1、科目代码：601 科目名称：数学分析 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学南京航空航天大学2018 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷 ） 2018 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷 ） 科目代码: 601 科目名称: 数学分析 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！1. 计算下列极限(每题 6 分，共 12 分)。 (1).112lim (1
2、+)(1+)(1+)nnnnnn (2)3576401+3111lim121xxxxxxxx2. 计算下列积分(每题 6 分，共 12 分)。 (1) 20sin1cosxxdxx (2) 已知tannnIxdx，求此不定积分的递推公式。3. 证明函数( )f x在区间I上一致连续的充分必要条件是：对I中任意的数列,y ,nnx只要(y )=0,limnnnx 就有( ()li=m(y ) 0.nnnf xf (13 分)4. 证明导数极限定理： 设函数( )f x在点0 x的某邻域0()U x内连续， 在0()oUx内可导， 且极限0lim( )xxfx存在，则函数在点0 x可导，并且00(
3、)= lim( )xxfxfx. (13 分)5. 在计算定积分222220(1)1(1)(2)xdxxxx时有一个下面的做法： 因为2222(2)(1)1arctan1(1)(2)x xxxxxx，于是由 NewtonLeibniz 公式， 22222200(1)1(2)arctan0.(1)(2)1xx xdxxxxx你认为此做法有错吗？错在哪里？正确的做法应该怎样？(12 分)6判断积分+0cos21xxdxx的敛散性。如果收敛，进一步判断是条件收敛还是绝对收敛。(13 分)科目代码：601 科目名称：数学分析 第 2 页 共 2 页 7将函数( ), 0, f xx x展开为余弦级数，
4、并求级数211nn的和. （12 分）8讨论函数222222221sin,0( , )0,0 xyxyf x yxyxy 在点(0,0)处， （1）是否连续？（2）偏导数是否存在？ （3）是否可微？（4）偏导数是否连续？ （12 分）9设函数1cos( )dxtF xtt，证明( )F x在(1,)上连续. （12 分）10设为圆224xy，函数( , )f x y的绝对值等于点( , )x y到曲线的距离，其符号按下列方法确定：当点( , )x y在圆内部时为负号，外部时为正号. 若常数a满足02a，求二重积分( , )( , )d df x yaf x yx y.（13 分）11设在( , )|0Dx yy内，函数( , )f x y具有连续偏导数，且对任意的0t 都有 2( ,)( , )f tx tytf x y. 证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有( , )d( , )d0Lyf x yxxf x yy ?.（13 分） 12计算曲面积分32222d dd dd dx y zy z xz x yIxyz ?，其中是曲面222224xyz的外侧。 （13 分）
