1、 中考数学3.3反比例函数考点一反比例函数的图象与性质A组2019年全国中考题组1.(2019吉林长春,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的顶点A、C的坐标分别为(0,3),(3,0),ACB=90,AC=2BC,函数y=(k0,x0)的图象经过点B,则k的值为()A.B.9C.D.kx92278274答案答案D过点B作BDx轴于点D,易得AOCCDB.AC=2BC,相似比为2 1,于是可得BD=CD=.OD=3+=,B,k=.3232929 3,2 29232274思路分析思路分析过点B作x轴的垂线,构造两个相似的三角形,利用相似比求出边长,进而求出点B的坐标,最后可得k的值.解
2、后反思解后反思直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的必备知识,恰当地将线段的长与坐标互相转化,使问题得以解决.2.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BDx轴,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为()A.16B.20C.32D.40kx答案答案B点D(0,4),DBx轴,点B的纵坐标为4,设点B的坐标为(a,4).由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4,AD=,AB=,DB=a.四边形ABC
3、D是矩形,DAB=90.在RtDAB中,DA2+AB2=DB2,()2+2=a2,解得a=10.点B的坐标为(10,4).四边形ABCD是矩形,点E为DB的中点.点E的坐标为(5,4).将点E(5,4)代入y=中,得k=20,故选B.22242022(2)4a2022(2)4akx思路分析思路分析由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股定理列出关于a的方程,解得a的值.由于点E为DB的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y=中,便可求出k的值.kx3.(2019天津,10,3分)若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都
4、在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y112x答案答案 B将A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)分别代入反比例函数y=-中,得y1=-=4,y2=-=6,y3=-=-12,所以y3y1y2,故选B.12x1231221214.(2019陕西,13,3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交AC于点M,则点M的坐标为.答案答案3,42解析解析点D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),点D是AB的中点,点D的坐标为(3,2)
5、,设反比例函数解析式为y=(k0),把(3,2)代入得k=6.点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,为4,令4=,得x=,点M的坐标为.kx6x323,42思路分析思路分析首先根据矩形的对称性求出点D的坐标为(3,2),进而求出反比例函数解析式,最后根据点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,求出点M的坐标.方法指导方法指导解答反比例函数与几何图形相结合问题的常用方法是由点的坐标求相关线段的长度,根据相关线段的长度求点的坐标.5.(2019内蒙古包头,19,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将ABO沿直线AB翻折后得到ABC,若反比例函数y=(x0)的图象经过点C,则k=.k
6、x答案答案-3225解析解析如图,作CDx轴于点D,连接CO交AB于点E,由翻折得ABOC,OE=CE,A(-1,0),B(0,2),在RtAOB中,由勾股定理得,AB=,OE=,CO=.易证OEAODC,=,OD=,CD=,点C的坐标为,k=-.22OAOB5OA OBAB2 554 55OEOAODOC8522OCOD458 4,5 532256.(2019甘肃兰州,23,7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.(1)求反比例函数y=(k0)的表达式;(2)若四边形ACBO的面积是3,求
7、点A的坐标.kxkx3解析解析(1)OC=2,且BOC为等边三角形,B(-1,-),k=(-1)(-)=,反比例函数表达式为y=.(2)S四边形ACBO=SBOC+SAOC,过点A作ANx轴于点N.SBOC=OC2=,+SAOC=3,SAOC=2,即OCAN=2,又OC=2,AN=2,设A(t,2),2t=,t=,即点A的坐标为.3333x3433331233333121,2 32思路分析思路分析(1)根据等边三角形的性质及OC=2可求点B的坐标,再代入反比例函数的表达式即可求k;(2)由四边形ACBO的面积等于三角形BOC与三角形AOC的面积之和,可得三角形AOC的面积,利用OC=2,可求点
8、A到x轴的距离,即点A的纵坐标,设出点A坐标,代入反比例函数的表达式求出点A的横坐标,问题得到解决.考点二反比例函数与一次函数的综合应用1.(2019江西,5,3分)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是()A.反比例函数y2的解析式是y2=-B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)C.当x-2或0 x2时,y1y2D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大8x答案答案C设反比例函数的解析式为y2=,k0,将点A(2,4)代入,得4=,k=8,所以反比例函数的解析式为y2=,故A选项错误;易知反比例函数图象和正比例函数图象的交点关于原
9、点中心对称,所以另一个交点坐标为(-2,-4),故B选项错误;y1和y2的大致图象如图:结合函数图象,可知当x-2或0 x2时,y1y2,故C选项正确;由反比例函数图象可得,在每个象限内,y2随x的增大而减小,故D选项错误.故选C.kx2k8x2.(2019新疆,15,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=-2x与反比例函数y=的图象交于A(a,-4),B两点.过原点O的另一条直线l与双曲线y=交于P,Q两点(P点在第二象限),若以点A,B,P,Q为顶点的四边形面积为24,则点P的坐标是.kxkx答案答案(-4,2)或(-1,8)解析解析把y=-4代入y=-2x,解得x=2,
10、点A(2,-4).把点A(2,-4)代入y=,解得k=-8,y=-.易知点A与点B关于原点对称,B点坐标为(-2,4).反比例函数的图象关于原点O成中心对称,以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,SPOB=24=6.设点P的横坐标为m(m0且m-2),则P.分别过点P,B作x轴的垂线,垂足为M,N,连接BP.当m-2时,如图,kx8x148,mm点P,B在双曲线上,SPOM=SBON=4,SBON+S梯形PMNB=SPOB+SPOM,S梯形PMNB=SPOB=6,(-2-m)=6,解得m=-4或m=1(舍去),P(-4,2).当-2m0)个单位后,点C和点M平移后的对应点同时落在另一个
11、反比例函数y=的图象上时,求k的值.8xkx解析解析(1)令-2x+8=,得x2-4x+4=0(x0),解得x1=x2=2,则y=4,切点C的坐标为(2,4).故填(2,4).(2)由(1)可知C(2,4),直线y=-2x+8与x轴交于点B,B(4,0),线段BC的中点M(3,2).直线AB向左平移m(m0)个单位,点C平移后的对应点的坐标为(2-m,4),点M平移后的对应点的坐标为(3-m,2),平移后的对应点同时落在反比例函数y=的图象上,解得k的值是4.8xkx2(3),4(2),mkmk1,4.mk思路分析思路分析 (1)联立两个解析式求出点C的坐标;(2)首先求出平移后点C和点M对应
12、点的坐标(用含m的代数式表示横坐标),然后根据两点落在另一反比例函数图象上列出二元一次方程组,求出m和k的值.方法指导方法指导本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.4.(2019辽宁大连,22,9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在OA的延长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD.(1)求该反比例函数的解析式;(2)若SACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长.kx32解析解析(1)将(3,2)代入y=中,得2=,解得k=6,所以该反比例函数的
13、解析式为y=(x0).(2)过A作AEBC于点E,延长EA交y轴于点F,点A的坐标为(3,2),AF=3,BCx轴,点C的坐标为(a,0),点D的坐标为,AE=a-3.SACD=CDAE=(a-3)=,a=6,经检验,a=6是上述分式方程的解.点D的坐标为(6,1).设OA所在直线的解析式为y=mx(m0),将(3,2)代入,得2=3m,解得m=,kx3k6x6, aa12126a3223OA所在直线的解析式为y=x,当x=6时,y=6=4.点B的坐标为(6,4).BD=3.2323考点三反比例函数的实际应用(2019浙江温州,6,4分)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米
14、)的对应数据如下表.根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为()近视眼镜的度数y(度)2002504005001000镜片焦距x(米)0.500.400.250.200.10A.y=B.y=C.y=D.y=100 x100 x400 x400 x答案答案A由题表中的数据可以发现,y随x的增大而减小,且x与y的乘积是常量,即k=xy=2000.5=100,故由反比例函数的定义可知,y是关于x的反比例函数,表达式为y=.故选A.100 xB组20152018年全国中考题组考点一反比例函数的图象与性质1.(2018辽宁沈阳,9,2分)点A(-3,2)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是()A
15、.-6B.-C.-1D.6kx32答案答案A把代入y=,得2=,k=-6.3,2xy kx3k2.(2018天津,9,3分)若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1x2x3B.x2x1x3C.x2x3x1D.x3x20,此函数的图象在第一、三象限内,在每一象限内y随x的增大而减小.-6-202,x2x10,x0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为()A.B.C.4D.5kx45254154答案答案D连接AC,设AC与BD、x轴分别交于点E、F.已知A、B的横坐标分别为
16、1,4,BE=3,BD=6.四边形ABCD为菱形,S菱形ABCD=ACBD=,即AC6=,AC=,AE=.设点B的坐标为(4,m),则A点坐标为.点A、B都在函数y=的图象上,1245212452152154151,4mkx4m=1,m=.B点坐标为,k=5,故选D.154m5454,44.(2018陕西,13,3分)若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为.答案答案y=4x解析解析设反比例函数的表达式为y=(k0),反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),k=m2=-2m,解得m1=-2,m2=0(舍去),k=4,反比例函数的表达式
17、为y=.kx4x5.(2017上海,10,4分)如果反比例函数y=(k是常数,k0)的图象经过点(2,3),那么在这个函数图象所在的每个象限内,y的值随x的值增大而.(填“增大”或“减小”)kx答案答案减小解析解析反比例函数y=(k0)的图象过点(2,3),k=23=60,在这个函数图象所在的每个象限内,y的值随x的值增大而减小.kx6.(2018内蒙古呼和浩特,22,6分)已知变量x,y对应关系如下表已知值呈现的对应规律.x-4-3-2-11234y12-2-1-12232312(1)依据表中给出的对应关系写出函数解析式,并在给出的坐标系中画出大致图象;(2)在这个函数图象上有一点P(x,y
18、)(x0),过点P分别作x轴和y轴的垂线,并延长与直线y=x-2交于A、B两点,若PAB的面积等于,求出P点坐标.252解析解析(1)y=-.画出反比例函数图象如图.(2)由(1)及已知得点P,则点A(x,x-2),由题意知PAB是等腰直角三角形.SPAB=,PA=PB=5,x0,PA=-x+2,即-x+2=5,解得x1=-2,x2=-1,经检验,x1=-2,x2=-1是分式方程的解.2x2, xx2522x2x点P的坐标为(-2,1)或(-1,2).考点二反比例函数与一次函数的综合应用1.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y=(x0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A
19、,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式x+4(x0)的解集为()A.x-3B.-3x-1C.-1x0D.x-3或-1x0kxkx答案答案B由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y=(x0)的图象上.当x-3时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3x-1时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的下方;当-1x0时,反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)设M是直线AB上一点,过M作MNx轴,交反比例函数y=(x0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平
20、行四边形,求点M的坐标.kxkx解析解析(1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),-2+b=0,b=2,一次函数的表达式为y=x+2,一次函数的图象与反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4),a+2=4,a=2,B(2,4),k=24=8.反比例函数的表达式为y=.(2)设M(m-2,m),N,m0.当MNAO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.故=2且m0,解得m=2或m=2+2,M的坐标为(2-2,2)或(2,2+2).kx8x8,mm8(2)mm2322335.(2018江西,17,6分)如图,反比例函数y=(k0)的图象与正比例函数y=2x的图象相
21、交于A(1,a),B两点,点C在第四象限,CAy轴,ABC=90.(1)求k的值及点B的坐标;(2)求tanC的值.kx解析解析(1)y=2x的图象经过A(1,a),a=21=2.点A(1,2)在反比例函数y=的图象上,k=12=2.由得或B(-1,-2).(2)设AC交x轴于点D,A(1,2),ACy轴,kx2 ,2,yxyx1,2xy1,2.xy OD=1,AD=2,ADO=90.ABC=90,C=AOD.tanC=tanAOD=2.ADOD21考点三反比例函数的实际应用1.(2017湖北宜昌,15,3分)某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪,要求两邻边均不小于5m,则草坪的一边长
22、y(单位:m)随其邻边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是()答案答案C由题意得y=,因两邻边长均不小于5m,可得5x20,符合题意的选项只有C.100 x2.(2018四川乐山,22,10分)某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜,如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y()与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y与时间x(0 x24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10,蔬菜会受到伤害
23、,问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?解析解析(1)设线段AB所在直线的解析式为y=k1x+b(k10).线段AB过(0,10),(2,14),解得线段AB的解析式为y=2x+10(0 x5).(2分)B在线段AB上,当x=5时,y=20,点B的坐标为(5,20).线段BC的解析式为y=20(5x10).(4分)设双曲线CD段的解析式为y=(k20),点C在线段BC上,点C的坐标为(10,20).又点C在双曲线y=(k20)上,k2=200.双曲线CD段的解析式为y=(10 x24).110,214,bkb12,10.kb2kx2kx200 x故y关于x的函数解析式
24、为y=(6分)(2)由(1)知,恒温系统设定的恒定温度为20.(8分)(3)把y=10代入y=中,解得x=20,20-10=10(小时).答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.(10分)210(05),20(510),200(1024).xxxxx200 x思路分析思路分析本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用,解题的关键是读懂图象的信息,熟练利用待定系数法确定函数的解析式.(1)因为AB是线段,故线段AB是某一次函数的图象的一部分,设y=k1x+b(k10),利用待定系数法求线段AB的解析式;观察线段BC,它与x轴平行,故它表示的是常数函数;CD段是双曲线的一部分,故设其解
25、析式为y=(k20),代入C点坐标,得k2,从而确定其解析式;(2)恒温即指与x轴平行这一部分的函数图象对应的纵坐标;(3)计算当y=10时对应的x的值,然后计算差即是所求的时间.2kx考点一反比例函数的图象与性质C组教师专用题组1.(2019安徽,5,4分)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y=的图象上,则实数k的值为()A.3B.C.-3D.-kx1313答案答案A点A关于x轴的对称点A(1,3)在反比例函数y=的图象上,则3=,k=3,故选A.kx1k2.(2019河北,12,2分)如图,函数y=的图象所在坐标系的原点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q 1(0),1(
26、0)xxxx答案答案A当x0时,y=0,y=(x0)的图象在第一象限,当x0,y=-(x0)的图象在第二象限,所以坐标系的原点应为点M,故选A.1x1x1x1x3.(2019湖北武汉,8,3分)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该图象上.下列命题:过点A作ACx轴,C为垂足,连接OA,若ACO的面积是3,则k=-6;若x10y2;若x1+x2=0,则y1+y2=0.其中真命题个数是()A.0B.1C.2D.3kx答案答案D由题意可知=3,k0,k=-6,正确;当x0,当x0时,y0,x10y2,正确;当x1=-x2时,y1=-y2,正确.故
27、选D.|2k思路分析思路分析本题需要借助反比例函数的图象的几何意义和对称性解决.解题关键解题关键解决本题的关键是要理解反比例函数的几何意义.同时对于可以根据反比例函数图象的中心对称性来解释.4.(2017辽宁沈阳,5,2分)点A(-2,5)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是()A.10B.5C.-5D.-10kx答案答案D把点A(-2,5)的坐标代入y=(k0),得k=5(-2)=-10,故选D.kx5.(2016河南,5,3分)如图,过反比例函数y=(x0)的图象上一点A作ABx轴于点B,连接AO,若SAOB=2,则k的值为()A.2B.3C.4D.5kx答案答案 C由题意得k0,
28、SAOB=k=2,所以k=4.故选C.126.(2016黑龙江哈尔滨,4,3分)点(2,-4)在反比例函数y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()A.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)kx答案答案D把(2,-4)代入反比例函数解析式得k=-8,逐个验证各选项知选D.7.(2016辽宁沈阳,4,2分)如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=(x0)图象上的一点,分别过点P作PAx轴于点A,PBy轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为()A.3B.-3C.D.-kx3232答案答案A设点P的横坐标为xP,纵坐标为yP,由题意得OA=xP,OB=yP
29、.由题意可知,四边形OAPB为矩形,四边形OAPB的面积为3,OAOB=xPyP=3,又点P在反比例函数y=(x0)的图象上,xPyP=k=3,故选A.kx8.(2019云南,4,3分)若点(3,5)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k=.kx答案答案15解析解析把点(3,5)代入y=中,得5=,k=15.kx3k9.(2019福建,16,4分)如图,菱形ABCD的顶点A在函数y=(x0)的图象上,函数y=(k3,x0)的图象关于直线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k=.3xkx答案答案6+23解析解析连接AC,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M.如图.由双曲线的对
30、称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即xA=yA,=3,即xA=,A(,).根据题意可得CAM=45,BAC=BAD=30=15,BAM=30,BM=AB=2=1.AM=.B(2,1+).k=2(1+)=6+2.2Ax3331212121222ABBM221333333疑难突破疑难突破本题的突破口是得到CAM=45,能将点的坐标转化为线段长,构建含30角的RtABM.10.(2019山西,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数y=(x0)的图象恰好经过点C,则k的值为.k
31、x答案答案16解析解析过点D作DEAB于点E,则AD=5,四边形ABCD为菱形,CD=5,C(4,4),将C点坐标代入y=得4=,k=16.kx4k11.(2019山东潍坊,15,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,顶点A,B分别在反比例函数y=(x0)与y=(x0)与y=(x0)的图象上,S矩形OABC=6,则k=.kx答案答案6解析解析矩形OABC的面积等于6,BCBA=6,即xy=6,k=6.13.(2019北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,点A关于x轴的对称点B在双曲线y=上,则k1+k2的值为.1kx2kx答案答案0解析解析点
32、A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,k1=ab.点B与点A关于x轴对称,点B坐标为(a,-b),同理有k2=-ab.k1+k2=0.1kx解题关键解题关键解决本题的关键是通过表示对称点的坐标求出k1和k2与ab的关系,进而化简得到答案.14.(2018云南,2,3分)已知点P(a,b)在反比例函数y=的图象上,则ab=.2x答案答案2解析解析把代入y=得b=,则ab=2.,xayb2x2a15.(2018内蒙古包头,19,3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y=(x0)经过点D,则OBBE
33、的值为.32x答案答案3解析解析根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=,SABC=3.OB=BD=AC,BEAC,SABC=BEAC=BE2OB=3,即OBBE=3.32x32x34321212121216.(2018贵州贵阳,12,4分)如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=(x0),y=-(x0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为.3x6x答案答案92解析解析解法一:设点P(m,0)(m0),可得点A,B,A
34、B=+=,SABC=m=.解法二:如图,连接OA,OB,ABy轴,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=.解法三:特殊点法,当点C在原点时,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=.3,mm6,mm3m6m9m129m9232629232629217.(2017甘肃兰州,16,4分)若反比例函数y=的图象过点(-1,2),则k=.kx答案答案-2解析解析点(-1,2)在反比例函数y=的图象上,2=,解得k=-2.kx1k18.(2017河南,13,3分)已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=-的图象上,则m与n的大小关系为.2x答案答案 mn解析解析解法一:把点A(1,m)
35、,B(2,n)的坐标分别代入y=-,可得m=-2,n=-1,所以mn.解法二:k=-20,双曲线位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,012,m0)的图象过格点(网格线的交点)P.(1)求反比例函数的解析式;(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件:四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P;矩形的面积等于k的值.kx解析解析(1)点P(2,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,=2,即k=4.反比例函数的解析式为y=.(3分)(2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可)(9分)举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.kx2k4
36、x21.(2017内蒙古呼和浩特,23,7分)已知反比例函数y=(k为常数).(1)若点P1和点P2是该反比例函数图象上的两点,试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小;(2)设点P(m,n)(m0)是其图象上的一点,过点P作PMx轴于点M,若tanPOM=2,PO=(O为坐标原点),求k的值,并直接写出不等式kx+0的解集.21kx113,2y21,2y521kx解析解析(1)-k2-10,反比例函数y=的图象在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,又-y2.(2)点P(m,n)在反比例函数y=的图象上,且m0,n0的解集为x-或0 x0的解集为x0.21kx2221kx考点二反
37、比例函数与一次函数的综合应用1.(2018四川遂宁,7,4分)已知一次函数y1=kx+b(k0)与反比例函数y2=(m0)的图象如图所示,则当y1y2时,自变量x满足的条件是()A.1x1D.xy2,根据图象可得当1x3时y1的图象在y2的上方,自变量x满足的条件是1x的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上,且SAOP SBOP=1 2,求点P的坐标.2kx2kx解析解析(1)x-1或0 x4.(2分)(2)点A(-1,4)在y=的图象上,4=,(3分)解得k2=-4.反比例函数的表达式为y=-.(4分)点B(4,n)在反比例函数y=-的图象上,n=-=-1,点B(
38、4,-1),一次函数的图象过A、B两点,解得2kx21k4x4x44114,41,kbkb 11,3,kb 一次函数的表达式为y=-x+3.(6分)(3)如图,设直线y=-x+3与x轴交于点C.当y=0时,x=3,点C的坐标为(3,0).SAOB=SAOC+SBOC,SAOB=34+31=.(7分)SAOP SBOP=1 2,SBOP=SAOB=5.12121522323152点P在线段AB上,可设P的坐标为(m,-m+3)(-1mOB)的对角线长为5,周长为14.若反比例函数y=的图象经过矩形顶点A.(1)求反比例函数解析式;若点(-a,y1)和(a+1,y2)在反比例函数的图象上,试比较y
39、1与y2的大小;(2)若一次函数y=kx+b的图象过点A并与x轴交于点(-1,0),求出一次函数解析式,并直接写出kx+b-0成立时,对应x的取值范围.mxmx解析解析(1)设A点的坐标为(x,y),则x2+y2=25,(x+y)2-2xy=25,又x+y=7,xy=12,m=12,反比例函数解析式为y=.当a-1时,a+100y2;当-1a-时,0a+1-a,此时y1y2;当-a0时,0-ay2;当a0时,-a0a+1,此时y10y2.(2)由题意知A(3,4),又一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(-1,0),解得则一次函数的解析式为y=x+1,12x121234,0,kbkb 1,1
40、,kb由解得当kx+b-0时,对应的x的取值范围为x-4或0 x0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点B,OB=4.连接OA,AB,且OA=AB=2.(1)求k的值;(2)过点B作BCOB,交反比例函数y=(其中x0)的图象于点C,连接OC交AB于点D,求的值.kx10kxADDB解析解析(1)过点A作AEOB于E.OA=AB=2,OB=4,OE=BE=OB=2,在RtOAE中,AE=6,点A的坐标为(2,6).点A是反比例函数y=图象上的点,6=,解得k=12.(2)记AE与OC的交点为F.OB=4且BCOB,点C的横坐标为4.又点C为反比例函数y=图象上的点,101222OAOE22(2
41、10)2kx2k12x点C的坐标为(4,3),BC=3.设直线OC的表达式为y=mx,m0,将C(4,3)代入可得m=,直线OC的表达式为y=x.AEOB,OE=2,点F的横坐标为2,将x=2代入y=x可得y=,即EF=.AF=AE-EF=6-=.AE,BC都与x轴垂直,AEBC,AFD=BCD,FAD=CBD,ADFBDC,=.34343432323292ADDBAFBC327.(2018甘肃白银,25,10分)如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k0)的图象交于A(-1,a),B两点,与x轴交于点C.(1)求反比例函数的表达式;(2)若点P在x轴上,且SACP=SB
42、OC,求点P的坐标.kx32解析解析(1)一次函数y=x+4的图象经过点A(-1,a),-1+4=a,a=3,A点坐标是(-1,3).反比例函数y=的图象经过点A(-1,3),k=-13=-3.反比例函数的表达式是y=-.(2)联立一次函数与反比例函数的解析式得解得点A的坐标是(-1,3),点B的坐标是(-3,1).一次函数y=x+4的图象交x轴于点C,C点坐标是(-4,0),CO=4.SBOC=CO|yB|=41=2.kx3x4,3,yxyx 111,3,xy 223,1.xy 1212点P在x轴上,设点P的坐标是(x,0).CP=|x-(-4)|=|x+4|,ACP中CP边上的高就是A点的
43、纵坐标的绝对值,即为3.SACP=CP|yA|=|x+4|3.SACP=SBOC,|x+4|3=2,|x+4|=2,即x+4=2或x+4=-2,x=-2或x=-6,点P的坐标是(-2,0)或(-6,0).1212321232思路分析思路分析(1)将点A的坐标代入一次函数解析式中求出A点坐标,然后将A点坐标代入反比例函数解析式中可求k;(2)设出点P的坐标,然后求出BOC的面积,建立方程可求出P点坐标.8.(2018北京,23,6分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.(1)求k的值;(2)横、纵坐标都是整数的
44、点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.kx14解析(1)由函数y=(x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4.(2)整点个数为3.如图,kx若b0,则当直线过点(1,2)时,b=,当直线过点(1,3)时,b=,b;若b0,则当直线过点(4,0)时,b=-1,当直线过点(5,0)时,b=-,-b-1.综上,-b-1或0?(3)当x为何值时,y10,得x+20.(5分)x-2.当x-2时,y10.(6分)1142,24.kbkb 11,2.kb2k
45、x22k8x(3)x-4或0 x2.(8分)提示:利用两函数图象交点坐标及图象的位置关系知,当y1y2时,xxC或0 x0)与直线AB相交于点M,与反比例函数y=的图象相交于点N,若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式x的解集.kxkx65x解析解析(1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上,a=2(-3)+4=-2.点A(-3,-2)在y=的图象上,k=6.(2)点M是直线y=m与直线AB的交点,M.点N是直线y=m与反比例函数y=的图象的交点,N.MN=xN-xM=-=4或MN=xM-xN=-=4.解得m=2或m=-6或m=64,m0,m=2或m=6+4.(3)x-1或5x0,则C,1
46、212kx8x1,28yxyx8,mm1,2mm可得PC=,POC中PC边上的高为m,则SPOC=m=3,m2=28或4,m=2或2,P或P(2,4).82mm1282mm74 72 7,712.(2017四川绵阳,22,11分)设反比例函数的解析式为y=(k0).(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;(2)若该反比例函数与过点M(-2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当ABO的面积为时,求直线l的解析式.3kx163解析解析(1)由题意可得,正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点坐标是(1,2),(2分)将其代入反比例函数
47、解析式y=,得k=.(4分)(2)因为直线l过点M(-2,0),所以0=-2k+b,所以b=2k,所以直线l的方程可写为y=kx+2k,(5分)由消去y,得kx+2k=,因为k0,所以x+2=,得x2+2x-3=0,(7分)解得x1=-3,x2=1,所以A(1,3k),B(-3,-k),(8分)所以SABO=SAMO+SBMO=2(3k+|-k|)=,3kx232 ,3ykxkkyx3kx3x12163解得k=,(10分)所以直线l的解析式为y=x+.(11分)43438313.(2017河南,20,9分)如图,一次函数y=-x+b与反比例函数y=(x0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1)
48、.(1)填空:一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)点P是线段AB上一点,过点P作PDx轴于点D,连接OP,若POD的面积为S,求S的取值范围.kx解析解析(1)y=-x+4;y=.(4分)(2)点A(m,3)在y=的图象上,=3,m=1.A(1,3).(5分)而点P在线段AB上,设点P(n,-n+4),则1n3,S=ODPD=n(-n+4)=-(n-2)2+2.(7分)-0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(1)求k,m的值.(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=(x0)的图象于点N.当n=
49、1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;若PNPM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.kxkx解析解析(1)直线y=x-2经过点A(3,m),m=1.又函数y=(x0)的图象经过点A(3,1),k=3.(2)PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1),点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3),PM=PN=2.n的取值范围是0n1或n3.kx15.(2017湖北黄冈,21,7分)已知:如图,一次函数y=-2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A(-1,m)和B,过点A作AEx轴,垂足为点E;过点B作BDy轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,-2),连接DE.(1)求
50、k的值;(2)求四边形AEDB的面积.kx解析解析(1)将(-1,m)代入y=-2x+1,得-2(-1)+1=m,m=3,(1分)点A的坐标为(-1,3).(2分)将(-1,3)代入y=,得k=(-1)3=-3.(3分)(2)解法一:延长AE,BD,交于点H.BDx轴,yB=yD,又点D(0,-2),yB=-2.kx将y=-2代入y=-中,可得x=,B.(4分)易知H(-1,-2),E(-1,0).HE=2,DH=1,AH=3-(-2)=5,BH=-(-1)=.(5分)S四边形AEDB=SAHB-SDHE=AHBH-EHDH=5-21=.(7分)解法二:设直线AB与y轴相交于点M,则点M的坐标
