1、第十七讲等腰三角形和直角三角形一、等腰三角形一、等腰三角形定义定义有有_相等的三角形相等的三角形性质性质轴对轴对称性称性等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形,_,_是它的对称轴是它的对称轴定理定理1.1.等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角_(_(简称简称:_):_)2.2.等腰三角形顶角等腰三角形顶角_、底边上的中线和底边上的、底边上的中线和底边上的_相互重合相互重合(简称简称“三线合一三线合一”)判定判定如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也那么这两个角所对的边也_(简写为简写为“_”)_”)两边两边底边上的中线底边上的中线(或底边上的或底
2、边上的高或顶角平分线高或顶角平分线)所在的直线所在的直线相等相等等边对等角等边对等角平分线平分线高高相等相等等角对等边等角对等边二、等边三角形二、等边三角形定义定义_相等的三角形相等的三角形性质性质1.1.等边三角形的三个内角都等边三角形的三个内角都_,_,并且每一个角都并且每一个角都等于等于_2.2.等边三角形是轴对称图形等边三角形是轴对称图形,并且有并且有_条对称轴条对称轴判定判定1.1.三个角都三个角都_的三角形的三角形2.2.有一个角是有一个角是6060的的_三角形三角形三边三边相等相等6060三三相等相等等腰等腰三、线段的垂直平分线三、线段的垂直平分线1.1.性质性质:线段垂直平分线
3、上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_._.2.2.判定判定:与一条线段两个端点距离相等的点与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的在这条线段的_上上.相等相等垂直平分线垂直平分线四、直角三角形的性质与判定四、直角三角形的性质与判定性质性质(1)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_(2)(2)在直角三角形中在直角三角形中,30,30角所对的直角边等于斜边的角所对的直角边等于斜边的_(3)(3)在直角三角形中在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的斜边上的中线等于斜边的_判定判定(1)(1)定义法定义法:有一个角是有一个角是_的三角形的三角形(
4、2)(2)两个内角两个内角_的三角形的三角形互余互余一半一半一半一半直角直角互余互余五、勾股定理及逆定理五、勾股定理及逆定理1.1.勾股定理勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,ba,b,斜边长为斜边长为c,c,那么那么_._.2.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,ca,b,c满足满足_,_,那么这个那么这个三角形是直角三角形三角形是直角三角形.3.3.勾股数勾股数:可以构成一个直角三角形三边的一组可以构成一个直角三角形三边的一组_,_,常见勾股数有常见勾股数有:3,4,:3,4,5;6,8,10;5,
5、12,13;8,15,175;6,8,10;5,12,13;8,15,17等等.a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2正整数正整数六、命题、定理六、命题、定理1.1.互逆命题互逆命题:如果两个命题的如果两个命题的_和和_正好相反正好相反,我们把这样的两我们把这样的两个命题叫做互逆命题个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的_._.2.2.互逆定理互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理那么它就是这个定理的逆定理,称称这两个定理为这两个定理
6、为_定理定理.题设题设结论结论逆逆命题命题互逆互逆【自我诊断【自我诊断】1.1.一个等腰三角形两边的长分别为一个等腰三角形两边的长分别为4 4和和9,9,那么这个三角形的周长是那么这个三角形的周长是()A.13A.13B.17B.17C.22C.22D.17D.17或或2222C C2.2.已知三组数据已知三组数据:2,3,4;2,3,4;3,4,5;3,4,5;1,2.1,2.分别以每组数据中的三个数为分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长三角形的三边长,构成直角三角形的有构成直角三角形的有()A.A.B.B.C.C.D.D.D D33.3.等腰三角形的顶角为等腰三角形的顶角为8080,则
7、它的底角是则它的底角是()A.20A.20B.50B.50C.60C.60D.80D.804.4.对顶角相等的逆命题是对顶角相等的逆命题是_命题命题.B B假假5.5.如图如图,ABCABC中中,AB=AC,ADBC,AB=AC,ADBC,垂足为点垂足为点D,D,若若BAC=70BAC=70,则则BAD=BAD=_._.35356.6.在在ABCABC中中,C=90,C=90,AB=7,BC=5,AB=7,BC=5,则边则边ACAC的长为的长为_._.7.7.如图如图,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AC=3,BC=4,AC=3,BC=4,以点以点A A为圆心为圆心,
8、AC,AC长为半径画弧长为半径画弧,交交ABAB于点于点D,D,则则BD=_.BD=_.2 62 2考点一考点一 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【示范题【示范题1 1】(2020(2020南充中考南充中考)如图如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BD,BD为为ABCABC的平分线的平分线,A=36A=36,AB=AC=a,BC,AB=AC=a,BC=b,=b,则则CD=CD=()A.A.B.B.C.a-bC.a-b D.bD.b-a-a高频考点疑难突破ab2ab2C C【答题关键指导【答题关键指导】三线合一的作用三线合一的作用等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”,包括以下
9、三个结论包括以下三个结论:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.(1)(1)若若ADBC,ADBC,则则BD=DC,1=2.BD=DC,1=2.(2)(2)若若BD=DC,BD=DC,则则ADBC,1=2.ADBC,1=2.(3)(3)若若1=2,1=2,则则ADBC,BD=DC.ADBC,BD=DC.等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的重要依据重要依据.在解题时在解题时,要灵活运用上面的结论要灵活运用上面的结论.【跟踪训练【跟踪训练】1.(20201.(2020自贡中考自贡中考
10、)如图如图,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,A=50,A=50,以点以点B B为圆为圆心心,BC,BC长为半径画弧长为半径画弧,交交ABAB于点于点D,D,连接连接CD,CD,则则ACDACD的度数是的度数是()A.50A.50B.40B.40C.30C.30D.20D.20D D2.(20202.(2020桂林中考桂林中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,AB=AC=4,AB=AC=4,点点E,FE,F分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,点点P P是扇形是扇形AEFAEF的的 上任意一点上任意一点,连接连接BP,CP,BP,CP,则则 BP+CPB
11、P+CP的最小值是的最小值是_._.EF12173.(20203.(2020台州中考台州中考)如图如图,已知已知AB=AC,AD=AE,BDAB=AC,AD=AE,BD和和CECE相交于点相交于点O.O.(1)(1)求证求证:ABDABDACE;ACE;(2)(2)判断判断BOCBOC的形状的形状,并说明理由并说明理由.【解析【解析】(1)AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,(1)AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ABDABDACE(SAS);ACE(SAS);(2)(2)BOCBOC是等腰三角形是等腰三角形,理由如下理由如下:ABDABDACE,ABD=ACE,ACE,ABD=AC
12、E,AB=AC,ABC=ACB,AB=AC,ABC=ACB,ABC-ABD=ACB-ACE,OBC=OCB,ABC-ABD=ACB-ACE,OBC=OCB,BO=OC,BO=OC,BOCBOC是等腰三角形是等腰三角形.4.(20204.(2020广东中考广东中考)如图如图,在在ABCABC中中,点点D,ED,E分别是分别是AB,ACAB,AC边上的点边上的点,BD=CE,BD=CE,ABE=ACD,BEABE=ACD,BE与与CDCD相交于点相交于点F.F.求证求证:ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.【解析【解析】ABE=ACD,DBF=ECF,ABE=ACD,DBF=ECF,在在BDFB
13、DF和和CEFCEF中中,BDFBDFCEF(AAS),CEF(AAS),BF=CF,DF=EF,BF+EF=CF+DF,BF=CF,DF=EF,BF+EF=CF+DF,DBFECF,BFDCFE,BDCE,即即BE=CD,BE=CD,在在ABEABE和和ACDACD中中,ABEABEACD(AAS),AB=AC,ACD(AAS),AB=AC,ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.ABEACD,AA,BECD,考点二考点二 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定【示范题【示范题2 2】(2020(2020宁波中考宁波中考)BDEBDE和和FGHFGH是两个全等的等边三角形是两个全等的等边
14、三角形,将它将它们按如图的方式放置在等边三角形们按如图的方式放置在等边三角形ABCABC内内.若求五边形若求五边形DECHFDECHF的周长的周长,则只需知则只需知道道()A.A.ABCABC的周长的周长B.B.AFHAFH的周长的周长C.C.四边形四边形FBGHFBGH的周长的周长D.D.四边形四边形ADECADEC的周长的周长A A【答题关键指导【答题关键指导】等边三角形的性质等边三角形的性质1.1.三条边相等三条边相等.2.2.三个角相等三个角相等,并且都等于并且都等于6060.3.3.是轴对称图形是轴对称图形,并且有三条对称轴并且有三条对称轴.4.4.具有具有“等边对等角等边对等角”及
15、及“三线合一三线合一”的性质的性质.【跟踪训练【跟踪训练】1.(20201.(2020嘉兴中考嘉兴中考)如图如图,正三角形正三角形ABCABC的边长为的边长为3,3,将将ABCABC绕它的外心绕它的外心O O逆时针逆时针旋转旋转6060得到得到ABC,ABC,则它们重叠部分的面积是则它们重叠部分的面积是()C C3A 2 3B343C3D322.(20202.(2020营口中考营口中考)如图如图,ABCABC为等边三角形为等边三角形,边长为边长为6,ADBC,6,ADBC,垂足为点垂足为点D,D,点点E E和点和点F F分别是线段分别是线段ADAD和和ABAB上的两个动点上的两个动点,连接连接
16、CE,EF,CE,EF,则则CE+EFCE+EF的最小值为的最小值为_._.3 33.(20203.(2020绍兴中考绍兴中考)如图如图,已知边长为已知边长为2 2的等边三角形的等边三角形ABCABC中中,分别以点分别以点A,CA,C为圆为圆心心,m,m为半径作弧为半径作弧,两弧交于点两弧交于点D,D,连接连接BD.BD.若若BDBD的长为的长为2 ,2 ,则则m m的值为的值为_._.322 7或考点三考点三 线段的垂直平分线线段的垂直平分线【示范题【示范题3 3】(2020(2020青海中考青海中考)如图如图,ABCABC中中,AB=AC=14 cm,AB,AB=AC=14 cm,AB的垂
17、直平分线的垂直平分线MNMN交交ACAC于点于点D,D,且且DBCDBC的周长是的周长是24 cm,24 cm,则则BC=_cm.BC=_cm.1010【答题关键指导【答题关键指导】线段垂直平分线的特征及应用的答题思路线段垂直平分线的特征及应用的答题思路1.1.线段垂直平分线中的两组线段相等线段垂直平分线中的两组线段相等:(1)(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.(2)(2)被垂直平分的线段被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段被分为两条相等的线段.2.2.当出现当出现“垂直平分垂直平分”字眼或题目中有垂直字眼或题目中有垂直,且垂足是
18、中点时且垂足是中点时,要联想到线段垂要联想到线段垂直平分线的性质直平分线的性质.【跟踪训练【跟踪训练】1.(20201.(2020河南中考河南中考)如图如图,在在ABCABC中中,AB=BC=,BAC=30,AB=BC=,BAC=30,分别以点分别以点A,CA,C为圆心为圆心,AC,AC的长为半径作弧的长为半径作弧,两弧交于点两弧交于点D,D,连接连接DA,DC,DA,DC,则四边形则四边形ABCDABCD的面积的面积为为()A.6 B.9 C.6 D.3A.6 B.9 C.6 D.3 3D D332.(20202.(2020潍坊中考潍坊中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,C=90,
19、C=90,B=20,B=20,PQ,PQ垂直平分垂直平分AB,AB,垂垂足为足为Q,Q,交交BCBC于点于点P.P.按以下步骤作图按以下步骤作图:以点以点A A为圆心为圆心,以适当的长为半径作弧以适当的长为半径作弧,分分别交边别交边AC,ABAC,AB于点于点D,E;D,E;分别以点分别以点D,ED,E为圆心为圆心,以大于以大于 DEDE的长为半径作弧的长为半径作弧,两弧两弧相交于点相交于点F;F;作射线作射线AF.AF.若若AFAF与与PQPQ的夹角为的夹角为,则则=_=_.1255553.(20193.(2019杭州中考杭州中考)如图如图,在在ABCABC中中,ACABBC.,ACABBC
20、.(1)(1)已知线段已知线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与BCBC边交于点边交于点P,P,连接连接AP,AP,求证求证:APC=2B.:APC=2B.(2)(2)以点以点B B为圆心为圆心,线段线段ABAB的长为半径画弧的长为半径画弧,与与BCBC边交于点边交于点Q,Q,连接连接AQ.AQ.若若AQC=AQC=3B,3B,求求BB的度数的度数.【解析【解析】(1)(1)线段线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与BCBC边交于点边交于点P,PA=PB,B=BAP.P,PA=PB,B=BAP.APC=B+BAP,APC=B+BAP,APC=2B.APC=2B.(2)(2)根据题意可知根据
21、题意可知BA=BQ,BA=BQ,BAQ=BQA,BAQ=BQA,AQC=3B,AQC=B+BAQ,AQC=3B,AQC=B+BAQ,BAQ=BQA=2B.BAQ=BQA=2B.BAQ+BQA+B=180BAQ+BQA+B=180,5B=1805B=180,B=36B=36.考点四考点四 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理【示范题【示范题4 4】(2020(2020北部湾中考北部湾中考)九章算术九章算术是古代东方数学代表作是古代东方数学代表作,书中书中记载记载:今有开门去阃今有开门去阃(读读kun,kun,门槛的意思门槛的意思)一尺一尺,不合二寸不合二寸,问门广几何问门广几何?题目大意题目大意是是
22、:如图如图1,2(1,2(图图2 2为图为图1 1的平面示意图的平面示意图),),推开双门推开双门,双门间隙双门间隙 的距离为的距离为2 2寸寸,点点C C和和点点D D距离门槛距离门槛ABAB都为都为1 1尺尺(1(1尺尺=10=10寸寸),),则则ABAB的长是的长是()A.50.5A.50.5寸寸 B.52B.52寸寸 C.101C.101寸寸 D.104D.104寸寸C C【答题关键指导【答题关键指导】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤步骤1.1.确定三角形的最长边确定三角形的最长边.2.2.计算最长边的平方以及
23、其他两边的平方和计算最长边的平方以及其他两边的平方和.3.3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等,若相等若相等,则此三角形为直角则此三角形为直角三角形三角形,否则不是直角三角形否则不是直角三角形.【跟踪训练【跟踪训练】1.(20201.(2020玉林中考玉林中考)如图是如图是A,B,CA,B,C三岛的平面图三岛的平面图,C,C岛在岛在A A岛的北偏东岛的北偏东3535方向方向,B B岛在岛在A A岛的北偏东岛的北偏东8080方向方向,C,C岛在岛在B B岛的北偏西岛的北偏西5555方向方向,则则A,B,CA,B,C三岛组成一三岛组成一个个 ()
24、A.A.等腰直角三角形等腰直角三角形B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.直角三角形直角三角形D.D.等边三角形等边三角形C C2.(20202.(2020宁波中考宁波中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,CD,CD为中线为中线,延长延长CBCB至点至点E,E,使使BE=BC,BE=BC,连接连接DE,FDE,F为为DEDE中点中点,连接连接BF.BF.若若AC=8,BC=6,AC=8,BC=6,则则BFBF的长为的长为()A.2A.2B.2.5B.2.5C.3C.3D.4D.4B B3.(20193.(2019北部湾中考北部湾中考)如图如图,AB,AB与与C
25、DCD相交于点相交于点O,AB=CD,AOC=60O,AB=CD,AOC=60,ACD+,ACD+ABD=210ABD=210,则线段则线段AB,AC,BDAB,AC,BD之间的数量关系式为之间的数量关系式为_._.ABAB2 2=AC=AC2 2+BD+BD2 24.(20204.(2020黔西南州中考黔西南州中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,点点D D在线段在线段BCBC上上,且且B=30B=30,ADC=60,ADC=60,BC=3 ,BC=3 ,则则BDBD的长度为的长度为_._.32 3考点五考点五 命题、定理及逆定理命题、定理及逆定理【示范题【示范题
26、5 5】(2020(2020玉林中考玉林中考)下列命题中下列命题中,其逆命题是真命题的是其逆命题是真命题的是()A.A.对顶角相等对顶角相等B.B.两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等C.C.全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等D.D.正方形的四个角都相等正方形的四个角都相等B B【答题关键指导【答题关键指导】判断命题真假的方法判断命题真假的方法只有对一件事情做出判定的语句才是命题只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题其中正确的命题是真命题,错误的命错误的命题是假命题题是假命题.对于命题的真假对于命题的真假(正误正误)判断问题判断问题,一般只需根据熟记的定义
27、、公式、一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假计算才能进一步确定真与假.【跟踪训练【跟踪训练】(2020(2020安徽中考安徽中考)已知点已知点A,B,CA,B,C在在O O上上,则下列命题为真命题的是则下列命题为真命题的是()A.A.若半径若半径OBOB平分弦平分弦AC,AC,则四边形则四边形OABCOABC是平行四边形是平行四边形B.B.若四边形若四边形OABCOABC是平行四边形是平行四边形,则则ABC=120ABC=120C.C.若若ABC=120ABC=120,则弦则弦ACAC平分半径平分半径OBOBD.D.若弦若弦ACAC平分半径平分半径OB,OB,则半径则半径OBOB平分弦平分弦ACACB B
