1、. 高考压轴大题突破练高考压轴大题突破练 (一一)直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线(1) 1(2016 北京)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点 (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值 (1)解 由椭圆过点 A(2,0)，B(0,1)知 a2，b1. 所以椭圆方程为x 2 4y 21，又 c a2b2 3. 所以椭圆离心率 ec a 3 2 . (2)证明 设 P 点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，
2、则 x204y204，又 A(2,0)，B(0,1)， 所以直线 PB 的方程为 y1y01 x0 (x0)， 令 y0，得 xN x0 1y0，从而|AN|2xN2 x0 y01. 直线 PA 的方程为 y0 y0 x02(x2)， 令 x0，得 yM 2y0 2x0， 从而|BM|1yM1 2y0 x02. 所以 S四边形ABNM1 2|AN| |BM| 1 2? ? ? ? 2 x0 y01? ? ? ? 1 2y0 x02 x 2 04y 2 04x0y04x08y04 2?x0y0x02y02? 2x0y02x04y04 x0y0x02y02 2. 即四边形 ABNM 的面积为定值
3、2(2016 天津)设椭圆x 2 a2 y2 31(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|，其中 . O 为原点，e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴 交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率 解 (1)设 F(c,0)，由 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|， 即1 c 1 a 3c a?ac?，可得 a 2c23c2. 又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24. 所以椭圆的方程为x 2
4、4 y2 31. (2)设直线 l 的斜率为 k(k0)， 则直线 l 的方程为 yk(x2) 设 B(xB，yB)，由方程组 ? ? ? ? ? x2 4 y2 31， yk?x2? 消去 y，整理得(4k23)x216k2x16k2120. 解得 x2 或 x8k 26 4k23. 由题意得 xB8k 26 4k23，从而 yB 12k 4k23. 由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)， 有FH (1，yH)，BF ? ? ? ? ? ? 94k2 4k23， 12k 4k23 . 由 BFHF，得BF FH 0， 所以4k 29 4k23 12kyH 4k230， 解得 yH94
5、k 2 12k . 因此直线 MH 的方程为 y1 kx 94k2 12k . 设 M(xM，yM)，由方程组 ? ? ? ? ? yk?x2?， y1 kx 94k2 12k ， 消去 y， 解得 xM 20k29 12?k21?. 在MAO 中，MOAMAO?|MA|MO|， 即(xM2)2y2Mx2My2M， . 化简得 xM1，即 20k29 12?k21?1， 解得 k 6 4 或 k 6 4 . 所以直线 l 的斜率为 6 4 或 6 4 . 3 (2016 课标全国甲)已知椭圆 E： x2 t y 2 31 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点， 斜率为 k(k0) 的直线
6、交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA. (1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积； (2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围 解 设 M(x1，y1)，则由题意知 y10. (1)当 t4 时，E 的方程为x 2 4 y2 31，A(2,0) 由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 4. 因此直线 AM 的方程为 yx2. 将 xy2 代入x 2 4 y2 31 得 7y 212y0， 解得 y0 或 y12 7 ，所以 y112 7 . 因此AMN 的面积 SAMN21 2 12 7 12 7 144 49 . (2)由题意 t3，k0，
7、A( t，0)， 将直线 AM 的方程 yk(x t)代入x 2 t y 2 31， 得(3tk2)x22 t tk2xt2k23t0. 由 x1 ( t)t 2k23t 3tk2 ，得 x1 t?3tk2? 3tk2 ， 故|AM|x1 t| 1k26 t?1k 2? 3tk2 . 由题设，直线 AN 的方程为 y1 k(x t)， 故同理可得|AN|6k t?1k 2? 3k2t . 由 2|AM|AN|得 2 3tk2 k 3k2t， 即(k32)t3k(2k1)， . 当 k32时上式不成立，因此 t3k?2k1? k32 . t3 等价于k 32k2k2 k32 ?k2?k 21?
8、k32 0， k320， 解得32b0)的离心率是 3 2 ，抛 物线 E：x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A，B， 线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. 求证：点 M 在定直线上； 直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求S1 S2的最大值及取得 最大值时点 P 的坐标 (1)解 由题意知 a2b2 a 3 2 ，可得 a24b2，因为抛物线 E 的焦点 F? ? ?
9、 ? 0，1 2 ，所以 b1 2，a 1，所以椭圆 C 的方程为 x24y21. (2)证明 设 P? ? ? ? m，m 2 2 (m0)，由 x22y，可得 yx，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l 的方程为 ym 2 2 m(xm)， 即 ymxm 2 2 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0) 联立方程 ? ? ? ? ? x24y21， ymxm 2 2 ， 得(4m21)x24m3xm410. . 由 0，得 0m 2 5(或 0m22 5)(*) 且 x1x2 4m3 4m21，因此 x0 2m3 4m21， 将其代入 ymxm 2 2 ， 得 y0
10、 m2 2?4m21?， 因为y0 x0 1 4m， 所以直线 OD 的方程为 y 1 4mx， 联立方程 ? ? ? ? ? y 1 4mx， xm， 得点 M 的纵坐标 yM1 4， 所以点 M 在定直线 y1 4上 解 由知直线 l 的方程为 ymxm 2 2 ， 令 x0，得 ym 2 2 ，所以 G? ? ? ? 0，m 2 2 . 又 P? ? ? ? m，m 2 2 ，F? ? ? ? 0，1 2 ，D? ? ? ? ? 2m3 4m21， m2 2?4m21? ， 所以 S11 2 |GF| m ?m21?m 4 ， S21 2 |PM| |mx0| 1 2 2m21 4 2m 3m 4m21 m?2m21?2 8?4m21? .所以S1 S2 2?4m21?m21? ?2m21?2 . 设 t2m21，则S1 S2 ?2t1?t1? t2 2t 2t1 t2 1 t2 1 t2，当 1 t 1 2， 即 t2 时，S1 S2取到最大值 9 4， 此时 m 2 2 ，满足(*)式，所以 P 点坐标为? ? ? ? 2 2 ，1 4 . 因此S1 S2的最大值为 9 4，此时点 P 的坐标为? ? ? ? 2 2 ，1 4 .
