1、13.4课题学习最短路径问题复习回顾v如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？复习回顾v如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？复习回顾v如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。新知探究 问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，饮马，然后到然后到B 地到河边什
2、么地方饮马可使他所走的路地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？线全程最短？BAl新知探究v精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl新知探究追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl新知探究追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ BAlC如图，在直线如图，在直线l上找
3、一点上找一点C，使，使AC+BC最短。最短。新知探究问题问题转化 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是是直线上的一个动点，当点直线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？ BlA新知探究作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，A
4、C 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC新知探究追问追问3 3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC新知探究若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 BlABCC追问追问4 4证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 运用新知练习
5、如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥新课推进 问题问题2 如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）线，桥要与河垂直）BA新课推进BA 追问追问1 如图假定任选位如图假定
6、任选位置造桥，连接和，置造桥，连接和，从从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短那么怎样确定什么情况下最短呢？呢？ 追问追问2 利用线段公理解决问题我们遇到利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？了什么障碍呢？如何解决？新课推进BAA1MN解：如图，平移解：如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交交河岸于作桥，此时路河岸于作桥，此时路径最短径最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转转化为化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN归纳小结v在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
