1、第第2323章章4.4.相似三角形的应用相似三角形的应用情景导入情景导入 在阳光下，在同一时刻，物体的高度与在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长物体的影长就越长 在平行光线的照射下，不同物体的物高在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例与影长成比例 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界世界古代七大奇观之一古代七大奇观之一”。塔的个斜面正对东南西北四个方向，塔。塔的个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约基呈正方形，每边长约230
2、230多米多米。据考证，为建成大金字塔，共动据考证，为建成大金字塔，共动用了用了1010万人花了万人花了2020年时间年时间. .原高原高146.59146.59米，但由于经过几千年的风米，但由于经过几千年的风吹雨打吹雨打, ,顶端被风化吹蚀顶端被风化吹蚀. .所以高度有所降低所以高度有所降低 。 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度测量胡夫金字塔的高度. .在一个烈日高照的上在一个烈日高照的上午午. .他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下, ,他想考一考年仅他想考一考年仅1414岁的小穆罕穆德岁的小穆罕穆德.
3、 .给你一条给你一条1 1米高的米高的木杆木杆, ,一把皮尺一把皮尺, , 你能利用所学知你能利用所学知识来测出塔高吗识来测出塔高吗? ?1 1米木杆米木杆皮尺皮尺ACBDE给你给你, ,一把皮尺一把皮尺, ,一面平面镜一面平面镜. .你能你能利用所学知识来利用所学知识来测出塔高吗测出塔高吗? ?皮尺皮尺平面镜平面镜推进新课推进新课A AC CB BD DE E给你一条给你一条1 1米高的米高的木杆木杆, ,一把皮尺一把皮尺. .你能利用所学知你能利用所学知识来测出塔高吗识来测出塔高吗? ?1 1米木杆米木杆皮尺皮尺现在小穆罕穆德测得金字塔的的阴影现在小穆罕穆德测得金字塔的的阴影ACAC的长为
4、的长为3232米，米，他还同时测得小木棒他还同时测得小木棒0 0B B的影长是的影长是1 1米，在父亲的帮米，在父亲的帮助下，他还测得了金字塔底边助下，他还测得了金字塔底边CDCD的长度大约是的长度大约是230230米。米。你能不能帮助小穆罕穆德求出这你能不能帮助小穆罕穆德求出这座金字塔的高度？座金字塔的高度？CD 例例1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度，先竖一根已知长度的木棒的木棒O B ，比较棒子的影长，比较棒子的影长A B 与金字塔的影长与金字塔
5、的影长AB，即，即可近似算出金字塔的高度可近似算出金字塔的高度OB如果如果O B 1，A B 2，AB274，求金字塔的高度，求金字塔的高度OB.OOA(B)AB 13721274BABOAB答答:该金字塔高该金字塔高度度OB为为137米米 （米）（米）解解:太阳光是平行光线，太阳光是平行光线， OABOAB又又 ABOABO90 OABOAB，OB OBAB AB，OBOOA(B)AB物物1高高 ：物：物2高高 = 影影1长长 ：影：影2长长知识要点知识要点测高的方法测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，测量不能到达顶部的物体的高度，通常用通常用“在同一时刻物高与影长成正比在同一时刻物高
6、与影长成正比例例”的原理解决。的原理解决。 变式变式1.1.某同学想利用树影测量树高某同学想利用树影测量树高. .他在某一时刻他在某一时刻测得小树高为测得小树高为1.51.5米时，其影长为米时，其影长为1.21.2米，当他测量米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上有一部分影子在墙上. .经测量，地面部分影长为经测量，地面部分影长为6.46.4米，墙上影长为米，墙上影长为1.41.4米，那么这棵大树高多少米米，那么这棵大树高多少米? ?E ED D6.46.41.21.2？1.51.51.41.4A AB Bc c解
7、：作解：作DEAB于于E得得AE=8AB=8+1.4=9.4米米1.51.26.4AE物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分1.21.5甲拓展拓展: : 已知教学楼高为已知教学楼高为1212米，在距教学楼米，在距教学楼9 9米的北米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？乙912129.6DE0.6AFEBO还可以有其他方法测量吗？还可以有其他方法测量吗？一题多解一题多解OBEF=OAAFABOAEFOB =OA EFAF平面镜平面镜 例例 如图如图: :为了估算河的宽度为了估算河的宽度, ,我们可以
8、在河对岸我们可以在河对岸选定一个目标作为点选定一个目标作为点A,A,再在河的这一边选点再在河的这一边选点B B和和C,C,使使ABBC,ABBC,然后然后, ,再选点再选点E,E,使使ECBC,ECBC,用视线确定用视线确定BCBC和和AEAE的交点的交点D.D.此时如果测得此时如果测得BD=120BD=120米米,DC=60,DC=60米米,EC=50,EC=50米米, ,求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离AB.AB.ABCDE方法一：方法一： 如图如图:为了估算河的宽度为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个我们可以在河对岸选定一个目标作为点目标作为点A,再在河的这一边选点再在河的这一
9、边选点B和和C,使使ABBC,然后然后,再选再选点点E,使使ECBC,用视线确定用视线确定BC和和AE的交点的交点D.此时如果测得此时如果测得BD=120米米,DC=60米米,EC=50米米,求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离AB.ABCDE解解: : ADB = EDC ABC =ECD =900. ABD ECD ABEC=BDCD AB =BDEC/CD =12050/60 =100（米）（米）答：两岸间的大致距离为答：两岸间的大致距离为100米。米。方法二：我们还可以在河对岸选定一目标点方法二：我们还可以在河对岸选定一目标点A A，再，再在河的一边选点在河的一边选点D D和和 E E
10、，使，使DEADDEAD，然后，再选点，然后，再选点B B，作，作BCDEBCDE，与视线，与视线EAEA相交于点相交于点C C。此时，测得。此时，测得DEDE，BCBC，BDBD，就可以求两岸间的大致距离，就可以求两岸间的大致距离ABAB了。了。AD EBC此时如果测得此时如果测得DEDE120120米，米，BCBC6060米，米，BDBD5050米，米，求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离ABAB测量河的宽度 测量原理测量原理：测量不能直接到达的两点间的：测量不能直接到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解。距离，常构造相似三角形求解。 测量方法测量方法：为了估算河的宽度为了估算河的宽度,
11、我们可以在河对岸选定一个目我们可以在河对岸选定一个目标作为点标作为点A,再在河的这一边选点再在河的这一边选点B和和C,使使ABBC,然后然后,再选点再选点E,使使ECBC,用视线确定用视线确定BC和和AE的交的交点点D.此时如果测得此时如果测得BD，DC，EC的长，根据相似三的长，根据相似三角形对应边的比求出河宽角形对应边的比求出河宽AB.知识要点知识要点测距的方法测距的方法 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常常构造构造相似三角形相似三角形求解。求解。 1. 相似三角形的应用主要有两个方面：相似三角形的应用主要有两个方面：（1） 测高测高 测量不能到达两点间的距离测量不能到达
12、两点间的距离, ,常构造相似三常构造相似三角形求解。角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离）（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。的原理解决。（2） 测距测距2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题。）审题。 （2）构建图形。）构建图形。 （3）利用相似解决问题。）利用相似解决问题。A AB BC CD DE EF FH HG G如图如图 利用利用“标杆和视角标杆和视角”构建三角形，其数学模型为构建三角形，其数学模型为: :3.3.相似三角形的应用的主要图形相似三角形的应用的主要图形
