1、REVIEW OF THE POINT CONIC 圆锥曲线复习课 （第一课时） 授课人：授课人： X Do you know him? Whats his name? 定 义 标准方程 性 质 x?a ,y?b椭圆的定义: 关于原点,x轴,y轴对称 xy平面内与两个定点F1、F2的距离的和等 ?2? 1(a?b? 0)顶点(?a,0),(0,?b)2于常数（大于FF2）的点的轨迹. ab22离心率0?e?1x?a, x? ?a.双曲线的定义: 关于原点,x轴,y轴对称 x2y2顶点(?a , 0)平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝 ?2?1 (a?0,b?0)2b 对值等于常数（小于F
2、F2）的点的轨迹y?xab渐进线 a离心率e?1抛物线的定义: 2关于x轴对称 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离 y? 2px(P?F0)相等的点的轨迹 顶点为坐标原点 ?x ? 0离心率: e?1圆锥曲线的统一定义: (椭圆,双曲线，抛物线) 在平面上,若动点M与定点F的距离和它到 定直线 的距离的 比等于常数e的轨迹. ?PF1?PF2例: 已知两定点F1(-4，0）、F2(4,0), 动点P(x,y)满足 ? 10. (1) 求动点P的轨迹方程 解(1): 由椭圆的第一定义知 点P所在轨迹为椭圆 2a?10,a=5, c?4x? ?254y 4e= 5x?254P x F1 O F
3、2 Q 又b2?a2?c2,? b2? 25 ? 16 ? 9x2y2?1故椭圆方程为259想一想 以PQ为 直径作圆 ,问此圆与右准线的位置 x2y2?1的焦点为F1,F2, 例: 已知椭圆 P(x,y )是其上的一动点, 259222xyx于Q,以PQ为直径作圆, ?(2) 若延长PF2交椭圆 2522? 1ab9问此圆与右准线的位置关系如何? 解: 过P,M,Q分别作垂直于准线的线段, 垂足分别为H1,N,H2, 则有2|MN|=|PH1|+|QH2| 因为 PF2?e? 1PH1QF2QH2?e? 1y 4e= 5x?254P F1 F2 H1 N Q H2 O M F2 |PH1|P
4、F2|, |QH2|QF2| MN?PH1?QH22?PF2?QF22?PQ2x2y2?1259所以以PQ为直径的圆与右准线相相 离离 想一想 已知圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的焦点为F,PQ为过焦 点F的弦,请判断以PQ为直径的圆与焦点相应准线的位置关系? 椭圆时 相离 抛物线时 PF2PH1MN?y ?e? 1QF2QH2?e? 1?PQ2H1 N o H2 Q P PH1? |QH2|2PF?QF2M 以PQ为直径的圆与焦点相 应准线的位置关系为 相切; F x 已知圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的焦点为F,PQ为过焦 点F的弦,请判断以PQ为直径的圆与焦点相应准线的位置关系? 相
5、切; 椭圆时相离 , 抛物线时 PQ交双曲线同支时: PFPH1?e? 1QFQH2?e? 1PQ2y H1 P MN?PH1?QH22?PF?FQ2?以PQ为直径的圆与焦点相应 相交 准线的位置关系为 N o M F x H2 Q x2y2?1的焦点为F1,F2, 例: 已知椭圆 P(x,y )是其上的一动点, 259(3) |PF2|有最值吗？何时取得最值？ 分析: 25x? ?4y 4e= 5x?254P |PF2|=e|PH| 425a?| PF2|=e|PH|= e? (?x)5? (4?x)c2H x F2 A2 A1 F1 O 此时为x的单调递减函数, 又x ? ?5,5故P在顶
6、点A1,A2处时|PF2|分别取得最大,最小值. x2y2?1259想一想 直接设P点的坐标可以解决此类问题吗? x2y2?1的焦点为F1,F2, 例: 已知椭圆 P(x,y )是其上的一动点, 259(3) |PF2|有最值吗？何时取得最值？ 25x? ?分析: 直接设点P(x1,y1),则 x12y12已知 ?1259y124y 4e= 5x?254P B A1 92(25?x1)25x 92?(25?x1),252F1 O F2 A2 所以 (x1?4)2?y1?x1?8x1?16?4(5?x1)2521?(25?4x1).5x2y2?1259故P在顶点A1,A2处时|PF2|分别取得最
7、大,最小值. 想一想 若B(2,1)是椭圆内的点, PB?5PF24是否存在最小值? x2y2?1,P(x,y)是其上一动点 , 若B(2,1)是椭圆内的一点， 例: 已知椭圆 2595(4)问 PB? PF24是否存在最小值? y 4e= 5x ?P 254一 直接设点P(x,y),则 分析 : 已知 x2y2?1259B (2,1) F1 o F2 x 求 (x?2)2?(y?1 )2?5(x?4 )2?y24的最值. x2y2?1259你想知道吗? 过两年我们就有机会解决它了! 这里我们只能求最小值. x2y2?1,P(x,y)是其上一动点 例: 已知椭圆 , 若B(2,1)是椭圆内的一
8、点， 2595(4) 问 PB ? 4 PF 2 是否存在最小值? y 解(5): 4e= 5x ?254PF2?ePH14又e ?5P B F1 o F2 H1 P B H2 PB?PH1?BH2a22517又BH2?xB?2?c44x 5?PB?PF2?PB?PH1?1744若点B是椭圆上不与P重合18的另一点,且|F2P|+|F2B|= 5问PB中点的横坐标是否为定值？ 已知圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的焦点为已知圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的焦点为F，是其，是其 一般议一议此结论能推广到一般情形吗? 1情形 上的一点，上的一点，B为曲线内为曲线内 的一定点的一定点,求求 PB?
9、PF的最小值的最小值. ex2y2?1的焦点为F1,F2, 例: 已知椭圆 P(x,y )是其上的一动点, 259(5) 若点B是椭圆上不与P重合的另一点,且|F2P|+|F2B|= ， 试问PB中点的横坐标是否为定值？ 设PB的中点为M(x,y ), 过P,M,B分别 x? ?254185 t解(5): y E F1 4e= 5x?254作PH1,MN,BH2垂直与右准线, 由椭圆的定义,有 F2P?e PH1F2B?e BH2P M H1 B N H2 t又 |F2P|+| F2B|= 185 O F2 1189tPH1?BH2?e5 29?MN?4? XM?25917?444x2y2?1
10、259下一个问题是 能不能改为常数t? ? ?FPF是否存在最大值常数t 有范围吗? 185 12x2y2?1的焦点为F1,F2, 例: 已知椭圆 P(x,y )是其上的一动点, 259?F2何时取得最大值？为什么？ (6) 1PF 25解(6): 设PF1=m, PF2=n x? ?4y C m 4e= 5x?254在PF1F2中，据余弦定理有： m2?n2?(2 c)2cos?F1PF2?2 mnP n O D F2 x A2 (m?n)2?2mn?4 c2?2 mn4 a2?4 c24 b2?1?12 mn2 mn又m?n?2m?nm?n2)?a22A1 F1 x2y2?1259?m?n
11、?(2b22b2?cos?F?1?1,1PF2?m?na2 当m=n，即P在椭圆与短轴交点C、D时， cos F1PF2最小。 (0,?上是减函数)又因为余弦函数在 当P在椭圆与短轴交点C、D时， F1PF2最大。 逆水行舟 ( 7 ) 解方程 x2? 8x?17?x2? 8x?17 ? 10 x? ?254y 分析: 2(x? 4)2? 1?(x? 4) ? 1? 104e= 5x?254令 1? y2得: (x? 4)2?y2?(x? 4)2?y2? 10 x A1 F1 O F2 A2 由椭圆的第一定义上式表示的是椭圆: x2y2?1,259x2y2?1259将 y? 1代入椭圆方程得
12、21x2? (1?)? 259x ? ?10200? ?293哇噻! 将代数方程问题通过构造 转化为几何问题很直观哟! 问题回放 PF1?PF2例: 已知两定点F1(-4，0）、F2(4,0), 动点P(x,y)满足 ? 10. (1) 求该椭圆的方程 (2) 若延长PF2交椭圆 x2y2?1与Q,以PQ为直径作圆, 25925x? ?4y (3) |PF2|有最值吗？何时取得最值？ (4) 若B(2,1)是椭圆内的一点，问 PB?5PF244e= 5x?254P B Q F2 Q x 是否存在最值？ F1 O (5) 椭圆上的另一点为Q，且F2P|+|F2Q|等于， 试求PQ中点的横坐标 ?
13、F1 PF2(6) 何时取得最大值？为什么？ x2y2?1259(7) 解方程 x?8x?17?x?8 x?17?1022课题 对用圆锥曲线的定义解题规律的探讨对用圆锥曲线的定义解题规律的探讨 ( (椭圆椭圆, ,双曲线双曲线, ,抛物线抛物线) ) 对圆锥曲线对圆锥曲线点与焦点的距离点与焦点的距离, ,焦点弦长相关的问题焦点弦长相关的问题可以考虑定义可以考虑定义 结论: 作业：见讲义作业：见讲义 He is my father. Thanks! Everyone! Bye-bye! 2019 POWERPOINT 2019/5/24 SUCCESS 2019 THANK YOU 2019/5/24 SUCCESS
