1、科目代码：601 科目名称：数学分析 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学南京航空航天大学2015 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷 ） 2015 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷 ） 科目代码: 601 科目名称: 数学分析 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！1. 计算下列极限(每题 6 分，共 12 分) . (1) 112lim(0
2、)ppppnnpn+?); (2) 3333lim ()xxxxxx+). 2. 计算下列积分(每题 6 分，共 12 分) . (1) 45cosdxx+ ; (2) 214011xdxx+. 3. 已知arctan ,yx=求(0).ny（ ）(提示：可以利用 Leibniz 公式)。 （12 分） 4. 下面的推理过程是否正确，为什么？（判断 3 分，理由 10 分） 对函数=0, 00,1sin)(2xxxxxf，在0, x上应用 Lagrange 中值定理得， 2111sin(2 sincos) ,(0, )xxxx= 即 111cos2 sinsin,(0, )xxx= 因为(0,
3、 )x，所以当0 x 时有0，于是由上式得 01cosl m0ix=，即01cosl m0i=. 5. 设函数( )f x在0,1上二阶可导，且在0,1上成立| ( )|1 | ( )|2f xfx，证明在0,1上成立| ( )|3.fx （13 分） 6. 半径为r的球恰好没于水中，球的密度为，现在要将其吊出水面，最少要做多少功？（设水的密度为0，重力加速度为g） （13 分） 科目代码：601 科目名称：数学分析 第 2 页 共 2 页 7. 证明函数)(xf=+021cosnnnx 在 2 , 0 内连续, 且有连续的导函数. （13 分） 8. 设函数),(yxfz =具有二阶连续偏导
4、数. 在极坐标cosrx =,sinry =变换下, 求+22xf22yf关于极坐标的表达式.（12 分） 9. 设 =+=+)0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1),(22)(22yxyxyxeyxfyxx, 求),(yxf在)0 , 0(点的 4 阶泰勒多项式， 并求出)0 , 0(2yxf，)0 , 0(44xf. （12 分） 10. 计算二重积分dxdyyxD+) (, 其中D是由坐标轴及抛物线1=+yx 所围区域. （13 分） 11. 计算曲面积分 + zdxdyydzdxxdydz, 其中为上半球面222yxRz= 的上侧. （12 分） 12. 设函数)(xf在 1 , 0 上连续, 且0)(xf. 研究函数 +=1 0 22)()(dxyxxyfyI 的连续性.（13 分）
