二重积分-ppt课件.ppt

1、二重积分二重积分 一一. .二重积分的性质二重积分的性质 二二. .二重积分的算法二重积分的算法 三三. .二重二重积分与积分与极坐标极坐标 四四. .二重积分的应用二重积分的应用学习内容：一一. .二重积分的性质二重积分的性质1.线性性质线性性质（其中: 是常数）( , )( , )( , )( , ) f x ygx y df x ydgx y dDDD2.对区域的有限可加性对区域的有限可加性若区域D 分为D1，D2两个部分区域 ,则：f x y df x y df x y dDDD( , )( , )( , )213.若在区域若在区域D上总有上总有f x yx y( , )( , )DD

2、dyxdyxf),(),(，则有不等式，则有不等式dyxfdyxfDD),(),(4.若在区域若在区域D上有上有fx y(,) 1为区域D的面积）1ddDD（5.估值不等式估值不等式设M与m分别是函数Z=f(x,y)在D上的最大值与最小值，DMdyxfm),(是D的面积6.中值定理中值定理若f(x,y）在闭区域上连续， 是D的面积，则在D内至少存在一点 使得(,) Dfdyxf),(),(例例1：估计二重积分 DdyxI) 94(22的值，D是圆域xy224解: 求被积函数 在区域 上可能的最值94),(22yxyxf0802yyfxxf(0,0)是驻点，f(0,0)=9，在边界上：) 22(

3、3259)4 ( 4),(222xxxxyxf25),(13yxf25maxf9minf，1004254936I于是有：例例2：比较积分DdyxI)ln(1DDdyxIdyxI)(,)(322，的大小其中D是由直线21, 0, 0yxyx1 yx和所围成的解：因为积分域D在直线想x+y=1的下方，所以对于任意点Dyx),(均有121yx从而有0)(2yxyx而0)ln( yx故由二重积分的性质得321III二二. .二重积分的算法二重积分的算法在区间a,b上任意取一个点x0作平行于yoz面的平面x=x0这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间(),()1020 xx为底，曲线zf xy(, )0为

4、曲边的曲边梯形,其面积为Axfxyd yxx()(,)()()001020该曲顶柱体的体积为VA xadxf x y dy dxbxxab( )( , )( )( )12D D: : x x1 1( (y y) ) x x x x2 2( (y y) ) c c y y d dI = )()()d( yxyxxy,xf0y x x2( (y y) )x x1 1 ( (y y) )cdy Dyxy,xfId)d(二重积分计算的两种积分顺序D D0y xcdyD D x2( (y y) )x x1 1 ( (y y) )I = 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,x

5、fId)d( )()()d( yxyxxy,xfD D: : x x1 1( (y y) ) x x x x2 2( (y y) ) c c y y d d0y xcdy dcydD DD D: : y y1 1( (x x) ) y y y y2 2( (x x) ) a a x x b b0y xI =ab y y1 1( (x x) ) y y2 2( (x x) )D D x2( (y y) )x x1 1 ( (y y) )x )()(d),(xyxyyyxfI =二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()()d( yxyxxy,xfD

6、D: : x x1 1( (y y) ) x x x x2 2( (y y) ) c c y y d d0y xcdyD D0y xI =ab y y1 1( (x x) ) y y2 2( (x x) )D D x2( (y y) )x x1 1 ( (y y) )x6.6. 二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()(d),(xyxyyyxfI = )()()d( yxyxxy,xf dcydD D: : x x1 1( (y y) ) x x x x2 2( (y y) ) c c y y d dD D: : y y1 1( (x x) )

7、y y y y2 2( (x x) ) a a x x b b0y xcdyD D0y xI =ab y y1 1( (x x) ) y y2 2( (x x) )D D x2( (y y) )x x1 1 ( (y y) )x baxd二重积分计算的两种积分顺序二重积分计算的两种积分顺序. Dyxy,xfId)d( )()(d),(xyxyyyxfI = )()()d( yxyxxy,xf dcydD D: : x x1 1( (y y) ) x x x x2 2( (y y) ) c c y y d dD D: : y y1 1( (x x) ) y y y y2 2( (x x) ) a

8、 a x x b b所所围围区区域域 与与 xyxyDyxxyD : , dd 11y = x20y xD2 先对先对 y 积分（从下到上）积分（从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形 Dddyxxy xxyxyd xd xxyyxxdd 1053d)(21xxx241 3 先对先对 x 积分（从左到右）积分（从左到右）. Dddyxxyy = x yyxxyd yd241 .例3：用两种顺序计算一一 先对先对x积分积分yxoabDyxoabDyxoabD baybaxyxfyId),(d bybaxyxfyId),(d bbyaxyxfyI)(d),(d.1 byax.例4：将二重积分

9、化成二次积分 Dyxy,xfId)d(二二 先对先对 y 积分积分yxoabyxoabyxoabDDD axabyyxfxId),(d. abxabyyxfxId),(d aaxbyyxfxI)(d),(d1 byax. Dyxy,xfId)d(举例说明如何交换二次积分的次序 （1） 对于给定的二重积分 先根据其积分限 画出积分区域D （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限 （3） 写出结果,),()()(21xxbadyyxfdx),()(,21xyxbxa),()(,21yxydyc.),(),()()()()(2121yydcxxbadxyxfdydyyxfdx例例1

10、 1 将将 交换积分次序交换积分次序 。ydxyxfdy010),(解：由解：由 得积分区域得积分区域ydxyxfdy010),(Dyx 010 y：令令 ， ， ， ，画出，画出 的示意图如图。的示意图如图。x0yx y01yD11oxyxy 因为因为 ，所以，所以D10 x1 yx：ydxyxfdy010),(110),(xdyyxfdx画出画出 的示意图如图。的示意图如图。例例2 2 将将 交换积分次序。交换积分次序。解：由解：由 得积分区域得积分区域D10 xxy10：令令 ， ， ， ，x01xy0 xy1D11oxyxy1因为因为 ，所以，所以Dyx1010 y：1010),(xd

11、yyxfdx1010),(xdyyxfdx1010),(xdyyxfdx1010),(ydxyxfdy极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素 DyxfId),(将将变换到变换到极坐标系极坐标系0D用用坐标线坐标线: : = =常数常数；r r = =常数常数 分割区域分割区域 D i iriri+1iiirr .ir iiiiiirrrr2)( ),(iiiiiiiirrsin ,cos iiinif),(lim1 iiiiiiinirrrrf)sin,cos(lim1 Drrrrfdd)sin,cos(. .i. 是平均值)是平均值)ir ( i i i i i i + + i iI =

12、r ri iiiiiirrr21)(2122 r cos ,rx ,rysin ? d .,d .三三. .二重积分与极坐标二重积分与极坐标怎样利用极坐标计算二重积分1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE)(1 r)(2 r DD:)()(21 rrr rrrrrfrrd)sin,cos( )()(21 DyxyxfIdd),( Dyxy,xfId)d(r怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 D:)()(21 rrr . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(

13、1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)0ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 dD:)()(21 rrr . 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r, 上、下限；上、下限；2 2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0)( r Drrrrfrd)sin,cos( )(

14、0 rD:)(0 rr 20 DyxyxfIdd),(怎样利用极坐标计算二重积分(2) Dyxy,xfId)d(r)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd)sin,cos( )(0 D0怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2). Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd )sin,cos( )(0 20d.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r, 上、下限；上、下限；2 2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxd

15、y化为化为rdrd 怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2). Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r0y x变变为为极极坐坐标标形形式式 把把 d)d,( DyxyxfI所所围围区区域域与与 0 )( :222 yayaxD2a cos2ar . 20cos20d)sin,cos(darrrrf )(222ayax ,ar cos 即即解解例5： DyxyxfIdd),(.代入 令 sincosryrx此题用直角系算麻烦，此题用直角系算麻烦，需使用需使用极坐标系！极坐标系！21D D0y xD: 4321DDDD

16、I变换到极坐标系变换到极坐标系 20 : rrrrf2021d)sin,cos(d. 之之间间的的环环域域 和和 yxyx 例6:6: Dyxy,xfId)d(计算计算 DyxyxfIdd),(D: =1=1和和 =2=2 围成围成 DyxxyIddarctan计计算算 所所围围第第一一象象限限部部分分 y,xy,yx,yx:D 0y x12 y =xD 4021darctantandrr 4021ddrr2643 . I.例7 7：四.二重积分的应用 （一一）、曲面的面积曲面的面积 （二二）、平面薄片的质心平面薄片的质心 （三三）、平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量 ( (四四）、平面薄片

17、对质点的引力平面薄片对质点的引力 （五）（五）、经济应用经济应用卫星卫星hoxz实例实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内轨道位于地球的赤道平面内, ,且可近似且可近似认为是圆轨道认为是圆轨道. .通讯卫星运行的角速率通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同与地球自转的角速率相同, ,即人们看到即人们看到它在天空不动它在天空不动. .若地球半径取为若地球半径取为R,R,问问卫星距地面的高度卫星距地面的高度h h应为多少应为多少? ?通讯卫星的覆盖面积是多大通讯卫星的覆盖面积是多大? ?一、曲面的面积一、曲面的面积MAdzdn一、曲面的面积一、曲

18、面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即例例1 求半径为R的球的表面积：解解 球面方程为：xyzORR2222.xyzR在第一卦限内球面的方程为 222,z

19、Rxy在 xOy平面上的投影区域可表示为D：x2+y2R2， x0，y0 . . 又222,zxxRxy222.zyyRxy于是，所求球的表面积为2281dDzzAxy2228d dDRxyRxy222008ddRRrrRr2204RRRr即球的表面积 24,AR它等于大圆面积的4倍. . 24.R二、平面薄片的质心二、平面薄片的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有平面域 D ,),(zyx有连续密度函数则 分别位于为为采用 “大化小

20、, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心公式 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的质心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 4例例5. 5. 求位于两圆2224xy22(1)1xy和 之间均匀薄的质心. 2D解解: : 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin2956204370dsin3143212oyxC三、平面薄片的

21、转动惯量三、平面薄片的转动惯量设物体占有平面区域 D , 有连续分布的密度数( , ).x y该物体位于(x , y ) 处的微元 2( , )dyx y因此物体 对 x 轴 的转动惯量:2( , )xDIyx y ddxI 对 x 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. xDyo ( , )d dxDIx yx y ( , )d doDIx yx yxDyo2y2x)(22yx ( , )d dyDIx yx y同理可得：rraddsin0302例例7.7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: : 建立坐标系如图, 0:222y

22、ayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.222rxya G 为引力常数四四、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力设物体占有平面区域 D,( , )x y求该薄片对于点利用元素法,3( , )ddxx y xFGr3( , )ddyx y yFGr3( , )ddzx y zFGr在D上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为连续0(0 0, )(0)Ma a ，处单位质点的引力32222( , )()xDx y xFGdxya32222( , )()yDx y yFGdxya32222

23、( , )()zDx y zFGdxyaaaR1122xyzoR例例9.9.设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr例 4平均利润某公司销售商品x个单位，商品y个单位的利润),( yxP5000)100()200(22yx现已知一周内商品的销售数量在 150200 个单位之间变化， 一周内商品的销售数量在80100 个单位之间变化求销售这两种商品一周的平均利润五.经济应用