1、5.75.7 反常积分反常积分,11111 1 2bxdxxSbbb . 1)11(lim1lim 1 2 bdxxSbbb而而例例 1 1求求曲曲线线21xy ， 1 xx 轴轴及及直直线线的的右右边边所所围围成成的的 “开开口口曲曲边边梯梯形形”S 的的面面积积。 解解：1 b，则则在在上上 , 1b曲曲线线 21xy 下下的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为： oxy21xy 1bbSdxxdxxbb 12 1 21lim1此此极极限限值值就就是是“开开口口曲曲边边梯梯形形”的的面面积积。同同时时将将此此 极极限限理理解解为为函函数数21xy 在在 1 1，+ + ）上上的的定定积积分分
2、，记记作作 dxxfdxxfdxxfcc )()()( 注注 意意：（1 1）只只有有当当式式右右端端两两个个积积分分都都收收敛敛时时，广广义义积积分分 dxxf )(才才收收敛敛，否否则则就就发发散散。 （2 2）由由积积分分区区间间的的可可加加性性，式式等等号号右右端端的的分分点点可可以以 为为任任一一实实数数c c，特特殊殊地地0 c取取。 不能说不能说 这是因为这是因为 不存在。不存在。 0sin xdx解：dxxdxxdxx 0 20 2 2111111 dxxdxxbbaa 0 20 211lim11limbbaaxx0arctanlimarctanlim00arctanarcta
3、nlimarctan0arctanlimbaba.2)2(0.)2(2arctan11: 2 xdxx简简解解 arctanx应应理理解解成成xxxxarctanlimarctanlim 。 .1 ,1 ,1111 pppapxxdxppapa当当1 p时时， axxdxxdxaapln ， 故故 apxdx当当1 p时收敛；当时收敛；当1 p时发散。时发散。 )(积分积分 P解解：当当1 p时时， 解解法法 1 1：dxxxxdxx 0 22220 22)1(1)(11 dxxxx)(1112220 2 1112120220dxxxx .42212 )11( 2111200 2xdxdxx
4、解解法法 2 2：tx tan ，tdtdx2sec ， dxx 0 2)2(112 0 42secsec dttt通过换元把通过换元把反常反常积分化为常义积分。积分化为常义积分。反常反常积分和常义积分计算方法相同，积分和常义积分计算方法相同，反常反常积分积分代限有三句话代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限，能代则代之，代不了则取极限，极限不存在则积分发散极限不存在则积分发散。”.4cos2 0 2 tdtdxxdxx 1 0 201 0 211lim11 解解： 2111limxx， 0)1arcsin(limarcsinlim0100 x.21arcsin 它它的的几几何何解解释释是
5、是：由由曲曲线线211xy ，轴轴及及轴轴 , yx 直线直线所所 1 x围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。 xyo211xy 1 1)1 , 0(1 解：解： 201limxx，0 x是瑕点。是瑕点。 dxx 0 1 21dxx 0 1 201lim ,)11(lim)1(lim001 x错错解解: . 21111 1 21 xdxx,ln)ln(limlnlim00 abaxba当当1q时时， baqbaqaxdxaxdx 0 )(lim)( bqaaxq 10)(11lim 1 ,1)(1 , 1qqabqq解解：时时当当 1 q， babaqaxd
6、xaxdx 0 lim)( )( 积分积分 q.)(是瑕点是瑕点ax ,2)12arcsin(lim111210 x 解解： 211limxxx， 1 x是是瑕瑕点点。 12111220)21()21()21(lim xxd 232202322121)21()21(limxdxxxdx2320212 21lnlim xxx).32ln( ). 32 ln(22312122322121 xxdxxxdxxxdx 1 1. . 函函数数的的定定义义 2 2函函数数的的递递推推公公式式 ：)0)()1( ssss )(- 0 xsedx )(0 1ssdxxessx )1()1()()1(nnnnn
7、n)1(!)1(12)2)(1( nnnn而而1e )1( 0 dtt， 故故! )1( nn 。 . 2)(12 0 2duuessu .22 2)21( 0 2 dueu解解：令令tx 8，dtdxx 78， dxxessx )(1 0 )() 1(sssdxexx8 0 19 dttet 0 125 81)25(81 )23(2381 .323)21(212381)121(2381 dxxxex712 0 8 818 )21() 123(81 作作 业业 1 1（3 3）（）（4 4）；）；3 3（3 3）（）（5 5）（）（7 7）（9 9）；）；4 4；6 6；7 7；9 9；1010；1212。总习题总习题 （ P P209209 ） 习习 题题 5 5（P204P204）3(3)(5)(7)(9);5(1)3(3)(5)(7)(9);5(1)
