1、教学目的和要求：教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。无限增大时函数极限的定义。知识点：知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大无限增大时函数极限的定义。时函数极限的定义。重点：重点：两个定义及数列极限的性质两个定义及数列极限的性质难点：难点：x无限增大时函数极限的定义无限增大时函数极限的定义教学方式：教学方式：多媒体，讲授多媒体，讲授教学思路：教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释
2、如何定义，着重解释如何用精确的数学语言用精确的数学语言来表达对来表达对“无限无限增大增大”，“无限接近无限接近”这些直观的描述，再由数列极限这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到的定义推广到x无限增大时函数的极限无限增大时函数的极限.一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、三、数列极限的性质数列极限的性质 1.31.3数列的极限数列的极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1
3、A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1二、数列的定义二、数列的定义 . )( 为定义域的函数是以正整数集设Znf , )( | )( NnnfxxZffnn的值域将 , 增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn 得到的一串数： , , , ,21nxxx称为一
4、个数列, 记为 xn .1. 定义 数列也称为序列介绍几个数列介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例例1 ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 ) 1 (nn .2 :nnx 通项xnx2x1n214121x0 x381 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通项011nx212nxx,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )3(11nn.) 1( :1nnx通项xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )4(nnnn.) 1(1 nxnn通项：1
5、xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通项注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn n21nn) 1(11nn001, 时无限增大当由前面我们看到：n.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1
6、)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx预先任意给定一个正数预先任意给定一个正数 0, 不论它的值多么小不论
7、它的值多么小,当当 n 无限增大时无限增大时, 数列数列 xn 总会从某一项开始总会从某一项开始, 以后的所有项以后的所有项都落在都落在 U(1, ) 中中. 0 -1( 1) | 1| (1) 1 nnxn , 0 N（在（在 U(1, ) 外面只有外面只有有限有限项）项） , 时当Nn 其中,是描述点 xn 与点 0 无限接近的0度量标准, 它是预先任意给定的, 与xn的极限存在与否无关. . , 本身取决于数列是否存在nxNNN , ; ,则数列无极限存在则数列有极限不存在. , , NN所有大于则其不唯一存在如果 , .有关与并且的正整数均可取作为NN , , ),( 则值越小一般说来
8、可记为NN . 的值越大N 0 1n) 1(N-1 , 0 N , 时当Nn 1( 1)lim 11:nnn1+由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0 ,N = N().不等式1( 1)(1)1nn称为目标不等式.limaxnn一般地一般地, 如果数列如果数列xn 当当 n 时时, 列列xn 当当 n 时以时以 a 为极限为极限, 记为记为xn 可以无限地趋近某个常数可以无限地趋近某个常数 a, 则称数则称数此时此时, 也称数列也称数列是收敛的是收敛的.若若 xn 当当 n 时没有极限时没有极限, 则称则称 xn 发散发散.,0若若,0N时时
9、, ,使当使当 Nn |axn记为记为 ,limaxnn或或. )( naxn此时此时, 也称数列也称数列 xn 是收敛的是收敛的. , ,时的极限当为数列则称数成立nxan数列极限的定义：数列极限的定义：注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N几何解释几何解释:x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存
10、在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关，改变数列的前有限项，不改变其收敛性和极限数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于
11、一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 作为公式用作为公式用例例4(P36-6).lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证
12、且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 例例51. -N语言证明语言证明axnnlim.lim,|,),(0:. 5)(. 4)(. 3|. 20. 1axaxNnN，NNnaxnnnn成立有时当取对语言叙述证明再用取推出成立要使(关键关键:技巧是适当地放大不等式技巧是适当地放大不等式)说明说明: -N语言的应用有以下两个方面语言的应用有以下两个方面:练习练习P36-3及作业及作业的填空题（练的填空题（练的的选取）选取）2.2.用用“ -N”-N”语言语言, , 由一个已知极限
13、存由一个已知极限存在的数列在的数列, , 证明另一个数列的极限证明另一个数列的极限. .方法方法: : 对已知极限存在的数列应用对已知极限存在的数列应用“ -N”-N”语语言言, , 再从中再从中变形变形成所要证明的数列极限的成所要证明的数列极限的“ -N”-N”语言形式语言形式.(.(如例如例4)4)练习练习P36-5P36-5，6 6，7 7，8 8三、数列极限的性质三、数列极限的性质1.有界性有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自 然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列 nx有界有界, 否则否则, 称为无界称为无界. 例如
14、例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,但但不是充分条件不是充分条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. . 该定理的逆命
15、题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, (1) n .2.唯一性唯一性定理定理2 2想想, 如何证明它？若数列若数列 xn 收敛收敛, 则其极限值必唯一则其极限值必唯一.设数列设数列 xn 收敛收敛, 但其极限不唯一但其极限不唯一, 不妨设有：不妨设有：证证运用运用 . ,lim ,limbabxaxnnnn , 0 ,于是 ; | , , 0 11axNnNn时当 ; | , , 0 22bxNnNn时当 , , ,max 21时则当取NnNNN2 | | |bxaxbxxabannnn任任意意性性常常数数由由 的任意性的任意性, 上式矛盾上式矛盾, 故故 a = b . lim axnn
16、nx的任何一个子数列都收敛,且均以 a 为极限 . 充分必要条件 在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为 .knx例例6.) 1(lim 1nn求解解 ,) 1(1nnx. ,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :1nnx取子数列：取子数列： ,) 1( , 1, 1, 1, :1)1(212nnx ,) 1( , 1, 1, 1, :122nnx , 1) 1(limlim , 11limlim 212nnnnnnxx而 . ) 1(lim 1不存在故nn例例7
17、 . 8sin 的敛散性判别nxn解解利用函数的周期性利用函数的周期性, 在在 xn 中取两个子数列中取两个子数列: ,sin , ,2sin ,sin :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8sin kkn . 11lim)22sin(lim nnk此时 . )( 8sin :即极限不存在是发散的故由推论可知n四四.小结小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一
18、性有界性、唯一性.重点重点： -N语言应用语言应用思考题思考题指出下列证明指出下列证明1lim nnn中的错误。中的错误。证明证明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值nnln从而从
19、而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2lnn由均值不等式 1(111)2n2 / n2(1)2=1+1nnnnnnnnn 21nnn 或用后面讲的夹逼准则证明 练练 习习 题题1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割
20、，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一
21、、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割
22、之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数
23、列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限
