1、第第6章章 参数估计参数估计 主要内容和学习目标主要内容和学习目标 参数的点估计参数的点估计 （理解）（理解）参数的区间估计参数的区间估计（理解）（理解）总体均值的区间估计总体均值的区间估计（掌握）（掌握）总体比例的区间估计总体比例的区间估计（掌握）（掌握）总体方差的区间估计总体方差的区间估计 （了解）（了解）样本容量的确定样本容量的确定 （掌握）（掌握）一、参数的点估计一、参数的点估计点估计的概念点估计的概念 常用的点估计常用的点估计 点估计的评价标准点估计的评价标准 点估计：点估计：是用估计量是用估计量 （样本统计量）的值，（样本统计量）的值， 直接作为总体参数直接作为总体参数的估计值。的
2、估计值。 点估计的概念点估计的概念 构造构造估计量估计量取得取得样本值样本值计算计算估计值估计值1,2(,)nT X XX1,2(,)nx xx1, 2(,)nT x xx11niixxn2211()1niisxxn1npn 常用的点估计常用的点估计 即即 若若 ， 则称则称 为为的无偏估计量的无偏估计量 点估计的评价标准（一）点估计的评价标准（一） ( )E无偏性：无偏性：是要求用来估计总体参数的估计量，是要求用来估计总体参数的估计量， 其分布以总体参数的真值为中心。其分布以总体参数的真值为中心。即即 设设 和和 都是未知参数都是未知参数的无偏估计量的无偏估计量 若若 ，则称，则称 比比 有
3、效。有效。点估计的评价标准（二）点估计的评价标准（二） 21( )VAR2( )VAR112有效性：有效性：是要求用来估计总体参数的估计量，是要求用来估计总体参数的估计量， 其分布应尽可能地密集在总体参数真值的附近。其分布应尽可能地密集在总体参数真值的附近。一致性：一致性：是指随着样本容量是指随着样本容量n n的不断增大，估计量的不断增大，估计量接近于总体参数的可能性越来越大。接近于总体参数的可能性越来越大。并且，当并且，当nn时，估计量依概率收敛于参数时，估计量依概率收敛于参数。点估计的评价标准（三）点估计的评价标准（三） 即即 若对任意若对任意0， 则称则称 是是的一个一致性估计。的一个一
4、致性估计。lim1nP 返回返回二、参数的区间估计二、参数的区间估计区间估计的概念区间估计的概念 区间估计的评价标准区间估计的评价标准 区间估计：区间估计：是是在点估计的基础上，给出总体在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围参数估计的一个区间范围 , 。21 区间估计的概念区间估计的概念 121P置信度置信度置信区间置信区间置信下限置信下限置信上限置信上限样本统计量样本统计量（点估计）（点估计）样本统计量样本统计量（点估计）（点估计）12区间估计的评价标准区间估计的评价标准 可靠性：可靠性：是指估计结果正确的概率保证是指估计结果正确的概率保证l 区间估计的可靠性通过置信度区间估计的可
5、靠性通过置信度（1）描述描述l 一般希望置信度越大越好一般希望置信度越大越好精度：精度：是指估计误差必须控制在一定的范围内是指估计误差必须控制在一定的范围内l 区间估计的精度通过区间长度区间估计的精度通过区间长度（ ）描述描述l 一般希望区间长度越短越好一般希望区间长度越短越好21返回返回三、总体均值的区间估计三、总体均值的区间估计正态总体且方差正态总体且方差 已知已知 2正态总体但方差正态总体但方差 未知未知 2非正态总体但样本容量非正态总体但样本容量n30n30 nzX nzX2/2/,正正态态总总体体且且方方差差 已已知知 2n 设总体设总体X XN(N(, ,2 2) )，置信度为，置
6、信度为1 1，且方差且方差2 2已知，则已知，则总体均值总体均值的置信区间的置信区间为为正正态态总总体体且且方方差差 已已知知 2l 其中：其中： 为标准正态分布的右侧临界值为标准正态分布的右侧临界值 l 称称 为抽样标准误差，称为抽样标准误差，称 为误差范围为误差范围/2z/2znn正态总体且方差正态总体且方差 已知已知 2ExcelExcel在总体均值的区间估计中的应用（一）在总体均值的区间估计中的应用（一）方法一：利用方法一：利用ExcelExcel的的“AVERAGEAVERAGE”函数和函数和“NORMSINVNORMSINV”函数分别计算出函数分别计算出 和和 ，然后按公式计算得到
7、置信区，然后按公式计算得到置信区间间。/2zX 方法二：利用方法二：利用ExcelExcel的的“AVERAGEAVERAGE”函数和函数和“CONFIDENCECONFIDENCE”函函数数 分别计算出分别计算出 和和 ，然后按公式计算得到置信区间。，然后按公式计算得到置信区间。 / 2znX例题分析例题分析: :总体均值的区间估计总体均值的区间估计25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.81
8、01.598.493.3总体均值的区间估计的分析过程总体均值的区间估计的分析过程nsntX nsntX) 1(,) 1(2/2/正正态态总总体体且且方方差差 已已知知 2n 设总体设总体X XN(N(, ,2 2) )，置信度为，置信度为1 1，但方差但方差2 2未知，则未知，则总体均值总体均值的置信区间的置信区间为为正态总体但方差正态总体但方差 未知未知 2l 其中：其中： 为为t分布的右侧临界值分布的右侧临界值 l 称称 为抽样标准误差，称为抽样标准误差，称 为误差范围为误差范围/2(1)tn/2(1)stnnsnExcelExcel在总体均值的区间估计中的应用（二）在总体均值的区间估计中
9、的应用（二）方法一：利用方法一：利用ExcelExcel的的“AVERAGEAVERAGE”函数、函数、“TINVTINV”函数函数和和“STDEV”STDEV”函数分别计算出函数分别计算出 、 和和S S，然后按公，然后按公式式计算得到置信区间计算得到置信区间。/2(1)tnX 方法二：利用方法二：利用ExcelExcel的分析工具库中的的分析工具库中的“描述统计描述统计”工具工具 分别计算出分别计算出 和和 ，然后按公式计算得到置信，然后按公式计算得到置信 区间。区间。 /2(1)stnnX例题分析例题分析: :总体均值的区间估计总体均值的区间估计16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据
10、1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计的分析过程总体均值的区间估计的分析过程nzX nzX22,( ( 已知已知) )2nszX nszX22,( ( 未知未知) )2 非正态总体但样本容量非正态总体但样本容量n30n30 例题分析例题分析: :总体均值的区间估计总体均值的区间估计3245484539345040243344492853423536个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 3436544327483839443934474542314636363923总体均值的区间估计的分析
11、过程总体均值的区间估计的分析过程四、总体比例的区间估计四、总体比例的区间估计nppzp nppzp)1 (,)1 (22n 当样本容量当样本容量n n很大（很大（np5np5，n(1-p)5)n(1-p)5)时，时，则则总体比例总体比例的置信区间为的置信区间为l 其中：其中： 为标准正态分布的右侧临界值为标准正态分布的右侧临界值 P为样本比例为样本比例/2z例题分析例题分析: :总体比例的区间估计总体比例的区间估计总体比例的区间估计的分析过程总体比例的区间估计的分析过程返回返回五、总体方差的区间估计五、总体方差的区间估计n 设总体设总体X XN(N(, ,2 2) )，置信度为，置信度为1 1
12、，则则总体方差总体方差2 2的置信区间为的置信区间为) 1() 1(,) 1() 1(22/1222/2nsnnsnl 式中：式中： 和和 分别为分别为2 分布的分布的 左临界值和右侧临界值左临界值和右侧临界值 s2为样本方差为样本方差21/2(1)n2/2(1)n利用利用ExcelExcel计算临界值计算临界值u利用统计函数利用统计函数CHIINV(probability,deg_freedom)CHIINV(probability,deg_freedom)计算计算 左侧临界值左侧临界值 ：probabilityprobability1 1/2 /2 deg_freedom deg_free
13、domn-1n-1 右侧临界值右侧临界值 ：probabilityprobability/2 /2 deg_freedom deg_freedomn-1n-1212(1)n22(1)n例题分析：总体方差的区间估计例题分析：总体方差的区间估计25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025.
14、022n总体方差的区间估计的分析过程总体方差的区间估计的分析过程返回返回六、样本容量的确定六、样本容量的确定影响样本容量的主要因素影响样本容量的主要因素 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 确定样本容量的基本准则确定样本容量的基本准则 影响样本容量的主要因素影响样本容量的主要因素 精度与费用精度与费用 估计精度估计精度高高（低低）调查费用调查费用高高（低低）样本容量样本容量大大（小小）n 在保证估计精度达到要求的前提下，在保证估计精度达到要求的前提下， 确定使费用最省的样本容量；确定使费用最省的样本容量；n 在调查
15、费用固定的约束下，在调查费用固定的约束下， 确定使估计精度最高的样本容量。确定使估计精度最高的样本容量。确定样本容量的基本准则确定样本容量的基本准则 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 n 以样本均值以样本均值 估计总体均值估计总体均值时时样本容量为样本容量为Xl 式中：式中：d为绝对误差为绝对误差 X例题分析：估计总体均值时样本容量的确定例题分析：估计总体均值时样本容量的确定确定样本容量的分析过程确定样本容量的分析过程估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 n 以样本比例以样本比例P P估计总体参数估计总体参数时时样本容量为样本容量为 222)1 (dznl 式中：式中：d为绝对误差为绝对误差 P例题分析：估计总体比例时样本容量的确定例题分析：估计总体比例时样本容量的确定返回返回End of Chapter 6
