1、 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 1 页 共 3 页 南京航空航天大学南京航空航天大学 2012018 8 年年硕士硕士研究生入学考试初试试题研究生入学考试初试试题（ A A 卷卷 ） 科目代码: 814 满分: 150 分 科目名称: 高等代数 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在所有答案必须写在答题纸答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15 分)设多项式baxxxxxf23432)(，且)(|22xfxx，这里符
2、号“|”表示多项式的整除. 1求ba,的值； 2若)(xf是 4 阶矩阵A的特征多项式，求A的全部特征值； 3若22 xx是A的最小多项式,证明：nEAEA)2()(秩秩，这里E是单位矩阵，以下各题相同. 二、(15 分) 设1V是由向量组TTTaaaa), 2(,)4, 2(,), 1, 1 (321生成的3R的子空间, 2V是由向量组TTTaaa) 1, 1,(,) 1, 1 (,), 1, 1 (321生成的3R的另一个子空间，这里“T”表示转置，以下各题相同 1若2)dim(1V，求a的值； 2若1V不是2V的子空间，求a的值； 3证明：213VVR. 三、(20 分)设A是nm实矩阵
3、. 1证明对任意n维列向量，方程组TTAAXA都有解； 2证明TTAAXA有唯一解的充分必要条件是秩nA )(; 3若2210,11101111aaaaaA,且AX无解，求TTAAXA的模（长度）最小的特解. 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 2 页 共 3 页 四、(20 分) 设3R的线性变换在基TTT) 1, 1, 1 (,)0, 1, 1 (,)0, 0, 1 (321下的矩阵是111223212aaA 1求在基TTT) 1, 0, 0(,)0, 1, 0(,)0, 0, 1 (321下的矩阵B; 2若有三个线性无关的特征向量，求a的值； 3若T)2, 3, 2(是的一个特征向
4、量，证明A不能与对角矩阵相似，并求A的 Jordan标准形. 五、(20 分) 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和为零，二次型XAXXfT)(经正交变换PYX 化为232266yy ，其中TTyyyYxxxX),(,),(321321. 1求矩阵A的全部特征值； 2求正交矩阵P； 3求矩阵A. 六、(20 分) 设A与B是两个n阶实幂等矩阵（即BBAA22,） ，且BAAB ，证明： 1若AAT且|xAxRxVn，则V的正交补为0|AyRyVn； 2存在可逆矩阵1P，使得000111rEAPP，其中r是矩阵A的秩； 3存在可逆矩阵P，使得APP1与BPP1同时为对角矩阵 七、(20 分) 设)(m是n阶矩阵A的最小多项式，)(f是一个次数大于零的多项式，证明： 1如果)(| )(mf，则)(Af不可逆； 2设)(d是)(f与)(m的一个最大公因式，则秩)(Af秩)(Ad； 3)(Af非奇异的充分必要条件是)(f与)(m互素 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 3 页 共 3 页 八、(20 分) 设BA,都是n阶正定矩阵，证明： 1多项式方程0 BA的根都是正数； 2设n,21是方程0 BA的n个根，则存在可逆矩阵P，使得 );,(diag2111nBPAP 3BA 的充分必要条件是方程0 BA的根都是 1.
