1、定义及一般形式:v 只含有一个未知数只含有一个未知数,未知数的最高次数是未知数的最高次数是_的的_式方程式方程,叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。v一般形式一般形式:_二次二次整整axax2 2+bx+c=o (ao)+bx+c=o (ao)练习一练习一1、判断下面哪些方程是一元二次方程、判断下面哪些方程是一元二次方程222221x2y24(1)x -3x+4=x -7 ( ) (2) 2X = -4 ( )(3)3 X+5X-1=0 ( ) (4) 3x -20 ( )(5)13 ( )(6)0 ( )xy 练习二练习二2、把方程（、把方程（1-x x)(2-x x)=3-x x2 化为一
2、化为一般形式是：般形式是：_, 其二次项其二次项系数是系数是_,一次项系数是一次项系数是_,常数常数项是项是_.3、方程（、方程（m-2)x x|m| +3mx x-4=0是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则 （ ）A.m=A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2 2x2-3x-1=02-3-1C解一元二次方程的方法有几种解一元二次方程的方法有几种? ? 例例:解下列方程解下列方程v、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2=v2、用配方法解方程、用配方法解方程4x2-8x-5=0解解:两边开平方两边开平方,得得: x+2=
3、3 x=-23 x1=1, x2=-5右边开平方右边开平方后，根号前后，根号前取取“”。两边加上相等项两边加上相等项“1”。 解解:移项移项,得得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 = 解解:原方程化为原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 y1=-2 y2=141002 563x=先变为一般先变为一般形式，代入形式，代入时注意符号。时注意符号。83-把把y+2y+2看作一个看作一个未知数，变成未知数，变成(ax+b)(c
4、x+d)=(ax+b)(cx+d)=0 0形式。形式。3 3、用公式法解方程、用公式法解方程 3x 3x2 2=4x+7=4x+74 4、用分解因式法解方程：（、用分解因式法解方程：（y+2)y+2)2 2=3(y+2=3(y+2）4 同除二次项系数化为同除二次项系数化为1；移常数项到右边；移常数项到右边；两边加上一次项系数一半的平方；两边加上一次项系数一半的平方；化直接开平方形式化直接开平方形式;解方程。解方程。步骤归纳步骤归纳 先化为一般形式；先化为一般形式；再确定再确定a、b、c,求求b2-4ac； 当当 b2-4ac 0时时,代入公式代入公式:242bbacxa-=步骤归纳步骤归纳若若
5、b2-4ac0,方程没有实数根。方程没有实数根。右边化为右边化为0,左边化成两个因式左边化成两个因式的积；的积；分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解。，求解。步骤归纳步骤归纳选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程v1 1、 (2x+1) (2x+1)2 2=64 =64 ( ( 法法）v2 2、 (x-2) (x-2)2 2- -(x+(x+) )2 2=0 =0 ( ( 法法）v3 3、( (x-x-) )2 2 -(4-(4-x)=x)= ( ( 法法）v4 4、 x x- -x-10=x-10= ( ( 法法）v5 5、 x x- -x-x-= = ( ( 法法
6、）v6 6、 x xx-1=0 x-1=0 ( ( 法法）v7 7、 x x -x-x-= = ( ( 法法）v8 8、 y y2 2- y-1=0- y-1=0 ( ( 法法） 2小结：选择方法的顺序是：小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 分解因式法分解因式法 配方法配方法 公式法公式法分解因式分解因式分解因式分解因式 配方配方公式公式配方配方公式法公式法公式公式直接开平方直接开平方练习三练习三一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用把握住：把握住：一个未知数，最高次数是一个未知数，最
7、高次数是2， 整式方程整式方程一般形式：一般形式：ax+bx+c=0（a 0）直接开平方法：直接开平方法： 适应于形如（适应于形如（x-k） =h（h0）型）型 配方法：配方法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程公式法：公式法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程因式分解法：因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是右边是0的方程的方程1.解方程解方程: (x+1)(x+2)=62. 已知已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求求a2+b2 的值。的值。中考直击中考直击思考思考某数学兴趣小组对关于某数
8、学兴趣小组对关于X的方程的方程 提出了下列问题：提出了下列问题：（1）若使方程为一元二次方程，）若使方程为一元二次方程，m是否存是否存在？若存在，求出在？若存在，求出m并解方程并解方程（2）若使方程为一元一次方程，）若使方程为一元一次方程， m是否是否存在？若存在，请求出存在？若存在，请求出01) 2() 1(12xmmmx若关于若关于X的一元二次方程的一元二次方程012) 2(2aaxax没有实数根，求没有实数根，求03ax的解集（用含的解集（用含a的式子表示）的式子表示）已知已知a、b、c为三角形的三边，且关于为三角形的三边，且关于X的方程的方程 有两个相等的实根，试判断此三角形的形状。有
9、两个相等的实根，试判断此三角形的形状。0)()( 2)(2baxabbcx益群精品店以每件益群精品店以每件21元的价格购进一元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，批商品，该商品可以自行定价， 若若每件商品售价每件商品售价a元，则可卖出（元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过利润不得超过20%，商店计划要盈利，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？应定价多少？（2006。南京）西瓜经营户以。南京）西瓜经营户以2元元/千克的千克的价格购进一批小型西瓜，以价格购进一批小型西瓜，以3元元/千
10、克的价千克的价格出售格出售,每天可售出每天可售出200千克千克.为了促销为了促销,该该经营户决定降价销售经营户决定降价销售.经调查发现经调查发现,这种小型这种小型西瓜每降价西瓜每降价O.1元元/千克，每天可多售出千克，每天可多售出40千克千克.另外，每天的房租等固定成本共另外，每天的房租等固定成本共24元元.该经营户要想每天盈利该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元克小型西瓜的售价降低多少元?某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂价为某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂价为3000元元台）以台）以4000元元台销售时，平均每月台销售时，平均每月可销售可销售100
11、台，现为了扩大销售，销售商决定降台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售在原一月份销售量的基础上，经二月份的价销售在原一月份销售量的基础上，经二月份的市场调查，三月份降价销售（保证不亏本）后，市场调查，三月份降价销售（保证不亏本）后，月销售额达到月销售额达到576000元，已知电脑价格每台下元，已知电脑价格每台下降降100元，月销售量将上升元，月销售量将上升10台。台。（1）求一月份到三月份销售额的月平均增长率？）求一月份到三月份销售额的月平均增长率？（2）求三月份时，该电脑的销售价格？）求三月份时，该电脑的销售价格？要建一个面积为要建一个面积为150平方米的长方形养鸡平方米的长方形养鸡场，为了
12、节约材料，鸡场的一边靠着原有场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为的一面墙，墙长为a米，另三边用篱笆围米，另三边用篱笆围成，如果篱笆的长为成，如果篱笆的长为35米，米，（1）求鸡场的长与宽各是多少？）求鸡场的长与宽各是多少？（2）题中墙的长度对题目的解起着怎样）题中墙的长度对题目的解起着怎样的作用？的作用？某人将某人将2000元人民币按一年定期存入银行，元人民币按一年定期存入银行，到期后支取到期后支取1000元用于购物，剩下的元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和若银行存款的利率不
13、变，到期后得本金和利息共利息共1155元，求这种存款方式的年利元，求这种存款方式的年利率率 x（安徽）据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，（安徽）据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，但合理利用量十分有限，2007年的利用率只有年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了。假定我省每，大部分秸秆被直接焚烧了。假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使的增长率相同，要使2009年的利用率提高到年的利用率提高到60%，求每年的增长率。，求每年的增长率。学校生物小组有一块长学校生物小组有一块长32米、宽米、宽20米的矩
14、形米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为种植面积为540平方米，小道的宽应是多少？平方米，小道的宽应是多少？一个小球以一个小球以10m/s的速度在平坦地面的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来后小球停下来 （1）小球滚动了多少时间）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少）平均每秒小球的运动速度减少多少多少? （3）小球滚动到）小球滚动到5m时约用了多少时约用了多少时间（精确到时间（精确到0.1
15、s）?如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，AB6cm，BC12cm，点从，点从A开始沿开始沿AB边向点边向点B以以1厘米厘米/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始沿开始沿BC边向点边向点C以以2厘米厘米/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q分别是分别是从从A、B同时出发，求经过几秒时，同时出发，求经过几秒时，PBQ的面积等于的面积等于 8 平方厘米？平方厘米？五边形五边形APQCD的面积最小？最小值是多的面积最小？最小值是多少？少？DCQBAP某商店经销一种销售成本为每千克某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产元的水产品，根据市场分析，若每千克品，根据市场分析，若每千克5
16、0元销售，一个元销售，一个月能售出月能售出500千克，销售单价每涨千克，销售单价每涨1元，月销售元，月销售量就减少量就减少10千克，针对这种水产品情况，请解千克，针对这种水产品情况，请解答下列问题：答下列问题：（3）商店想在月销售成本不超过）商店想在月销售成本不超过10000元的情元的情况下，使得月销售利润达到况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价元，销售单价应为多少？应为多少？（2007年湖北宜宾）某商场将某种商品的年湖北宜宾）某商场将某种商品的售价从原来的每件售价从原来的每件40元经两次调价后调至元经两次调价后调至每件每件32。4元元（1）若该商店两次调价的降价率相同，求）若该商店两
17、次调价的降价率相同，求这个降价率这个降价率（2）经调查，该商品每降价）经调查，该商品每降价0。2元，可多元，可多销售销售10件。若该商品原来每月可销售件。若该商品原来每月可销售500件，件，则两次调价后，每月可销售该商品多少件？则两次调价后，每月可销售该商品多少件？（2007年四川）在一幅长年四川）在一幅长8分米，宽分米，宽6分米的分米的矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，矩形风景画的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是积是80平方分米，求金色纸边的宽。平方分米，求金色纸边的宽。如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面
18、如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面米，花坛的面积需要积需要1080平方米，若墙长平方米，若墙长50米，求花坛的长和米，求花坛的长和宽宽 （1）一变：若墙长）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽米，求花坛的长和宽 （2）二变：若墙长）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽米，求花坛的长和宽（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？有何影响？一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的判别式
19、、根与系数的关系根与系数的关系一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能独立形成综合题。独立形成综合题。一元二次方程一元二次方程ax 2bxc0（a0）的判别式：）的判别式：=b 24ac0方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根=0方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根0方程没有实
20、数根方程没有实数根0方程有两个实数根方程有两个实数根上述命题的逆命题也正确上述命题的逆命题也正确例例1：不解方程判断下列方程根的情况：不解方程判断下列方程根的情况 x-4x-1=0 x+5=2x x-mx+m+1=0例例2：k取何值时，方程取何值时，方程4 x-（k+2）x+（k-1）=0 有一个根是有一个根是-1。 有两个相等的实根有两个相等的实根例例3：当：当m为何值时，方程（为何值时，方程（m-1）x+2mx+m+3=0无实根无实根 有实根有实根 只有一个实只有一个实根根有两个实根有两个实根 有两个不等实根有两个不等实根 有两有两个相等实根个相等实根分析 （1）只需0 （2）、分情况讨论
21、 m-1=0 0 且m-10 （3）当m-1=0时 （4）、 0 且 m-10 （5）、0 且 m-10 （6）、 =0 且 m-10 例例4：求证关于：求证关于x的方程的方程x-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。有两个不相等的实根。 证明：证明：=-（m+2） 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4不论不论m为何实数（为何实数（m-2）20（m-2）2+4一定是正数一定是正数 既既0方程方程x-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根一元二次方程的根与系数关系一元二次方程的根与系数关系一元二次方程的根与系数关系一元二次方程的根与系数关系(
22、或称韦达定理或称韦达定理)是是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：这个知识点的考查可以解决以下几个问题： 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的两个实数根是的两个实数根是x 1，x 2，那么，那么一：掌握常见变形，快速求值一：掌握常见变形，快速求值例例1：已知方程：已知方程2x 2-7x+2=0的两根为的两根为x 1和和x 2，求下，求下列各
23、式的值列各式的值（1）x 1 2+x 22 （2）（）（x 1-x 2）2 （3）（）（x 1-2）(x 2-2) (4) x 1 2 x 2 + x2 2 x2 -3二、已知方程的根，求另一根及某一系数二、已知方程的根，求另一根及某一系数例例2： (1)已知方程已知方程mx 24x30有一根是有一根是1，另一根是，另一根是_ (2)若方程若方程x 2kx30有一根是有一根是1，则，则k_三：以两个数为根作一元二次方程三：以两个数为根作一元二次方程以两个数以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程为根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)是是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0例
24、3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是：四、不解方程，求与根有关的代数式的四、不解方程，求与根有关的代数式的值值例例2 若若a、b为互不相等的实数，且为互不相等的实数，且a 23a10，b 23b+1=0 求求a 2-ab+b 2的值的值五、利用给出条件，确定一个一元二五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值次方程中某个字母系数的值例例1 选择题：若方程选择题：若方程3x 2(k 23k10)x3k0的两根互为相反数，的两根互为相反数，k的值为的值为 A5 B2 C5或或2 D0分析：不能只考虑到需两根和等于分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考，还要考虑到需虑到需0结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The End感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
