1、2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 *招生专业与代码：网络空间安全083900考试科目名称及代码：抽象代数 845 （A 卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 一、判断题（共5小题，每题4分，共20分）1. 设是群的单位，。如果, 则。 ( ) 2. 有限非交换群的阶至少为6。 ( )3. 是循环群。 ( ) 4. 域上的多项式不可约当且仅当在上没有根。 ( )5. 模8剩余类环是有限域。 ( ) 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）。1. 设群是8阶循环群，则元素的阶为_,子群在中的指数是_。2. 把置换写成不相交轮换的乘积为_。3. 设为高
2、斯整环，则生成的理想为_。4. 模6剩余类环的所有零因子为_。5. 在有理数域上的极小多项式为_。三、（15分）设是两个有限集合，它们的势分别为和，（1） 到的不同映射共有多少个？（8分）（2） 到的单射有多少个？（7分） 四、（10分）设是正整数，试证：满足方程的复数解的全体在通常乘法运算下是一个阶循环群。五、（20分）设是两个群。（1） 设是群同态，。试证：，这里。（10分）（2） 设是群同态，若是的一个有限阶元，证明的阶整除的阶。（10 分）六、（20分）设为正整数，求证：（1） 模剩余类环中元可逆当且仅当。（10分）（2） 若为素数，则是元有限域；若不是素数，则不是整环。（10分）七、（15分）设是多项式的一个实根。（1） 求证。（5分）（2） 将, 分别表示成的-线性组合。（10分）八、（15分）（1）设是含幺环，为环的理想。并且当时，。证明有环同构。（10分）（2）解同余方程组，求出最小正整数解。（5分）九、（10分）设是群的两个元。满足，。试证。考试科目：抽象代数 共 2 页，第 2 页
