1、经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院 函数的极限与连续 极限的运算 函数的连续性 数学建模案例 函数的概念 函数的极限 XXXXX 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限 数学模型的概念 数学建模过程 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院1.1 函数的极限函数的极限一、一、 函数的概念函数的概念二、二、 函数的极限函数的极限三、三、 无穷小与无穷大无穷小与无穷大精品资料经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院 你怎么称呼老师？ 如果老师最后没有总结一节课的重
2、点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭 “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早”经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 数数集集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域( )yf x1 1、函数的概念、函数的概念经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院
3、广州大学纺织服装学院()0 x0()f x自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则. .xyDW约定约定: :定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值. .21yx例例如如， 1 , 1 : D211yx例例如如，)1 , 1(: D经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(1)(1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织
4、服装学院(3)(3)取整函数取整函数 y=x x表示不超过表示不超过 的最的最大整数大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院221,0( )1,0 xxf xxx例例如如, ,12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, ,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. .(3)(3)分段函数分段函数经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院例例1 1.)3(,21210
5、1)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX （1 1）函数的有界性）函数的有界性: :.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf2 2、函数的性质、函数的性质经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院（2 2）函数的单调性）函数的单调性: :,)(DIDxf 区间区间的定义域
6、为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyI1x2x经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI1x2x经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学
7、纺织服装学院（3 3）函数的奇偶性）函数的奇偶性: :偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院（4 4）函数的周期性）函数的周期性: :（通常说周期函数的周期是指其（通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正
8、周期）.2l 2l23l 23l 对于函数对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数，若存在一个不为零的数l，使得，使得关系式关系式 对于定义域内任何对于定义域内任何x值都成立，值都成立，则则 f(x)叫做叫做周期函数周期函数，l 称为是称为是f(x)的的周期周期。 ()( )f xlf x经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(1) (1) 反函数反函数3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数 设函数的定义域为设函数的定义域为D，值域为值域为W. . 若对若对yW，D上上都有唯一确定一个数值都有唯一确定一个数值 x 与与 之对应，且之对应，且(x)=y. 若把若把 y
9、 看作自变量看作自变量, , x 看作因变量看作因变量, ,则称函数则称函数x=f-1(y)为函数为函数 y =(x) 的的反函数反函数. .而原函数而原函数 y =(x)为为直直接函数接函数; ; x , y 互换便有互换便有y=(x) （y=f-1(x)）, , 从而函数与从而函数与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系反函数定义域、值域及图象间有一定的关系. .经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 经经 济
10、济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院（2 2）复合函数）复合函数,uy 设设,12xu 21xy ,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y例：例：经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院注意注意: : 1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的; ;2.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成. .cot,2xy =,yu=cot ,uv=.2xv=例如：例如：2,1yu ux 例如：例如：经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学
11、院(1) 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 4. 4. 初等函数初等函数经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(2) 指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xye经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(3) 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyay = lnxxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(4) 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin
12、 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院xycos xycos 余弦函数余弦函数经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院正切函数正切函数xytan xytan 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院xycot 余切函数余切函数xycot 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院正割函数正割函数xysec xysec 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院xycsc 余割函数余割函数xycsc 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(5) 反三角函数反三角函
13、数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院 幂函数幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. .xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院
14、广州大学纺织服装学院初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次四则运算有限次四则运算和和有限次的函数复合有限次的函数复合步骤所构成并可用步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数, ,称为称为初等函数初等函数. . 我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段函数除外。函数除外。经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院思考题思考题1经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院思考题思考题1解答解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf
15、经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院二、函数的极限二、函数的极限领域：领域：设设是某个正数，称开区间是某个正数，称开区间(x0- , x0+ )为为以为以为x0中心，以中心，以为半径的邻域，简称点为半径的邻域，简称点x0的邻域，的邻域，记为记为U(x0, )空心领域：空心领域：0(, )U x1. 1. x 时函数时函数(x)的极限的极限 （1） 设函数(x)，当x0且无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim ( ) xf xA 或( )().f xA x 如：如：1lim0, lim0, lim arctan.2xxx
16、xexx 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(2) 设函数(x),当x0且x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim ( ) xf xA 或( )().f xA x 如：如：1lim0, lim0, limarctan.2xxxxexx 定义定义2： 设函数(x),当x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim() ()().xfxAfxA x 或 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院定理定理1 函数y =(x)当x 时极限存在且为
17、A的充要条件是函数y =(x)当 x 与 x 时极限都存在且等于A. 即lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA 例例2 1(1) lim0;1(2) lim0 (0);(3) lim0.xkxxxxkxe 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院2. xx0 时函数(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x 1时,函数(x)无限接近于1, 记为 f(x)1oxy11 y = x(1,1)例例3 函数 y =(x) = x (如右图)例如例如10lim1 , limarctan0 .xxxx 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学
18、院例例4 4000000000021(1) lim (C);(2) lim ();lim, , lim, 0, lim.22(3) lim?1xxxxxxnnxxnnxxxCCaxbaxbxxnxxxxxxx 为 常 数特 别 地 ：当为 正 整 数 时当时注：注：(3)(3)中函数虽在中函数虽在x=1=1处无定义处无定义, ,但但 x时极限却存在时极限却存在. .这这说明函数在说明函数在 x0 0点的极限是否存在与函数在点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无处有无定义无关关. .这是因为函数在这是因为函数在 x0点的点的极限是极限是函数在函数在 x0 附近的附近的变化趋势变化趋势, ,
19、 而不是在而不是在 x0处函数值。处函数值。经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院如3. 3. 函数函数(x)的左、右极限的左、右极限 (0)yxx (1) (1) 左极限左极限 当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0处的左极限. 记为00lim( ) (0).xxf xAf xA 或 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.(2) )右极限右极限 当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则A是(x)在 x0 处的右极限. 记为00lim() (0).xxf
20、xAfxA 或 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:定理定理2. . 函数y = (x)当 xx0 时极限存在且为A的充要条件是函数y = (x)的左极限和右极限都存在且等于A。即000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法; 特别对分段函数适用.经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院例例5 设设(x)=|x| , ,求求 , 0 , 0 xxxxx 0lim( ).xf x解 因0000(0 )lim( )li
21、m0,(0 )lim( )lim()0.xxxxff xxff xx 则故0lim0.xx讨论下列函数当 x 时的极限.(1 ) (); ( 2 ) () . fxxxxfxx oxyy =|x| 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院例例6 y = = x 在在 x1 时极限是否存在？时极限是否存在？解 因 11( 10 )l i m()1 ,( 10 )l i m()0 .xxffxffx 故11limlim xxyx 不 存 在 .oxy112, 01()0 , 1, lim().3 , 12xxxfxxfxxx 求例例7解 因1111(1 0)lim( )lim
22、(3)2,(1 0)lim( )lim22.xxxxff xxff xx 12lim( )2.xf x 由定理 有 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院三、无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量 研究函数极限时, 有两种变量非常重要. 一种是在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小就有多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变大, 而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量和无穷大量.经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院1.1.无穷小量无穷小量定义定义4 4 以零为极限的变量称为无穷小量. 例:1 .xx 是时的无穷小量0lim
23、sin0sin 0 .xxxx 是时的无穷小量1lim0lim0lim0 xxxxxxee .xex 是时的无穷小量 .xex 是时的无穷小量0000lim()0 .xxxxxxxx 是时的无穷小量经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院注注1. 很小很小的非零常量不是无穷小量, 但数“0”是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为0.无穷小量的性质无穷小量的性质:性质性质1. i0(1,2, ),in 设在某一极限过程下有则在此极限过程下有注注2. 无穷小量与自变量的变化过程有关.1(1) 0;nii 1(2) 0.nii 性质性质2. 有界变量(x)与无
24、穷小量(x)之积仍为无穷小量.例例01sinlimsin0,lim0 xxxxxx 经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院2. 2. 无穷大量无穷大量0lim( ) lim( )xxxf xf x （或）注注1 1 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不是一个很大的常量. 当(x)取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量). lim( ) lim( )f xf x （或或）注注2 2 通常lim( ) f x 记为是极限不存在的记号定义定义5 如果如果 时，时， 无限增大，无限增大，则称则称函数函数(x)为该变化过程下的无穷大量为该
25、变化过程下的无穷大量. . 记为记为0 xxx或( )f x经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院无穷小量与无穷大量的关系：无穷小量与无穷大量的关系：定理定理3 在自变量的同一变化趋势下, 无穷大量的倒数为无穷小量;非零无穷小量的倒数为无穷大量. 由此定理可知, 要证lim ( ) f x 1lim0 ( )f x 例例8 求2213lim.54xxxx 222211543lim =0,lim354xxxxxxxx 解只需证即可.经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(1) 若3. 3. 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较 无穷小量都是以0为极限,
26、 但它们趋于0的“速度”却不一定相同.例2 0 , ,xxx x当时都是无穷小量y=2xy=x2 0 ,0 .xxxx但的速度比“慢”的速度比“快” 为了描述这种情况, 有下述定义:设(x), (x)是同一极限过程中的两个无穷小量,( )lim0( )xx ,则称(x)是比(x)更高阶的无穷小量,记为(x) = o(x)经经 济济 数数 学学广州大学纺织服装学院广州大学纺织服装学院(3) 若 ,则称(x)是比(x)更低阶的无穷小量,记为( )lim( )xx ( )lim0( )xCx (2) 若 ,则称(x)与(x)是同阶的无穷小量,特别地, 当C = 1时, 则称(x)与(x)是等价的无穷小量,记为(x) (x) (x) = O( (x).例例:011.lim.22xxx 故当 x0时, x与2 x 是同阶的无穷小量. 故当 x时, x2是比 x 更高阶的无穷小量.故当 x0时,sin x与x是等价的无穷小量.0sin3.lim1.xxx 202.lim0.xxx
