1、第十二章第十二章 全等三角形全等三角形八年级数学上八年级数学上12.112.1全等三角形全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个图形叫做全等形。 像上面能够完全重合的三角形叫像上面能够完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形n互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。记做：ABC ABC 读做：ABC全等于ABC根据上图指出对应顶点、对应边和对应角。1、观察上图中的全等三角形应表示为、观察上图中的全等三角形应表示为: 。ABCDEF注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应
2、的位置上。2、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、对应角有什么关系？角有什么关系？ 请完成下面填空：请完成下面填空： ABC DEF（已知）（已知） AB DE，BC EF，AC DF A D，B E，C F。3、由此可得全等三角形的性质：、由此可得全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等思考一：思考一： 若你手上有一张长方形纸片，如何是长方若你手上有一张长方形纸片，如何是长方形变成两个最大的全等三角形，而总面积形变成两个最大的全等三角形，而总面积又没有又没有 变化？变化？思考二
3、：拓展与延伸思考二：拓展与延伸 下图是一个等边三角形，你能把它分成两个下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？形吗？四个呢？例例 如图已知如图已知 AOC BOD求证：求证：ACBDABCD2 如图ABC CDA，AB=CD，用等式写出两个三角形其它的对应边和对应角。3 如图：已知ABD ACE，且AB=AC，用等式写出两个三角形的其它对应边和对应角。CEBAD公共角为对应角ABDEC4 如图ABC EDC，A=E，用等式写出两个三角形其它的对应角和对应边。对顶角为对应角5 如图：ABC ABD，且AC=A
4、D，用等式写出这两个三角形的其它对应边和对应角。 公共边为对应边ABCD三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角三、请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、 ABE ACF对应角是：对应角是： A和和A、 ABE和和ACF、 AEB和和AFC；对应边；对应边是是AB和和AC、AE和和AF、BE和和CF。2、 BCE CBF对应角是：对应角是： BCE和和 CBF、 BEC和和CFB、 CBE和和 BCF。对应边是：。对应边是：CB和和BC、CE和和BF、CF和和BE。3、 BOF COE对应角是: BOF和和COE、 BFO 和和CEO、 FOB和和EOC。对应边是：。对应边是：OF和和OE、
5、OB和和OC、BF和和CE。3、如图、如图 ABD CDB，若，若AB=4，AD=5，BD=6，则，则BC= ，CD= 。4、如图、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求求DE的长的长课堂小结课堂小结1、能够完全重合的两个三角形叫做、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形2、全等三角形的对应边相等、对应角相等、全等三角形的对应边相等、对应角相等3、全等三角形用符号、全等三角形用符号“ ”表示，且一般对应顶点表示，且一般对应顶点写在对应位置上写在对应位置上4 、找全等三角形对应边和对应角的方法：找全等三角形对应边和对应角的方法：达标测试达标测试1、能够、能够 的两个图形叫做
6、全等形。两个三角形重合的两个图形叫做全等形。两个三角形重合时，互相时，互相 的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，的顶点叫做对应顶点。记两个全等三角形时，通常把表示通常把表示 顶点的字母写在顶点的字母写在 的位置上。的位置上。ABCDE2、如图、如图ABC ADE若若D= B， C= AED，则则DAE= ； DAB= 。 全等三角形的运用举例全等三角形的运用举例例1 已知如图ABC DFE，A=96，B=25，DF=10cm。求 E的度数及AB的长。BACEDF例2 已知如图 CDAB于D，BEAC于E，ABE ACD，C=20，AB=10，AD=4，G为AB延长线上的一点。求 EBG的度
7、数及CE的长。ECADBGF例3如图：已知ABC ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，ACB=105，CAD=10，D=25。求 EAC，DFB，DGB的度数。DGEACFB2. . 叫做全等三角形叫做全等三角形。1. 能够完全重合的两个图形叫做能够完全重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的全等三角形的 和和 相等相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点全等三角形知识回顾全等三角形知识回顾 能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形3.“.“全等全等”用符号用符号“ ”“ ”来表示，读作来表示，读作“ ”对应边对应边对应角对应角全等于全等于 其中：互相重合的顶点叫
8、做其中：互相重合的顶点叫做 互相重合的边叫做互相重合的边叫做互相重合的角叫做互相重合的角叫做 1. 1.与图与图1 1所示图形全等的图形所示图形全等的图形是是2.将图将图2所示绕所示绕A点顺时针转点顺时针转90所得到的图形是所得到的图形是图图1AABCBACDBCD图图2DB 3. ABC FED写出图中所有相等的线段，相等的角；写出图中所有相等的线段，相等的角； 图中线段、角除相等外，还有什么关系吗？图中线段、角除相等外，还有什么关系吗？ A B C D E F 百百 “练练” 成成 钢钢不要漏掉不要漏掉BD=ECBD=ECABFE ACFDABFE ACFD4.4.如图如图, ,矩形矩形A
9、BCDABCD沿沿AMAM折叠折叠, ,使使D D点落在点落在BCBC上的上的N N点点处处, ,如果如果AD=4cm,DM=3cm, DAM=39AD=4cm,DM=3cm, DAM=39, ,则则AN=_cm, NM=_cm, NAB=_ AN=_cm, NM=_cm, NAB=_ _._.MDANBC4cm3cm）3943 3912.212.2全等三角形的判定全等三角形的判定学习 目标1掌握三角形全等的“边边边”定理2了解三角形的稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、用操作、 归纳获得数学结论的过程 预习 探路1你能用尺规作两个三角形全等
10、吗？你能用尺规作两个三角形全等吗？2 2什么是什么是”边边边边边边”定理定理. .你能说说它的作用你能说说它的作用吗吗? ?AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= FABCDEF 1、 什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够重合能够重合的两个三角形叫的两个三角形叫 全等三角形。全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？全等三角形有什么性质？ 创设情境创设情境ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F1.满足这六个条件可以保证满足这六个条件可以保证ABC DEF吗？吗？2.如果只满足这些条件中的一部分如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证那么
11、能保证ABC DEF吗吗?思考：思考：1.只给一条边时；只给一条边时；331.只给一个条件只给一个条件452.只给一个角时；只给一个角时；45结论结论: :只有一条边或一个角对应相等只有一条边或一个角对应相等的的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等. .两边；两边；两角。两角。一边一角；一边一角； 2.如果满足如果满足两个两个条件，你能说出条件，你能说出有哪几种可能的情况？有哪几种可能的情况？如果三角形的两边分别为如果三角形的两边分别为4cm4cm，6cm 6cm 时时6cm6cm4cm4cm结论结论: :两条边对应相等的两条边对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等. .三角形
12、的一条边为三角形的一条边为4cm,一个内角为一个内角为30时时:4cm4cm3030结论结论: :一条边一个角对应相等的一条边一个角对应相等的两个两个三角形不一定全等三角形不一定全等. .45304530如果三角形的两个内角分别是如果三角形的两个内角分别是3030，4545时时结论结论: :两个角对应相等的两个角对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等. .根据三角形的内角和为根据三角形的内角和为180180度，则第三角一定确定，度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等两个条件两个条件两角；两角；两边；两边；一边一
13、角一边一角。结论：只给出一个或两个条件时，结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。都不能保证所画的三角形一定全等。一个条件一个条件一角；一角；一边；一边；三角三角；三边；三边；两边一角；两边一角；两角一边。两角一边。 3.如果满足如果满足三个三个条件，你能说出有条件，你能说出有哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为已知两个三角形的三个内角分别为3030，6060 ，9090 它们一定全等吗？它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等不一定全等三个角三个角
14、已知两个三角形的三条边都分别为已知两个三角形的三条边都分别为3cm3cm、4cm4cm、6cm 6cm 。它们一定全等吗？。它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三条边三条边先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画出一个，再画出一个ABC ,使使AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把画好把画好ABC的剪的剪下，放到下，放到ABC上，他们全等吗？上，他们全等吗？画法画法: 1.画线段画线段 BC =BC;2.分别以分别以 B ， C为圆心为圆心,BA,BC为半径画弧为半径画弧,两两弧交于点弧交于点A;3. 连接线段连接线段 AB ， AC .上述结论反
15、映了什么规律？上述结论反映了什么规律？三边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。简写为简写为“边边边边边边”或或“SSSSSS”边边边公理边边边公理 注：注： 这个定理说明，只要三角形的这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角状和大小就完全确定了，这也是三角形具有形具有稳定性稳定性的原理。的原理。如何用符号语言来表达呢如何用符号语言来表达呢?在在ABC与与DEF中中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABC DEF（SSS）判断两个三角形全等的推理过程，判断两个三角形全等的推理过程，叫做证
16、明三角形全等。叫做证明三角形全等。全等三角形的判定定理全等三角形的判定定理1：三边对应相等的两个三角形全等，三边对应相等的两个三角形全等，简写为简写为“边边边边边边”或或“SSS”。 理性提升理性提升ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD思考：你能用思考：你能用“边边边边边边”解释三角形具有稳解释三角形具有稳定性吗？定性吗？ 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。全等。例例11. 如下图，如下图，ABC是一个刚架，是一个刚架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支
17、架。的支架。 求证：求证： ABD ACD 要证明要证明 ABD ACD，首先看，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。这两个三角形的三条边是否对应相等。 理性提升理性提升 方法构想方法构想例例11. 如下图，如下图，ABC是一个刚架，是一个刚架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架。的支架。 求证：求证： ABD ACD 理性提升理性提升证明：证明：D是是BC的中点的中点BD=CD在在ABD与与ACD中中AB=AC（已知）（已知）BD=CD（已证）（已证）AD=AD（公共边）（公共边）ABD ACD（SSS） 例例2:2:如图，如图，AB=ACAB=AC，AE=ADAE=
18、AD，BD=CEBD=CE，求证：求证：AEB AEB ADC ADC。CABDE 方法构想方法构想两个三角形中已经的两组边对应两个三角形中已经的两组边对应相等相等,只需要再证第三条边对应相只需要再证第三条边对应相等就行了等就行了.证明：证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即即BE=CD。CABDE在在AEB和和ADC中，中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss) 例例2:2:如图，如图，AB=ACAB=AC，AE=ADAE=AD，BD=CEBD=CE，求证：求证：AEB AEB ADC ADC。我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知我们利用前面的结论，还可
19、以得到作一个角等于已知角的方法。角的方法。例3：已知AOB求作：AOB=AOB作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； 2、画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C； 3、以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D； 4、过点D画射线OB，则AOB=AOBCCOABDOABD分析已有条件分析已有条件,准备所缺条件：准备所缺条件：证全等时要用的间接条件要先证好；证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来
20、 写出全等结论写出全等结论全等三角形证明的基本步骤：全等三角形证明的基本步骤： 小结归纳小结归纳1、已知：如图，、已知：如图，AB=AD，BC=CD， 求证求证：ABC ADCABCD 随堂练习随堂练习2、如图，、如图，AB=CD，AC=BD，ABC和和DCB是否全等？试是否全等？试说明理由。说明理由。 A ABCD证明：在证明：在ABCABC与与ADCADC中中 AB=ADAB=AD BC=DC BC=DC AC=AC AC=AC ABC ABC ADCADC解：解：ABC与与DCB全等，全等，理由如下：理由如下：在在ABCABC与与DCBDCB中中 AB=CDAB=CD BC=CB BC=
21、CB AC=BD AC=BD ABC ABC DCBDCB 中考链接中考链接 已知如图：已知如图：AC=FE，BC=DE，点，点A，D，B，F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB求证：求证：ABC FDE， 当堂测试当堂测试如图，已知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF.求证：求证：ADE CBF,A=CADBCFEADE CBFA=C证明证明:点点E,F分别是分别是AB,CD的中点的中点AE= AB, CF = CDAB=CD AE=CF在在ADE与与CBF中中 AE=CFAD=CBDE=BF12121. 三边对应相等的两个三角形全等
22、三边对应相等的两个三角形全等（边边边或（边边边或SSS）；）；2.证明全等三角形书写格式：准备条件；证明全等三角形书写格式：准备条件； 三角形全等书写的三步骤。三角形全等书写的三步骤。3、证明是由题设（已知）出发，经过一步步、证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。的推理，最后推出结论正确的过程。 小结归纳小结归纳全等三角形判定全等三角形判定 因铺设电线的需要，要测量因铺设电线的需要，要测量A A、B B两点的距两点的距离。（如图），因无法直接量出离。（如图），因无法直接量出A A、B B两点的距两点的距离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平离，现有一足够的米尺，
23、且池塘右面是开阔平地，你能想办法测出地，你能想办法测出A A、B B两点之间的距离吗？两点之间的距离吗？。AB知识回顾 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF用用 数学语言表述数学语言表述：在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD探究1：画三角形，寻找全等的条件对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？ABCDE如图，如图， ABC和和ADE中，如中，如果果 DEAB，则，则A=A，B=ADE，C= AED，但但ABC和和
24、ADE不重合，所不重合，所以不全等。以不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等三个角对应相等的两个三角形不一定全等画一个三角形，使它得的三角分别为画一个三角形，使它得的三角分别为400、600、800你还能从身边找到这样的反例吗？你还能从身边找到这样的反例吗？做一做：画做一做：画ABC,使使AB=3cm，AC=4cm，A=45 。画法：画法：2. 在射线在射线AM上截取上截取AB= 3cm3. 在射线在射线AN上截取上截取AC=4cm1. 画画MAN= 454.连接连接BCABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角
25、形进行比较，它们能互相重合吗？形进行比较，它们能互相重合吗？探究2三角形全等判定方法三角形全等判定方法2 2用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中AB=DEB=EBC=EFABC DEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的两边和它们的夹角夹角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形全等。全等。简写成简写成“边角边边角边”或或概念运用：概念运用：1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在成立：如图，在AOB和和DOC中，中，AO=DO（已知）（已知）_ = _ （ )BO=CO(已知）已知）ABC DEF（ ）SAS对顶角
26、相等对顶角相等AOBDOC2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在成立：如图，在AEC和和ADB中，中，_=_（已知）（已知）A = A （公共角（公共角)_=_(已知）已知）AEC ADB（ ）AEADACABSAS3.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图成立：如图在在ABD和和DCB中，中，AD=CB（已知）（已知）_ = _ （已知（已知)BD=_( ）ABD CDB（ SAS ）ADBCBDDB公共边公共边总结体会：总结体会：1.1.已知：如图，已知：如图， AB=CB AB=CB
27、， ABD= CBD ABD= CBD ABD ABD 和和 CBD CBD 全等吗？全等吗？学以致用学以致用分析分析: ABD ABD CBD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD= CBD(ABD= CBD(已知已知) )？ABCD(SAS)BD=BD (公共边）公共边）证明：在证明：在 ABD 和和 CBD 中中 BA=BC（已知）（已知） ABD=CBD（已知）（已知） BD=BD(公共边）公共边） ABD CBD（SAS）追问：例追问：例1的已知条件不改变的已知条件不改变, 问问AD=CD吗吗? ?BD平分平分ADC吗？吗？ 已知：如图，已知：如图， AB=CB AB
28、=CB ， ABD= CBD ABD= CBD 。问问AD=CDAD=CD， DB平分平分 ADC 吗？吗？例题例题推广推广ABCDABCD变式：变式： 已知已知:AD=CD:AD=CD， BD BD 平分平分 ADC ADC 。 问问A= C A= C 吗？吗？2.2.已知：如图，已知：如图， AO=BO AO=BO ，DO=CODO=CO求证：求证：ADCB归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。练习：练习：1.如图，如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断，你能判断BC=AD
29、吗？说明理由。吗？说明理由。ABCDABCD2.已知：四边形已知：四边形ABCD中，中，ABCD，且，且AB=CD求证：求证：AD=BCBDOAC综合提高综合提高已知：已知：AB=AD，CB=CD.求证：求证：ACBD.分析：欲证ACBD，只需证AOB= AOD，这就要证明 ABO ADO，它已经具备了两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证BAO= DAO，为了证明这一点，还需证明ABC ADC.证明：证明： 在在ABC 和和ADC中，中，AB = AD (已知），已知）， CB = CD（已知），（已知），AC = AC (公共边）公共边） ABC ADC（SSS），）， BAO =
30、 DAO (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）在在ABO 和和ADO中，中，AB = AD (已知），已知）， BAO = DAO (已证），已证），AO= AO (公共边）公共边） ABO ADO（SAS），）， AOB = AOD (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） AOB = AOD= 90. ACBD(垂直定义）垂直定义）. 又又AOB + AOD =180(邻补角定义）邻补角定义）如右图，如右图， 因铺设电线的需要，要测量因铺设电线的需要，要测量A A、B B两点的距两点的距离。（如图），因无法直接量出离。（如图），因无法直接量出A A、B B两点的距两
31、点的距离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平离，现有一足够的米尺，且池塘右面是开阔平地，你能想办法测出地，你能想办法测出A A、B B两点之间的距离吗？两点之间的距离吗？。AB问题探究问题探究小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和和B处的点处的点C，连结，连结AC并延长至并延长至D点，使点，使AC=DC，连结，连结BC并延长至并延长至E点，点，使使BC=EC，连结，连结DE，用米尺测出，用米尺测出DE的长，这个长度就等于的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。两点的距离。请你说明理由。BAEDC 以以2.5cm，3.5cm为三角形
32、的两边，长度为三角形的两边，长度为为2.5cm的边所对的角为的边所对的角为4040 ，情况又怎，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两两边及其一边所对的角相等，两个三角形个三角形不一定不一定全等全等探究2 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD知识回顾知识回顾: :在在ABC与与DEF中中ABC
33、 DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或知识回顾知识回顾: :FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知识梳理知识梳理: :DCBAABDABC1.若若AB=AC，则添加，则添加一个一个什么条件可得什么条件可得ABD ACD?ABD ACDAB=ACABDCBAD= CADSA SAD=ADBD=CDS2.如图，要证如图，要证ACB ADB ，至少选，至少选用哪些条件用哪些条件?ABCDACB ADBSASAB=AB CAB= DAB AC=ADSBC=BD？回首往事：回首往事：1.什么样的
34、图形是全等三角形？什么样的图形是全等三角形？2.判断三角形全等至少要有几个条件？判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件答：至少要有三个条件边边边公理边边边公理： 有有三边三边对应相等的两个三角形全等。对应相等的两个三角形全等。边角边公理边角边公理： 有有两边两边和它们和它们夹角夹角对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。三角形全等。ABCABC问题：问题： 如果已知一个三角形的如果已知一个三角形的两角及一边两角及一边，那，那么有几种可能的情况呢？么有几种可能的情况呢？答：答：角边角（角边角（ASA） 角角边（角角边（AAS） 先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画一个，再画一个
35、A/B/C/，使使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使两角和它们的夹边对应相等即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的把画好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它们全等吗？上，它们全等吗？探究探究5B BA AC C画法：画法：1、画、画A/B/AB；2、在、在 A/B/的同旁画的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点交于点C/。通过实验你发现了什么规律？通过实验你发现了什么规律？ACBABCED已知：任意已知：任意 ABC，画一个，画一个 A/B/C/，使使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ： A/B/C/就是所要画的三角形。就
36、是所要画的三角形。CDAABEA=A （已知已知 ） AB=AC（已知已知 ）B=C（已知已知 ）在在ABE和和ACD中中 ABE ACD（ASA）用数学符号表示用数学符号表示: 两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：如图，应填什么就有如图，应填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知）（已知） ,1=2, （已知）（已知）AOC BOD (ASA)OACDBAO=BO 两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可
37、以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。12例题讲解例题讲解例例1.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交相交于点于点O，AB=AC，B=C。 求证：求证：(1)AD=AE; (2)BD=CE。 证明证明 ：在在ADC和和AEB中中A=A（公共角公共角）AC=AB（已知已知）C=B（已知已知）ACD ABE（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已知已知） BD=CEDBEAOC1.如图如图,O是是AB的中点，的中点，A= B， AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和夹边两角和
38、夹边对应相等对应相等BABOAOBODAOC BODAOCDD)(ASABODAOCDD和(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中2. 如图，点如图，点B、E、C、F在一条直线上，在一条直线上，ABDE，ABDE，AD 求证：求证：BE=CFFEDCBA 小明踢球时不慎把一块小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块三角形玻璃打碎为两块,他是他是否可以只带其中的一块碎片否可以只带其中的一块碎片到商店去到商店去,就能配一块于原来就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢一样的三角形玻璃呢? 如果可以如果可以,带哪块去合适带哪块去合适呢呢?为什么为什么?(2)(1)CB
39、EAD(1)(2)探究探究6 如下图，在如下图，在ABC和和DEF中中,A D, BE, BCEF, ABC与与DEF全等吗？能利用全等吗？能利用角边角角边角条件证明你的结论吗？条件证明你的结论吗？E EF FD DB BA AC C在在ABC和和DEF中中,A +B +C1800, D +E +F =1800, A D, BE, CF, BE, BCEF, CF, ABC DEF （ASA）CDAABEAE=AD（已知已知 ）A=A （已知已知 ） B=C（已知已知 ）在在ABE和和ACD中中 ABE ACD（AAS）用数学符号表示用数学符号表示:两个角两个角和其中和其中一个角的对边一个角的
40、对边对应相等的两个三角对应相等的两个三角形全等形全等（可以简写成（可以简写成“角角边角角边”或或“AASAAS”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：例例: 如图如图,O是是AB的中点，的中点，C= D， AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和对边两角和对边对应相等对应相等BOAOBODAOC BODAOCDDBODAOCDD和(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中C= D(AAS) 到目前为止到目前为止, ,我们一共探索出判定三我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是角形全等的四种规律，它们分别是: :1 1、边
41、边边、边边边 ( (SSS)3 3、角边角、角边角 ( (ASA) )4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角边 (SAS)练一练：练一练：1、如图、如图ACB=DFEACB=DFE，BC=EFBC=EF，根据，根据SAS,ASASAS,ASA或或AASAAS， 那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件 -，（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使ABCABCDEF.DEF.2、如图，、如图，BE=CD，1=2，则，则AB=AC吗？为什么？吗？为什么？ABCDEFAC=DFAC=DF或或B=EB=E或或A=DA=DCAB12EDAB=ACAB=AC相等相等知识应用知识
42、应用1. 如图，要测量河两岸相对的两点如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以的距离，可以在在AB的垂线的垂线BF上取两点上取两点C，D，使，使BC=CD，再定出，再定出BF的垂线的垂线DE，使，使A， C，E在一条直线上，在一条直线上，这时测得这时测得DE的长就是的长就是AB的长。为什么？的长。为什么？ABCDEF在在ABC和和EDC中中, B=EDC=900 BCDC, 12, ABC DEF （ASA） ABED.12证明：证明：2.2.如图如图,AB,ABBC, ADBC, ADDC, 1=2.DC, 1=2. 求证求证: AB=AD.: AB=AD. 知识应用知识应用在在ABC
43、和和ADC中中, B=D, 12, ACAC, ABC ADC （AAS） ABAD.证明：证明： ABABBC, ADBC, ADDC, DC, B=D=900, , 练练 习习 ACB= DEFAB=DEAB=DE、AC=DFA= D1 1、边边边、边边边 ( (SSS)3 3、角边角、角边角 ( (ASA) )4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角边 (SAS)(1) 图中的两个三角形全等吗图中的两个三角形全等吗? 请说明理由请说明理由.全等全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等个三角形全等.3535110110ABCD
44、DBCABCDABCBC DBCABCDD()AASABCDBCDD和解：在中(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)练练 习习相等吗？与，那么且，于，于中，）已知（DCBDCFBEFADCFEADBEABCD2DABCEFBEADCFAD，证明：90 (BEDCFD垂直的定义）中和在CDFBDEDDBEDCFD （已证）BDECDF 对顶（角相等）BECF（已知）BDECDF AASD D（）BDCD全等三角形对应（边相等）(3) 如图，如图，AC、BD交于点交于点O,AC=BD,AB=CD.求证：求证：BC) 1 (ODOA )2(ABCDO证明证明: (1)连接连接AD, 在在ADC和和
45、DAB中中AD=DA（公共边公共边）AC=DB（已知已知）DC=AB（已知已知）ADC DAB （SSS）C=B（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等） (2) 在在 AOB 和和 DOC中中 B = C （已证已证）1=2 （对顶角相等对顶角相等）DC=AB（已知已知）DOC AOB （AAS）OA=OD（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）12练练 习习综合应用综合应用1.如图，点如图，点E在在AB上，上，1=2，3=4，那么那么CB等于等于DB吗？为什么？吗？为什么？EDCBA4321-全等三角形判定全等三角形判定2.2.如图，如图，说出说出ABAB 的理由。的理由。
46、3. 3. 如图，如图，AB=DEAB=DE，AF=CDAF=CD，EF=BCEF=BC，A AD D，试说明：试说明：BFCE BFCE ABCDEF 4. 如图，在如图，在AFD和和BEC中，点中，点A、E、F、C在在同一直线上，有下列四个论断：同一直线上，有下列四个论断： AD=CB，AE=CF，BD， AC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。编一道数学问题，并写出解答过程。ABCDEF5. 如图，在如图，在ABC和和BAD中，中，BC = AD，请你，请你再补充一个条件，使再补充一个条件，使ABC BAD你补
47、充的你补充的条件是条件是 .DABCABCEF6. 已知：如图，已知：如图， AEF 与与ABC中，中， E =B, EF=BC.请你添加一个条件，请你添加一个条件，使使AEF ABC.对于添加条件使两三角形全等的问题，当已有两个对于添加条件使两三角形全等的问题，当已有两个条件（包括隐含条件）时，如何思考？条件（包括隐含条件）时，如何思考？7.在在ABC中中, ACB=90,AC=BC,直线直线MN经过经过点点C, ADMN于点于点D, BE MN于点于点E,（1）当直线）当直线MN旋转到如图旋转到如图(1)所示的位置时所示的位置时,猜想猜想线段线段AD、BE、DE的数量关系，并证明你的猜想。
48、的数量关系，并证明你的猜想。NMEDCBA图图(1)7.在在ABC中中, ACB=90,AC=BC,直线直线MN经经过点过点C, ADMN于点于点D, BE MN于点于点E,（2）当直线）当直线MN旋转到图旋转到图(2)的位置时的位置时,猜想线段猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想的数量关系，并证明你的猜想NMEDCBA图图(2)7.在在ABC中中, ACB=90,AC=BC,直线直线MN经经过点过点C, ADMN于点于点D, BE MN于点于点E,（3）当直线）当直线MN旋转到图旋转到图(3)的位置时的位置时,猜想线段猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想的数量关系
49、，并证明你的猜想NMEDCBA图图(3)（2010江苏南通）如图，已知：点江苏南通）如图，已知：点B、F、C、E在一条直在一条直线上，线上，FB=CE，AC=DF能否由上面的已知条件证明能否由上面的已知条件证明ABED？如果能，请给出证？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使添加到已知条件中，使ABED成立，并给出证明成立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）：供选择的三个条件（请从其中选择一个）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFEABDEFC11.2.4 三角形全等的判定三角形
50、全等的判定(HL)1：如图：如图:ABC DEF，指出它们的对应角、，指出它们的对应角、对应边。对应边。ADBECF2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ABDEACDFBCEFADBDEFACBF（SSS）、（）、（SAS）、（）、（ASA）、（）、（AAS）复习旧知 引入新知ABCA1B1C1如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量量. .你能
