1、2.2 2.2 等差数列等差数列第二章第二章 数列数列 第一课时第一课时 一、数列的定义，通项公式一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 , an, 如果数列如果数列aan n 的第的第n n项项a an n与与n n的关系可以用一个的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。通项公式。二、数列的简单表示二、数列的简单表示:三、给出数列的方法三、给出数列的方法: 复习复习cm1111111 2324 2425 2526 2627 2728 2829
2、29302222222全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位:）分别是：， ， ， ， ， ， ， 某此系统抽样所抽取的样本号分别是某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.（观察以下数列）（观察以下数列） 引入引入这三个数列有何共同特征这三个数列有何共同特征从第从第2项起，每一项与其前一项之差等项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义用数学的语言下定义 交流交流1、等差数列的定义、等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列从第从第
3、2项起项起，每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d表示。表示。（1）指出定义中的关键词：）指出定义中的关键词：从第从第2项起项起等于同一个常数等于同一个常数由定义得等差数列的递推公式：由定义得等差数列的递推公式：1(nnaad d是常数） 说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据数列的主要依据.每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差 探究探究 练习：判断下列数列
4、中哪些是等差数列，练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项哪些不是？如果是，写出首项a a1 1和公差和公差d, d, 如果不是，说明理由。如果不是，说明理由。(1) 1, 1, 1, 1, 1.(2) 4,7,10,13,16.(3)3, 2, 1,1,2,3.(4) 1,2,3,4,5,6.(5)5,9,13,41,.n2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1.nnaada思考：已知等差数列的首项为 ，公差为 ，求根据等差数列的定义得到根据等差数列的定义得到21aad ，21aad所以32aad ，43aad ，3211()2aadaddad4311 (2 )3a
5、adaddad1(1)naand由此得到(2)n 11na当时，上面等式两边均为 ，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为方法一：不方法一：不完全归纳法完全归纳法2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式n1n.aaa思考：已知等差数列的首项为 ，公差为d，求21aad ，32aad ，43aad ，1nnaad1n 个1(1)naand将所有等式相加得将所有等式相加得方法二方法二累加法累加法例例1 求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项项. - 401是不是等差数列是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，的项？如果是，是第几项？是第几项？解：解：由由a1=8，d=
6、5-8=-3，n=20，得，得 a20=8+(20-1) (-3)=-49.例例2 2 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知 a5=10,a12=31, ,求首项求首项a1与公差与公差d . .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得： a1+ 4d = 10 a1+11d=31 a1= - 2 d=3 这个数列的首项a1是-2，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任
7、何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论结论3等差中项等差中项 如果如果 a, A, b 成等差数列，那么成等差数列，那么 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等差中项等差中项 .由等差中项的定义可知，由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：满足关系：222或abbAAaAbAa (aAb) 意义：意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的是唯一的.当当 a=b 时，时，A = a = b .例例3 （1）在等差数列）在等差数列an中，是否有中，是否有 （2）在数列）在数列an中，如果对于任意的正整
8、数中，如果对于任意的正整数n（n2），都有），都有那么数列那么数列an一定是等差数列吗？一定是等差数列吗？11(2)?2nnnaaan112nnnaaannmaaa思考：在等差数列中，项 与有何关系？4、等差数列通项公式的推广、等差数列通项公式的推广解析：解析：由等差数列的通项公式得由等差数列的通项公式得1(1)naand1(1)maamd() .nmaanm d-得() .nmaanm d.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列思考：已知等差数列an中，中，a3=9,a9=3,求求a12,a3n. .解法一解法一: : 依题意得：依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3解之得解之得
9、 a1 =11 d =-1这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n 故故 a12= 0, a 3n = 12 3 n.解法二：1.等差数列an中，a1a510，a47，求数列an的公差2.2. 在数列在数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .3.3.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1， 则则 a 等于（等于（ ) ) A. 1 . 1 B. -1 . -1 C.- .- D.31115课本课本P40(A) 1、3、 (B) 2 作业作业2.2 2.2 等差数列等
10、差数列第二章第二章 数列数列 第二课时第二课时 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1(1) .naand1、等差数列的定义、等差数列的定义1(nnaad d是常数）.3、等差数列的中项、等差数列的中项2abA 复习复习通项公式的证明及推广通项公式的证明及推广m(nm) .naad3131与100与180用一下用一下例例2.2.某出租车的计价标准为某出租车的计价标准为1.21.2元元/km,/km,起步价为起步价为1010元，即最初的元，即最初的4km(4km(不含不含4 4千米千米) )计费计费1010元。如果元。如果某人乘坐该市的出租车去往某人乘坐该市的出租车去往14km14km处的
11、目的地，且处的目的地，且一路畅通，等候时间为一路畅通，等候时间为0 0，需要支付多少车费？，需要支付多少车费？(napnqpq 已知数列的通项公式是其中 ， 是常数），那么这个数列是否一定是等思考：差数列？112)() (1) () .nnnnnnaaa naapnqp nqpnqpnpqpna取数列中的任意相邻两项与 （，这是一个与 无关的常数，所以是等差数列.5、等差数列的通项及图象特征、等差数列的通项及图象特征napnq等差数列的通项公式可反之：以 表示为吗？解析解析:111(1)(),.nnaanddnadpdqadapnq设，则 思考思考n等差数列的通项公式是关于 的形式，反之 一次
12、亦成立。结论结论:一 条其直图象线 为落在上的点。首项是首项是1，公差是，公差是2的无穷等的无穷等差数列的通项公式为差数列的通项公式为an 2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：性质性质 ：设：设 若若 则则 *m,n, p,qNmnpqaaaa .mnpq,111111(1)(1)2()2 , (1)(1)2()2 , .mnpqmnpqaaamdandan m ddaaapdaqdap q ddaaaa 证证明明：等差数列的性质等差数列的性质数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、qN+，且且m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq。71
13、53aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作和的项数边作和的项数必须一样多必须一样多123121knknnnaaaaaaaa5 56 64 4n n求a求a10,10,a aa a为等差数列，为等差数列，练习1：已知a练习1：已知an n1813181018131810练练习习3 3：已已知知a a 为为等等差差数数列列，aaaa100,aaaa100, 求求a a12an n1481531314815313练练习习2 2：已已知知a a
14、 为为等等差差数数列列，aaaa2,aaaa2, 求求a +aa +a（2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11= （3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8= 跟踪训练跟踪训练（1）已知等差数列an中，5102,12,aa15求a6,n n58145814(4)(4)：已已知知a a 为为等等差差数数列列，aa15,aa15,求求a a求数列通项公式求数列通项公式21,21,a aa aa a9,9,a aa aa a为等差数列，为等差数列，：已知a：已知a变式变式7 75 53 38 85 52
15、 2n n2d d, ,求a求a187,187,a aa a56,56,a aa aa aa a为等差数列，为等差数列，变式1：已知a变式1：已知a1 17 74 47 76 65 54 4n n 3.更一般的情形，更一般的情形，an= ，d= 小结：小结：1. an为等差数列为等差数列 2. a、b、c成等差数列成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）为常数）am+(n - m) dmnaamnb为为a、c 的等差中项的等差中项AA2cab 2b= a+c4.在等差数列在等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+
16、an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 5. 在等差数列在等差数列an中中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 =2A BC D1-nnnnnnnnnnabbabababa思考：已知数列是等差数列，则数列为等差数列的是（ ）、D12310.nadna在等差数列中，若，则13212.naadn若，则161227.aad若，则7118.3daa 若，则2910310 跟踪训练跟踪训练300 83+5（n-1）500巩固练习巩固练习1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-1
17、0-10a-1-1， 则则 a 等于（等于（ ) ) A. 1 . 1 B. -1 . -1 C.- .- D.311152. 在数列在数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .(-3a-5 )-(a-6-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )提示：提示：提示：提示：d=an+1- an=-43. 在等差数列在等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？ -35提示：提示：52845244 nn=45，46，8440例例4例例5 已知三个数成等差数列，它们的和是已知三个数成等差数列，它们的和是12，积，
18、积是是48，求这三个数，求这三个数. ()()12() ()48adaadad a ad解：解：设三个数为设三个数为a-d，a，a+d，则，则解之得解之得42ad 故所求三数依次为故所求三数依次为2，4，6或或6，4，2例例6 如图，三个正方形的边如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等的长组成等差数列，且差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求）求AB，BC，CD的长；的长；（2）以）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？项为边长的正方形的面积是多少？ADCB3
19、，7，11a9=35S9=12255、等差数列的性质、等差数列的性质已知数列已知数列 为等差数列，那么有为等差数列，那么有na 性质性质1：若：若 成等差数列，则成等差数列，则 成等差数列成等差数列.*m ,p,n(m ,p,n N) mpna ,a ,a证明：根据等差数列的定义，证明：根据等差数列的定义，m, p, n ,成成等等差差数数列列pmnp, (pm)d(np)d.pmnpaaaa .即即 成等差数列成等差数列.mpna ,a ,a如如 成等差数列，成等差数列， 成等差数列成等差数列.1611a ,a ,a369a ,a ,a推广：推广：在等差数列在等差数列有规律有规律地取出若干项
20、，所得新数列仍地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）的倍数的项）性质性质2：设：设 若若 则则 *m,n, p,qNmnpqaaaa .mnpq,性质性质3：设：设 c, b 为常数，若数列为常数，若数列 为等差数列，则数为等差数列，则数 列列 及及 为等差数列为等差数列.nanab nc ab性质性质4：设：设 p, q 为常数，若数列为常数，若数列 、 均为等差数列，均为等差数列， 则数列则数列 为等差数列为等差数列.nannp aq bnb 111111(1)(1)2()2 , (1)(1)2()2 , .mnpqmnpq
21、aaamdandan m ddaaapdaqdap q ddaaaa 证证明明：5 56 64 4n n求a求a10,10,a aa a为等差数列，为等差数列，练习1：已知a练习1：已知a1010181813138 81 1n n求a求a100,100,a aa aa aa a为等差数列，为等差数列，练习2：已知a练习2：已知a求数列通项公式求数列通项公式21,21,a aa aa a9,9,a aa aa a为等差数列，为等差数列，：已知a：已知a变式变式7 75 53 38 85 52 2n n2d d, ,求a求a187,187,a aa a56,56,a aa aa aa a为等差数列
22、，为等差数列，变式1：已知a变式1：已知a1 17 74 47 76 65 54 4n n例8（1）已知等差数列an中， a3 a15=30,求a9， a7a11解：（1 1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值1523021539aaa7+11=3+15（2 2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8 =2 a5=60 a7a11 =a3 a15=30 a3a7 =a4 a6=2 a5（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12 = （2）已知等差数列an中
23、， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11= 2215 （3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8=19 跟踪训练跟踪训练例8解：（1 1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值1523021539aaa7+11=3+15（2 2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8 =2 a5=60 a7a11 =a3 a15=30 a3a7 =a4 a6=2 a52019POWERPOINTSUCCESS2022-5-292019THANK YOUSUCCESS2022-5-29
