1、2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（B题） *学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共10小题，每小题3分，共30分。）1、已知向量，是欧氏空间的一组标准正交基,则向量在这组基下的坐标为 。 2、设三维线性空间V上的线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为 。 3、4阶方阵的Jordan标准形是 。 4.在欧氏空间中，已知，则与的夹角为 （内积按通常的定义）。 5.
2、已知矩阵，均可逆，则 。 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页6.当实数 时，多项式有重根。 7.设为3阶矩阵, , 求= 。 8、取值 时，齐次线性方程组有非零解。 9.矩阵方程, 那么 。10、实二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12，则= ，= 。 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页二、（10分）计算行列式。三、（10分）求多项式与的最大公因式。四、（15分）设是线性空间的线性变换且。令，。证明:且对每个有。五、（15分）设，求正交矩阵，使得是对角矩阵。六、（10分）设为方阵，是的最小多项式，为任意多项式。 证明：可逆。 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 3 页七、（15分）设线性方程组 讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。八、（15分）设为级实对称矩阵，的秩等于（）。（1）证明：存在正交矩阵，使 其中是级单位矩阵.（2）计算。九、(15分) 设二次型,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准形。十. (15分)为数域上四维向量空间，的子空间，试求和的基与维数。 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 4 页
