1、 一、一、 功功rFrFAcosrF 恒力的功恒力的功变力的功变力的功rdFdA物体在变力的作用物体在变力的作用下从下从a运动到运动到bYOXZbardFAbardFbadA2 23 3 功功 动能动能 动能定理动能定理积分形式：积分形式：rrdcosFdFbabaabA 在数学形式上，力的功等于力在数学形式上，力的功等于力 沿路径沿路径L从从a到到b的的线积分线积分。FF rF- -r图，图，A= =曲线下的面积曲线下的面积注意：注意：、功是标量，、功是标量， 有正、负。有正、负。0,20,20dAdA、功是过程量，只有物体的位置发生变、功是过程量，只有物体的位置发生变化的过程中才存在功。化
2、的过程中才存在功。、功的计算与参考系选择有关：同一个、功的计算与参考系选择有关：同一个力对同一质点在同一过程中作的功因参考力对同一质点在同一过程中作的功因参考系的不同而异。系的不同而异。静f（1）平均功率平均功率tAP（2） 功率功率ddAPttAPt0limddAtddrFtvFvFp12d() dbbabnaaAFrFFFr12nniiAAAA合力的功合力的功功功 率率 例例1 在在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口需作功多少？求一
3、桶水从水面提到井口需作功多少？解解：dA=Fcos dy =(m0.2y) gdyJgymgygdyymA882 )22 . 0( )2 . 0(1002100YOdyyF10m二、质点的动能定理二、质点的动能定理根据功的积分形式根据功的积分形式 baabArFdbatsma d222121abmvmvstvmbaddd batsF d bavvvmv dYOXZbardF a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。点动能减小。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量，功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系它们之间仅仅是一
4、个等量关系。 b.动能的量值与参考系有关。动能的量值与参考系有关。c.动能定理只适用于动能定理只适用于惯性系惯性系。注意：注意： 合外力所作的功质点动能的增量合外力所作的功质点动能的增量 kkakbabEEEA 221mvEk 定义质点的动能为：定义质点的动能为： 例例 一条均匀链条，质量为一条均匀链条，质量为 m，总长为，总长为 l，成直线状放，成直线状放在桌面上，设桌面与链条之间的摩擦系数为在桌面上，设桌面与链条之间的摩擦系数为。现已知链条。现已知链条下垂长度为下垂长度为 a 时，链条开始下滑。试用动能定理计算链条刚时，链条开始下滑。试用动能定理计算链条刚好全部离开这个桌面时的速率。好全部
5、离开这个桌面时的速率。Oxaxdx定理，建立坐标系，由动能解：以链条为研究对象对下垂部分对下垂部分a：Oxal x 22122alglmxgdxlmdAAlalaPP对桌面上部分对桌面上部分 l-a:xdfdAfxdxallmgxNdxdfOxaxdxOxal x将（将（2）式和（）式和（3）式代入（）式代入（1）式得）式得所以有所以有例例2 在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻力跟深度成正比力跟深度成正比 f = Ky。 第一锤钉子进入木第一锤钉子进入木板板1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(每一锤外力所作的功
6、相同每一锤外力所作的功相同)解：第一锤阻力作功解：第一锤阻力作功A1101011cosdyfdAAyoydy1cmf221 10210KKyKydy所以所以22212KKKy第二锤阻力作功第二锤阻力作功A2yKydyA12221 2KKy AAA12cmy414. 12 由动能定理知由动能定理知 24 保守力 成对力的功 势能一、保守力一、保守力1. 重力的功重力的功质量质量m的物体，的物体，从高度从高度h1h2重力的元功重力的元功:dA=mgcos drohh1h2rdgm又又 cos dr= -d hdrmgAcos122121)(mghmghdhmghh 重力作功只跟始末位置有关，跟重力
7、作功只跟始末位置有关，跟路径无关，这种力称保守力。重力是路径无关，这种力称保守力。重力是保守力。保守力。ohh1h2rdgmdhcos dr=-dhdr2. 2. 弹力的功弹力的功在弹性力在弹性力xkF 的作用下，从的作用下，从 x1x2 弹弹力所作的功力所作的功dA=Fcos dx = kx (1) dx222112212121kxkxkxdxAxx弹力也是保守力弹力也是保守力图39oxx1dxx2xF(dx 0) r1r2rfm1l d1m22r 3. 3. 引力的功引力的功 引力的元功：引力的元功：ldrmmGdAcos221drldldldcos)cos(cosdrrmmGdA221d
8、rdlm2在在m1 m2引力作用下，从引力作用下，从12引力所作的功引力所作的功4.4.保守力的数学表达式保守力的数学表达式0rdFA保保 质点沿一闭合路径绕行一周，力所作质点沿一闭合路径绕行一周，力所作的功为零，该力称保守力。的功为零，该力称保守力。)11(21212211221rrmGmdrrmGmArr万有引力也是保守力！万有引力也是保守力！二、成对力的功二、成对力的功2rm11r2F1F1rd2rdm2xy设设:质点质点m1和和m2, 它们之间的相互用力为它们之间的相互用力为 和和1F2F111rdFdA222rdFdA12FF结论结论:成对力的总功与参考系的选择无关成对力的总功与参考
9、系的选择无关,其大小只取决于其大小只取决于力和相对位移力和相对位移的乘积的乘积.221121rdFrdFdAdAdA2112111rdrdFrdFrdF21rdrd这里这里: : 是质点是质点m1相对于相对于m2的位移的位移m12r1r2F1F1rd2rdm2xy21rdrd1rdAvBv0SABfBAf计算摩擦力对计算摩擦力对A、B系统所作的功系统所作的功LfLfSSLf)(fLRfBABA 或三、势三、势 能能以上讨论了重力、弹力、引力的功以上讨论了重力、弹力、引力的功)11(212121222121rrGMmAkxkxAmghmghA引弹重 上三式等号左边是功，右边是能量的改变，上三式等
10、号左边是功，右边是能量的改变，这种能量只跟位置有关这种能量只跟位置有关，称为，称为位能位能(也称也称势能势能)。ppapooaEEEaoA两点势能之差保.为了确定为了确定a点的势能点的势能Epa, 先要确定先要确定势能零点势能零点Epo零势能点保aaooapardFAAE=)11(212122oaoaoarrGMmkxkxmghmghoapapoAEE保，则若 0A保保0, EpaEpo零势能点的选择要使势能的表达式比较简单！零势能点的选择要使势能的表达式比较简单！重力势能零点重力势能零点ho=0弹性势能零点弹性势能零点xo=0引力势能零点引力势能零点ro= 重力势能重力势能= mgha弹性势
11、能弹性势能221akx引力势能引力势能arGMm（1）势能曲线）势能曲线o)(hEphkEpEHHE重力势能重力势能kEpEE)(xEpxABo弹性势能弹性势能xpEEo0kEkEpE引力势能引力势能总结总结: (1)凡作功只取决于始末位置而与凡作功只取决于始末位置而与路径无关的路径无关的力叫保守力力叫保守力(2)只有系统相互作用力为保守力才能引入势能只有系统相互作用力为保守力才能引入势能(3)势能是物体组成系统所共有势能是物体组成系统所共有(5)保守力的功保守力的功=势能增量的负值势能增量的负值(4) 势能是位置函数势能大小与势能零点选取势能是位置函数势能大小与势能零点选取有关，两点的势能差
12、值却是绝对的有关，两点的势能差值却是绝对的 ）1212(pppEEEApEAddxFAdcosdxEFpxdd 表明：表明：保守力沿某坐标轴的分量等于保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。势能对此坐标的导数的负值。）1212(pppEEEA (6)利用势能曲线，可以判断物体在各个位利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。置所受保守力的大小和方向。例：例：(如图如图)弹簧下挂一重物质量为弹簧下挂一重物质量为 m ，弹簧的劲度，弹簧的劲度系数为系数为k 原长为原长为l0，分析系统在任意位置处势能大小，分析系统在任意位置处势能大小0 xx解：解：建立坐标，平衡位置建
13、立坐标，平衡位置为弹性势能和重力势能的零点为弹性势能和重力势能的零点距平衡位置为距平衡位置为x 处系统势能为处系统势能为l0lklxkxmgxklxlkmgxEp2222121)(21由平衡位置条件：由平衡位置条件：mg=kl221:kxEp得（1）代入（代入（1）式）式得：得：mgx=klxxo一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理 设质点系中有设质点系中有n个质点，每个质点受外力个质点，每个质点受外力F, 内力内力f，利用质点的动能定理，对第利用质点的动能定理，对第i个质点有个质点有2022121 )(iiiibabaiiibaiivmvmrdfrdFrdfFArdfArdFAbaiib
14、aii内外2-5 2-5 质点系的功能原理质点系的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律对系统对系统 n 个质点求和个质点求和一力学系统所有外力作的功所有内力一力学系统所有外力作的功所有内力作的功系统总动能的增量作的功系统总动能的增量注意：注意：内力所作的功一般不为内力所作的功一般不为0。kiiiiiiiiEvmvmAAA2022121内外意义：意义： 弹丸击入沙箱前进一段距离弹丸击入沙箱前进一段距离.内力所作的内力所作的功功A内内 = f (s+l) + f s f = f所以所以 A内内= f l 0f fls二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理 对一个力学系统由对一个力学系统由1状态
15、变化到状态变化到2状态时，根状态时，根据质点系的动能定理据质点系的动能定理非保保内AAA 因此因此12kkEEAAA非保保外而而)(12ppEEA保 系统外力与非保守内力作功之和等于系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。系统机械能的增量。三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律如果如果0非保外AA(或只有保守力作功或只有保守力作功)则则 E2 = E1 系统机械能守恒系统机械能守恒 如果一个系统如果一个系统只有保守力作功只有保守力作功，其它内力，其它内力和一切外力都不作功，或所作功的代数和等于和一切外力都不作功，或所作功的代数和等于零，那么零，那么系统的总机械能保持不变。系统的总机械能
16、保持不变。（1）机械能守恒定律只机械能守恒定律只适用于惯性系适用于惯性系，不适合于非惯性系。不适合于非惯性系。（2）机械能守恒是对于系统而言机械能守恒是对于系统而言, ,机械能守机械能守恒必须明确是对于那些物体组成系统。恒必须明确是对于那些物体组成系统。(3)守恒条件守恒条件0非保外AA(4)系统系统保守内力的功保守内力的功使得系统动能和势能使得系统动能和势能相互转换相互转换,但不但不改变系统的机械能改变系统的机械能例题例题1(2-14)1(2-14) 在图中，一个质量在图中，一个质量m=2kg的物体从静止的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从开始，沿四分之一的圆周从A滑到滑到B，已知圆的半径，
17、已知圆的半径R=4m，设物体在，设物体在B B处的速度处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。摩擦力所作的功。 NGfORABvdcosdvfmgmt则则解：解：解法一，根据功的定义，对解法一，根据功的定义，对m受力分析受力分析. .dAf s 阻9000cosddvmgRmv v 221mvmgRdcosdvmgfmamtt解法二，解法二，根据根据动能定理动能定理21cos d2mgsAmv阻90201cosd2AmvmgR阻mgRmv221解法三，根据功能原理，解法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象以物体和地球为研究对象0eA,inAA阻pkEEA阻mg
18、Rmv2212142.4J2AmvmgR 得得负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功作功42.4J42.4J NGfrORBv 一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是就是普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律. . 例例2 2 如图所示质量为如图所示质量为M M 的物块的物块A A在离平板在离平板h h的高的高度
19、处自由下落，落在质量也是度处自由下落，落在质量也是M M 的平板的平板B B上。已知上。已知轻质弹簧的倔强系数为轻质弹簧的倔强系数为k k，物体与平板作完全非弹物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。图311hx1x2xABABAB0 解：解： 从物块从物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程：可分为三个物理过程： (1)物块物块A作自由落体运动，到作自由落体运动，到B时速度为时速度为v1;(2) 物块物块A和平板和平板B作完全非弹性碰撞，碰后速度作完全非弹性碰撞，碰后速度为为v2;(3) 碰撞后弹簧继续被
20、压缩到最大压缩量碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2。对每个物理过程列出方程：对每个物理过程列出方程：ghv2121)(vMMMv（1）（2） 第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取取x2位置为重力势能零点，则第三个过程方程为位置为重力势能零点，则第三个过程方程为222112222121)()()(21kxkxxxgMMvMM（3）图311hx1x2xABABAB0 在在A、B未碰撞前未碰撞前,B的重力跟所受弹力平衡的重力跟所受弹力平衡,因此有因此有k
21、x1 = Mg （4） 解解 (1)(2)(3)(4)式可得弹簧的最大压缩量式可得弹簧的最大压缩量x2kMghkMgkMgx22)(2图311hx1x2xABABAB0方法二方法二: 第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取取A落到落到B上后的平衡位置为坐标原点。此位置上后的平衡位置为坐标原点。此位置为重为重力势能与弹性势能的零点，则第三个过程方程为力势能与弹性势能的零点，则第三个过程方程为22122kx21kx21v)MM(21图311hxABABABA0 x-x1kMgx1kMghkMgx2)(:解得kMghkMgkMgx22)(2:解得1
22、22xxx又hxABABABA0 x-x1求求:木块滑到斜面底部时速度木块滑到斜面底部时速度解解:选取地球、M和m 组成系统 0vv水平方向动量守恒水平方向动量守恒00cos0mvvmMvv例例3、已知、已知: M 和和 m 接触面均光滑接触面均光滑,斜面高为斜面高为h,倾角为倾角为0:0速度为方向速度方向对地yvxMsincos:0vyvvxm速度为方向速度方向对地xyo解得解得:)sinmM)(mM(cosghm2v2222022021)sin(21)cos(21Mvvmvvmmgh由机械能守恒得；由机械能守恒得；例例4、一质量为、一质量为M的平顶小车静止在光滑的水的平顶小车静止在光滑的水
23、平面上，今有一平面上，今有一 质量为质量为m的小物体的小物体B以速度以速度v0滑到小车顶一端与小车一起运动，为使物体不滑到小车顶一端与小车一起运动，为使物体不从车顶滑下，则小车顶的长度从车顶滑下，则小车顶的长度L至少为？（已至少为？（已知知A、B间的摩擦系数为间的摩擦系数为 ）AvBv0解：解：对对A、B系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒vmMmv)(0由动能定理由动能定理S思考题思考题:质量为质量为M,半径为半径为R的四分之一光滑圆弧槽静止于的四分之一光滑圆弧槽静止于光滑水平地面光滑水平地面,质量为质量为m的物体由静止开始从的物体由静止开始从A滑到槽底滑到槽底B,求滑到求滑到B点时（点时（1）M、m对地的速度对地的速度.（2）m对对M的压力。的压力。RmOXmMvMBAV
