1、和和我们知道求由我们知道求由0, ybxax)(xfy 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤：须经过以下四个步骤： （2）近似代替：）近似代替：iiixfA )( );(1iiixx ;)()(10lim baniiidxxfxfA （4）取极限：）取极限： （3）求和：）求和： niiixfA1)( ,ba分成分成n个小区间，个小区间，（1）分割）分割: 把把iA设第设第 i 个小曲边梯形的面积为个小曲边梯形的面积为 niiAA1则：则： 定积分的元素法定积分的元素法xoyab)(xfy ix1ix3-5 定积分的若干应用定积分的若干应用（2）A对于区间对于区
2、间a,b具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于 所有小曲边梯形面积的和。所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中，所求的量面积在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：有如下性质：（1）A是一个与变量是一个与变量x的区间的区间a,b有关的量；有关的量；;)( badxxfA即：即：A的精确值，的精确值，iixf )( 近似代替部分量近似代替部分量iA 时，它们只相差一比时，它们只相差一比ix高阶的无穷小，因此和式高阶的无穷小，因此和式 niiixf1)( 的极限就是的极限就是（3）以）以（3）写出）写出A的积分表达式，即：的积分表达式，即：dxxfAba)( 求
3、求A的积分表达式的步骤可简化如下：的积分表达式的步骤可简化如下： （1）确定积分变量）确定积分变量x及积分区间及积分区间a，b；A以以dxxf)(作为作为的近似值。的近似值。,dxxx （2）在）在a,b上任取小区间上任取小区间dxxfdA)(dxxf)(叫做面积元素叫做面积元素,记为记为即：即：dxxfA)(A xyo)(xfy badxx xdxdA具体步骤是具体步骤是： 那么这个量就可以用积分来表示。那么这个量就可以用积分来表示。 badxxfU)(（3）写出）写出 U 的积分表达式，即：的积分表达式，即： （1）根据具体问题，选取一个变量例如）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分
4、变量，并确定为积分变量，并确定 它的变化区间它的变化区间a,b；叫做叫做积分元素积分元素dxxfdUU)(（2）在）在a,b上任取小区间上任取小区间 x, x+ dx，求出，求出 U 在这个小区间上在这个小区间上的近似表达式的近似表达式这种方法叫做这种方法叫做 定积分的元素法定积分的元素法.一般地，如果某一实际问题中的所求量一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a，b有关的量；有关的量；（2）U对于区间对于区间a，b具有可加性；具有可加性；iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( （3）部分量）部分量
5、首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页1.平面曲线的弧长平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs取取 x 为为积
6、积分分变变量量， 积分区间为积分区间为,badxxx任取小区间首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 平面极坐标系：平面极坐标系：oppoA，点),(p标，记作（在极坐标系中）的坐称为点、有序数p，),(p.极角极径，oAp（极点）（极点）（极轴）（极轴）xy.sin,cosyx,22yx .tanxy或直角坐标系圆的方程：,222ayx极坐标系圆的方程：,
7、a.4表示通过极点的射线注；222)(ayax.cos2a首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1 计算旋轮线)cos1 ()sin(tRyttRx)0(R一拱)20(t的弧长 .解解tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tRtR22sintdttRd)cos1 (2ttRd2sin2ttRsd2sin2202cos22tR02.8Rxyoa2
8、首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页)0(12222babyax其中例例2 求椭圆周的弧长.解解上半椭圆周的方程为).(22axaxaaby弧微分为dxyds2)(1dxxaxab222221dxxaxaba222222) 1().1(2222222abcdxxacxasaa则是圆的半径，并有时椭圆退化为圆，这时当bacba, 0dxxaasaa222aaaxaxda2)(12aaaxa|arcsin2.2 a首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页不定积分时，当, 0cbadxxacxaaa2222这个积分称为的原函数不是初等函数.椭圆积分椭圆积分.它无论在应用上还是在数学基础理论研究中
9、，椭圆积分都有重要价值. 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积推推导导由由连连续续曲曲线线 y=f(x)、直直线线 x=a、x=b 及及 x 轴轴所所围围曲曲边边梯梯形形绕绕 x 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积计计算算公公式式： 取取 x 为为积积分分变变量量， 则则体体积积元元素素为为 dxydV2 dxxfVba2)( 旋转体的体积公式旋转体的体积公式dxxf2)( 积分区间为积分区间为,badxxx任
10、取小区间xyoabxyoab)(xfy x类类似似地地，建建立立由由连连续续曲曲线线 x= (y)、直直线线 y=c、y=d 及及 y 轴轴所所围围曲曲边边梯梯形形绕绕 y 轴轴的的旋旋转转体体的的体体积积计计算算公公式式 xyo)(yx cddyy2)( dcVy首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例3绕下求所围成是椭圆周设区域D.99)4(4D22yx轴；）（轴；成的旋转体的体积：列各直线旋转一周所形yx2) 1 (.13直线）（x解解上半椭圆周方程为：）（ 1)21125()4(9412xxyxV211252)4(941 dxx211253)4(274xx.2右半椭圆周可视为是一个
11、椭圆环，其体积旋转所形成的旋转体（ D)2) 11(12342yyx左半椭圆周) 11(12342yyx分别绕y轴旋转所形成的旋转体体积之差.2112)4(941xyyxo25首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页21234yx21234yxyx-11oyV1122)1234(dyy1122)1234(dyy112222)1234()1234(dyyy112124dyy.122112342yxyx-11o112342yxy1V) 3(112222) 11234() 11234(dyyy112118dyy.92首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 补例补例 计算下列已知曲线所围成的图形，按
12、指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：轴；绕xyx,16)5() 1 (22轴；绕 yyx, 1) 1()2(22轴；绕 yyxxy,)3(22xy0-11解解,11)2(2yxdyyVy2112)11 (dyy2112)11 (首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页xyoab 3. 旋转体的侧面积旋转体的侧面积设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求sySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx取取 x 为为积积分分变变量量， 积分区间为积分区间为a,b,ba
13、dxxx任取小区间则侧则侧面积元素为：面积元素为：首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页sySd2d侧面积元素xyd2xyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为xyo)(xfy abxsdxdxdsd 曲线弧由极坐标方程曲线弧由极坐标方程 rr 给出时给出时, cos ,sinxryr 2222xyrrxo d d )( rds旋转体的側面积为旋转体的側面积为F222Fy xy d 22sin.rrr d首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页xRyo例例
14、4 计算圆周上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS1x2xozyx. 曲线弧的质心与转动惯量曲线弧的质心与转动惯量若平面上的一条光滑曲线弧，其参数方程是若平面上的一条光滑曲线弧，其参数方程是AB ,xx ttyy t 线密度为，线密度为， t弧弧 的质量近似为的质量近似为ds ,t ds这段弧关于和轴的静力矩分别是：这段弧关于和轴的静力矩分别是：xy 22,xMy ttx ty tdt 22,
15、dsx ty tdt弧微分弧微分,)()(dsttydMx.)()(dsttxdMy 22.yMx ttx ty tdt 其总质量为其总质量为 22.Mtx ty tdt 所以整个曲线弧的质心的坐标为所以整个曲线弧的质心的坐标为,X Y 221,xMXx ttx ty tdtMM 221.yMYy ttx ty tdtMM质量为的质点绕一固定轴旋转的转动惯量为质量为的质点绕一固定轴旋转的转动惯量为m2,Jmr其中是质点到固定轴的距离，所以其中是质点到固定轴的距离，所以r 222,xJyttx ty tdt 222yJxttx ty tdt. ,)()(2dsttydJx.)()(2dsttxd
16、Jy轴的转动惯量分别是轴及关于yxds因此，整个弧对因此，整个弧对x 轴与轴与y轴的转动惯量分别是轴的转动惯量分别是首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页5.平面图形的面积平面图形的面积平面直角坐标下图形的面积平面直角坐标下图形的面积(1)由曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A .,)(dxxfdA 其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 (2)由曲线由曲线 ,直线直线y=c,y=d(cd)及及y轴轴轴所围成
17、的曲边梯形的面积)0)()(ygygx.d)(yygAdcbadxxgxfA)()(. 0)()(,) 1 (xgxfba上在若).()(,)2(xgxfba上在dcdyyyA)()(. 0)()(,) 1 (yydc上在若).()(,)2(ygydc上在(3)求下列曲线所围成的面积求下列曲线所围成的面积Axy0ab)(xfy )(xgy )(xfy )(xgy abxy0badxxgxfA)()(首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )
18、0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 平面极坐标系：平面极坐标系：oppoA，点),(p标，记作（在极坐标系中）的坐称为点、有序数p，),(p.极角极径，极坐标与直角坐标的关系：oAp（极点）（极点）（极轴）（极轴
19、）xy.sin,cosyx,22yx .tanxy或直角坐标系圆的方程：,222ayx极坐标系圆的方程：,a.4表示通过极点的射线注；222)(ayax.cos2a 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一围成一曲边扇形曲边扇形，求其面积这里，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 曲边扇形面积元素曲边扇形面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积公式曲边扇形的面积公式.)(212 dA 平面极坐标下图形的面积平面极坐标下图形的面积)( r首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页ttadcos82042例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()
20、cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页S补例补例1体, 求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点
21、 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页补例补例2为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )设水
22、的密度为05(KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页面积为 A 的平板 液体侧压力液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页小窄条上各点的压强33g2R补例补例3 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放
23、的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明: 当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页习题习题3-5 1,3,6,89,11,15,16,19,22,28,32.第三章总练习题第三章总练习题 3,5,(提示提示:令令x+ht=u；应用积分中值定理）；应用积分中值定理）,7,8.(2),(4),10,13,20,21,23.27.
