铅垂支杆支杆0303060609090使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1 1、把、把支杆竖直支杆竖直插入地面，使插入地面，使支杆的支杆的中心线、铅垂中心线、铅垂线和度盘的线和度盘的0 0刻度线重合，这时度盘的顶线刻度线重合，这时度盘的顶线PQPQ在在水平位置。水平位置。PQ03030606090902 2、转动转盘，使度盘的直径对准目标、转动转盘，使度盘
4、的直径对准目标M M，记下此，记下此时铅垂线所指的度数。时铅垂线所指的度数。M3003030606090902 2、转动转盘，使度盘的直径对准目标、转动转盘，使度盘的直径对准目标M M，记下此，记下此时铅垂线所指的度数。时铅垂线所指的度数。根据测量数据根据测量数据, ,你能求出目标你能求出目标M M的仰角或俯角吗的仰角或俯角吗? ?说说说你的理由说你的理由. .M“同角的余角相等同角的余角相等”（测仰角），或（测仰角），或“对等角相对等角相等等”“”“同角的余角相等同角的余角相等”（测俯角）。（测俯角）。活动二活动二: :测量底部可以到达的物体的高度测量底部可以到达的物体的高度. .所谓所谓“
5、底部可以到达底部可以到达”, ,就是在地面上可以无障碍就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. .如图如图, ,要测量物体要测量物体MNMN的高度的高度, ,可以按下列步骤进行可以按下列步骤进行: :3.3.量出测倾器的高度量出测倾器的高度AC=a(AC=a(即顶线即顶线PQPQ水平位置时水平位置时它与地面的距离它与地面的距离).).1.1.在测点在测点A A处安置处安置测倾器测倾器, ,测得测得M M的的仰角仰角MCE=.MCE=.2.2.量出测点量出测点A A到到物体底部物体底部N N的水的水平距离平距离AN=l.AN=l.l在在
6、RtRtCEMCEM中，中， lMECEMEtanalNEMEMNtantanlME由题可得：由题可得：CE=AN=CE=AN=l l，NE=AC=NE=AC=a a 据测量数据据测量数据, ,你能求出物体你能求出物体MNMN的高度吗的高度吗? ?说说你的说说你的理由理由. .a活动三活动三: :测量底部不可以到达的物体的高度测量底部不可以到达的物体的高度. .所谓所谓“底部不可以到达底部不可以到达”, ,就是在地面上不能直接就是在地面上不能直接测得测点与被测测得测点与被测物体的底部物体的底部之间的距离之间的距离. .如图如图, ,要测量物体要测量物体MNMN的高度的高度, ,可以按下列步骤进
7、行可以按下列步骤进行: :1.1.在测点在测点A A处安置测倾器处安置测倾器, ,测测得此时得此时M M的仰角的仰角MCE=.MCE=.2.2.在测点在测点A A与物体之间的与物体之间的B B处安置测倾处安置测倾(A,B(A,B与与N N在一在一条直线条直线上，且上，且A,BA,B之间的距离可以直接测得之间的距离可以直接测得),),测测得得此时此时M M的仰角的仰角MDE=MDE=. .3.3.量出测倾器的高度量出测倾器的高度AC=BD=a,AC=BD=a,以及测点以及测点A,BA,B之间的之间的距离距离AB=b.AB=b.在在RtRtCEMCEM中，中， CEMEtantanMECE 在在R
8、tRtDEMDEM中，中， DEMEtantanMEDE 得：由bMEMEtantan.tantantantanbME.tantantantanabMN据测量数据据测量数据, ,你能求出物体你能求出物体MNMN的高度吗的高度吗? ?说说你的说说你的理由理由. .ab(1)(1)到目前为止到目前为止, ,你有哪些测量物体高度的方法你有哪些测量物体高度的方法? ?议一议议一议全等、相似、三角函数等。全等、相似、三角函数等。(2)(2)如果一个物体的高度已知或容易测量如果一个物体的高度已知或容易测量, ,那么如那么如何测量某测点到该物体的水平距离何测量某测点到该物体的水平距离. .议一议议一议.ta
9、n,ANMNAaMNANaACMCEM的水平距离到物体即可求出测点然后根据的高度以及测倾器的仰角如图为例，可以测出练习练习如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗经测量，得到大门的高度是一些彩旗经测量，得到大门的高度是m m，大门，大门距主楼的距离是距主楼的距离是30m30m，在大门处测得主楼顶部的仰，在大门处测得主楼顶部的仰角是角是3030，而当时侧倾器离地面，而当时侧倾器离地面1.4m,1.4m,求学校主楼求学校主楼的高度的高度。( (精确到精确到0.01m)0.01m)解：如图，作解：如图，作EMEM垂直垂直CDCD于于M M点点, ,
10、根据题意，可知根据题意，可知EB=1.4mEB=1.4m，DEM=30DEM=30,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m在在RtRtDEMDEM中，中，DM=EMtan30DM=EMtan3030300.577 0.577 =17.32(m)=17.32(m)CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m) CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m) M如图如图, ,在离铁塔在离铁塔150150米的米的A A处处, ,用测角仪测得塔用测角仪测得塔顶的仰角为顶的仰角为3030, ,已知测角仪高已知测角仪高AD=1.5AD=1
11、.5米米, ,求求铁塔高铁塔高BE.BE.)(5 . 1350m大楼大楼ADAD的高为的高为1010米米, ,远处有一塔远处有一塔BC,BC,某人在楼底某人在楼底A A处处测得塔顶测得塔顶B B处的仰角为处的仰角为6060, ,爬到楼顶爬到楼顶D D测得塔顶测得塔顶B B点仰角为点仰角为3030, ,求塔求塔BCBC的高度的高度. .15m.课题在平面上测量地王大厦的高AB测量示意图测得数据测量项目测量项目CDCD的长的长第一次第一次30300 01616 44440 03535 60.11m60.11m第二次第二次29290 04444 45450 02525 59.89m59.89m平均值
12、平均值下表是小亮所填实习报告的部分内容下表是小亮所填实习报告的部分内容: :C CE ED DF FA AG GB B2. 在在RtAEG中，中，EG=AG/tan30=1.732AG 在在RtAFG中，中，FG=AG/tan45=AG EG-FG=CD 1.732AG-AG=60 AG=600.73281.96 AB=AG+183(m)1.1.请根据小亮测得的数据请根据小亮测得的数据, ,填写表中的空格填写表中的空格; ;2.2.通过计算得，地王大厦的高为通过计算得，地王大厦的高为( (已知测倾器的高已知测倾器的高CE=DF=1m)_m (CE=DF=1m)_m (精确到精确到1m).1m)
13、.1. 30， 45， 60m答案：答案：河河对岸的高层建筑对岸的高层建筑ABAB，为测量其高，在，为测量其高，在C C处由处由D D点用点用测量仪测得顶端测量仪测得顶端A A的仰角为的仰角为3030，向高层建筑物前进，向高层建筑物前进50m50m到达到达C C 处，由处，由D D 测得顶端测得顶端A A的仰角为的仰角为4545，已知，已知测量仪测量仪CD=CCD=C D D =1.2m=1.2m，求建筑物，求建筑物AB=AB=的高（精确到的高（精确到0.10.1米）。米）。 ABCDC/D/EAB=68.3+1.2=69.5AB=68.3+1.2=69.5米。米。1 1 分组制作简单的测倾器
14、分组制作简单的测倾器. .2 2选择一个底部可以到达的物体选择一个底部可以到达的物体, ,测量它的高度并测量它的高度并撰写一份活动报告撰写一份活动报告, ,阐明活动课题阐明活动课题, ,测量示意图测量示意图, ,测测得数据和计算过程等得数据和计算过程等. .3.3.选择一个底部不可以到达的物体选择一个底部不可以到达的物体, ,测量它的高度测量它的高度并撰写一份活动报告并撰写一份活动报告, ,阐明活动课题阐明活动课题, ,测量示意图测量示意图, ,测得数据和计算过程等测得数据和计算过程等. .小结：小结：学完本课后你有哪些收获？学完本课后你有哪些收获？课外作业：课外作业： 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
